Введение…………………………………………………………………....3

1. Эластичность спроса и факторы, влияющие на эластичность спроса……….5

2. Эластичность спроса по цене, показатели…….………………………..….......7

3. Эластичность спроса по доходу, показатели………………………………....12

4. Перекрестная эластичность спроса, показатели………………………..…….15

Заключение………………….…………………………………………..17

Список использУЕМОЙ литературы………………..……….......18

ВВЕДЕНИЕ

Эластичность – одна из самых важных категорий экономической науки. Впервые она была введена в экономическую теорию А. Маршаллом и представляет собой выраженное в процентах изменение одной переменной в ответ на выраженное в процентах изменение другой переменной. Понятие эластичности позволяет выяснить, как происходит адаптация рынка к изменениям его факторов. Обычно предполагается, что фирма, повышая цену на свою продукцию, имеет возможность увеличить выручку от ее продажи. Однако в действительности так бывает не всегда: возможна ситуация, когда повышение цены приведет не к росту, а, наоборот, к снижению выручки в силу уменьшения спроса и соответствующего сокращения сбыта.

Поэтому понятие эластичности имеет огромное значение для производителей товаров, т.к. дает ответ на вопрос о том на какую величину изменится объем спроса и предложения при изменении цены.

Изучение спроса потребителей, а также мотивов, которыми они руководствуются, совершая покупки, - важнейшая задача фирмы в условиях конкуренции. Обладание как можно более полной информацией о спросе позволяет фирме обеспечивать сбыт своей продукции, расширять производство и успешно конкурировать на рынке.

Для фирмы при планировании объема и структуры производства чрезвычайно важно знать, от чего зависит спрос на ее продукцию. Величина спроса зависит от цены товара, доходов потенциальных потребителей, а также цен на товары, которые являются либо комплементарными (например, автомобили и бензин), либо субститутами (например, масло и маргарин, отдельные сорта мяса и т. п.). На спрос влияют и другие факторы.

С повышением цен на продукцию фирмы можно ожидать, при прочих равных условиях, снижения спроса на нее, при этом активная деятельность конкурентов, выпускающих продукты-заменители и продающих их по более низким ценам, также может привести к снижению спроса на изделия фирмы. В то же время с ростом доходов населения фирма может рассчитывать на расширение покупательского спроса и соответственно увеличение сбыта предлагаемой продукции.

1 Эластичность спроса и факторы, влияющие на эластичность спроса

Эластичность спроса - изменение спроса на данный товар под влиянием экономических и социальных факторов, связанных с изменением цен; спрос может быть эластичным, если процентное изменение его объема превышает снижение уровня цен, и неэластичным, если степень снижения цен выше прироста спроса.

Важным моментом, оказывающим воздействие на эластичность спроса, является наличие товаров-заменителей. Чем больше на рынке продуктов, признанных удовлетворять одну и ту же потребность, тем больше возможностей для покупателя отказаться от приобретения данного конкретного продукта в случае повышения его цены, тем выше эластичность спроса на данный товар.

Например, спрос на хлеб относительно неэластичен. В то же время спрос на отдельные сорта хлеба является относительно эластичным, так как с повышением цены, к примеру, на бородинский хлеб покупатель может перейти на другой сорт ржаного хлеба и т.п. Спрос на сигареты, лекарства, мыло и другие подобные продукты относительно неэластичен. Однако если рассматривать эластичность по отношению к отдельным видам сигарет, сортам мыла и т.п., то она будет значительно выше.

Та же закономерность применима к изделиям, выпускаемым отдельной фирмой. Если на рынке присутствует значительное число конкурентов, выпускающих аналогичную или близкую по назначению продукцию, то спрос на продукцию этой фирмы будет относительно эластичным. В условиях совершенной конкуренции, когда много продавцов предлагают одинаковую продукцию, спрос на товар каждой отдельной фирмы будет абсолютно эластичным.

Другим важным обстоятельством, влияющим на ценовую эластичность, является фактор времени. В краткосрочном периоде спрос имеет тенденцию быть менее эластичным, чем в долгосрочном. Например, спрос на бензин со стороны индивидуальных владельцев автомобилей относительно неэластичен, и повышение цены, особенно в летний сезон, вряд ли сократит спрос. Однако можно предположить, что осенью значительная часть автовладельцев поставят свои машины в гаражи, спрос на бензин снизится, сократится объем продаж его. Кроме того, к следующему лету часть из них начнут пользоваться пригородными электричками. Несмотря на то, что спрос на бензин относительно неэластичен в обоих случаях, в долгосрочном периоде эластичность выше. Такая тенденция изменения эластичности во времени объясняется тем, что с течением времени каждый потребитель имеет возможность изменить свою потребительскую корзину, найти товары-заменители. Различия в эластичности спроса объясняются также значимостью того или иного товара для потребителя. Спрос на предметы первой необходимости неэластичен; спрос на товары, не играющие важной роли в жизни потребителя, обычно эластичен. Действительно, при повышении цен мы можем отказаться от дополнительной пары обуви, драгоценностей, мехов, но вряд ли сократим покупки хлеба, мяса и молока. Как правило, спрос на продукты питания неэластичен, и сейчас, при снижающемся уровне жизни населения, на их приобретение тратится все большая часть доходов средней российской семьи.

2 Эластичность спроса по цене, показатели

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1%. Если обозначить цену Р , а величину спроса Q , то показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса Е р равен:

где Q - изменение величины спроса, %;

Р - изменение цены, %;

«Р » в индексе означает, что эластичность рассматривается по цене.

На эластичность спроса по цене влияют следующие факторы:

· наличие товаров конкурентов или товаров заменителей (чем их больше, тем больше возможность найти замену подорожавшему товару, т.е. выше эластичность);

· значимость товара для потребителей (спрос на товары важные для потребителя обычно не эластичен)

· фактор времени (чем больше у потребителя времени на выбор товара и обдумывание - тем выше эластичность);

· удельный вес товара в доходах потребителя (чем больше доля цены товара в доходах потребителя, тем выше эластичность).

Показатель ценовой эластичности спроса для всех товаров является отрицательной величиной. Действительно, если цена товара снижается - величина спроса растет, и наоборот. Однако для оценки эластичности часто используется абсолютная величина показателя (знак «минус» опускается).

Например, снижение цены шампуня на 5% вызвало увеличение спроса на него на 10%. Показатель эластичности будет равен:

,

· Если абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса больше 1, то мы имеем дело с относительно эластичным спросом. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.

· Если абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса меньше 1 , то спрос относительно неэластичен. В этом случае изменение цены повлечет за собой меньшее изменение величины спроса.

· При коэффициенте эластичности равном 1 говорят о единичной эластичности. В этом случае изменение цены приводит к такому же количественному изменению величины спроса.

Для характеристики и количественного анализа спроса как функции используются показатели эластичности.

В самом общем виде эластичность отражает процентное изменение значения функции в результате определенного процентного изменения переменной, т.е. является характеристикой чувствительности.

Для характеристики спроса на товар используют несколько показателей (коэффициентов) эластичности: эластичность спроса по цене (ценовая эластичность); эластичность спроса по доходу; перекрестная эластичность.

· Эластичность спроса по цене (коэффициент ценовой эластичности) определяется как частное от деления процентного изменения величины спроса на процентное изменение цены. Поскольку зависимость величины спроса от цены является обратной, то коэффициент ценовой эластичности будет отрицательной величиной. Поэтому в данном случае во внимание принимается абсолютное значение коэффициента. Возможны три варианта:

1) если коэффициент ценовой эластичности больше 1 (процентное изменение цены ведет к большему процентному изменению величины спроса), то спрос является эластичным. Крайней формой эластичного спроса является совершенно эластичный спрос. Значение коэффициента стремится к бесконечности;

2) если коэффициент ценовой эластичности меньше 1 (процентное изменение цены сопровож-дается меньшим процентным изменением величины спроса), то спрос является неэластичным. Крайняя форма неэластичного спроса – совершенно неэластичный спрос (например, уникальные, жизненно необходимые лекарства);

3) если коэффициент ценовой эластичности равен 1 (процентное изменение цены обусловли-вает равное процентное изменение величины спроса), то спрос имеет единичную эластичность.

· Коэффициент эластичности спроса по доходу показывает степень реакции объема (величины) спроса на товар при изменении величины дохода потребителя. При расчете этого коэффициента принимается во внимание знак (плюс или минус). Если коэффициент эластичности спроса по доходу оказался отрицательной величиной, то такие товары являются низкокачествен-ными. Наоборот, нормальные товары характеризуются положительной величиной коэффициента.

· Коэффициент перекрестной эластичности – характеризует степень реакции величины (объема) спроса на один товар при изменении цены другого товара. Если коэффициент перекрестной эластичности больше нуля, то товары взаимозаменяемые; если меньше нуля – то товары взаимодополняемые; если равен нулю – то товары независимые, несвязанные.

Для анализа предложения также используют показатель эластичности.

Эластичность предложения измеряет степень изменения величины (объема) предложения в зависимости от увеличения цены. Коэффициент эластичности предложения рассчитывается как отношение изменения величины (объема) предложения товара к изменению цены этого товара.

Эластичность предложения зависит от ряда факторов . Это резервы производственных мощностей; уровень товарных запасов; количество времени у производителей для того, чтобы отреагировать на изменение цен (чем больше свободных мощностей, запасов и времени, тем больше и возможность увеличить предложение).

Предложение, поскольку оно связано с изменением производственного процесса, медленнее адаптируется (приспособляется) к изменению цены, чем спрос. Поэтому фактор времени является важнейшим в определении показателя эластичности.

Обычно при оценке эластичности предложения рассматриваются следующие временные периоды: мгновенный, краткосрочный, среднесрочный и долгосрочный.

Мгновенный период характерен тем, что реализации подлежит уже произведенный товар. Товар поступает в продажу по установившейся рыночной цене, т.е. предложение здесь должно подстраиваться под спрос.

Под краткосрочным понимается период, недостаточный для осуществления производителем каких-либо изменений в объеме выпускаемой продукции. Например, садовод, вырастивший яблоки и приехавший на рынок их продавать, не может изменить количество предлагаемых им яблок, какая бы ни сложилась рыночная цена. Предложение в этом случае является неэластичным.

Среднесрочный период достаточен для расширения или сокращения производства на уже существующих производственных мощностях, но недостаточен для введения новых мощностей. Эластичность предложения в этом случае повышается.

Долгосрочный период характерен тем, что производитель в состоянии изменить свои производственные мощности, осуществить структурную перестройку производства, обновить оборудование. Он также предполагает приток в отрасль новых фирм при расширении спроса или их уход при условии сокращения спроса на данную продукцию. Эластичность предложения в этом случае достигает максимальной величины.

Коэффициент эластичности

формула расчета коэффициента эластичности:

где f"(x) - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит: . Соответственно, коэффициент эластичности окажется равным:

Коэффициент эластичности только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b . В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактораx . Так, для линейной регрессиипроизводная функции и эластичность следующие:

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x , то обычно рассчитываетсясредний показатель эластичности по формуле:

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению, т.е. решается система нормальных уравнений:

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметрa - косвенным путем после потенцирования величины lna . Так, решая систему нормальных уравнений для зависимости спроса от цен, было получено уравнение:. Если потенцировать его, получим:

Поскольку параметр a экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически-линейной, т.е..В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметромb <0, а эластичность предложения -b >0.

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии .

Таблица 2.5.

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций.

Вид функции,	Первая производная,	Коэффициент эластичности,
линейная
парабола
гипербола
показательная
степенная
полулогарифмическая
логистическая
обратная

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1%. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации) не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита y (в процентах годовых) и срока их предоставленияx (в днях), было получено уравнение регрессии:с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процентных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

В тех случаях, когда все пять предпосылок МНК выполняются, рассматриваемая модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью (Classical Normal Linear Regression model) Если распределение случайных остатков ε i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

При нарушении гомоскедастичности и при наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т. е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК, применительно к корректировке данных при автокорреляции остатков, будет рассмотрена далее. Здесь остановимся на использовании обобщенного МНК для корректировки гетероскедастичности.

Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине K i , т. е., где- дисперсия ошибки при конкретномi – ом значении фактора,- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков,K i – коэффициент пропорциональности, меняющий с изменением свою величину, что и обуславливает неоднородность дисперсии. При этом предполагается, чтонеизвестна, а в отношении величиныK выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения при, модель примет вид:. В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходеi – ого наблюдения, т. е..

Иными словами, от регрессии y поx мы перейдем к регрессии на новых переменных:, и. Уравнение регрессии примет вид:

.

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными, представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные y иx взяты с весами.

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида:

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

.

Если преобразованные переменные x иy взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессииb можно определить как:

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней, коэффициент регрессии b определяется по формуле:

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности, коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК, с весами.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида:

для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна .- коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующихi значений факторови. Ввиду того, что, рассматриваемая модель примет вид:

где ошибки гетероскедастичны. Чтобы получить уравнение, где остатки гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональностиK . Уравнение с преобразованными переменными составит:

.

Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

.

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности . В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остаткипропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении:

предположить, что , т. е.и, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

.

Если предположить, что ошибки пропорциональны , то модель примет вид:

.

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных x / K имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь ввиду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание, и регрессия по ним имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

Пусть y – издержки производства,x 1 – объем продукции,x 2 – основные производственные фонды,x 3 –численность работников, тогда уравнение

является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что пропорциональна квадрату численности работниковx 3 , мы получим в качестве результативного признака- затраты на одного работника, а в качестве факторов – показатели -- производительность труда,- фондовооруженность труда. Соответственно исходная модель примет вид:

,

где параметры ,,численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономические содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на 1 работника, с изменением производительности труда на единицу, и неизменном уровне фондовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.

Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, , то тогда мы перейдем к уравнению регрессии вида:

.

В нем новые переменные: - затраты на единицу (или на один рубль продукции),- фондоемкость продукции,- трудоемкость продукции.

Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать и большая дисперсия результативного признака, и большая дисперсия остаточных величин.

При наличии одной объясняющей переменной гипотеза трансформирует линейное уравнение:

в уравнение

в котором параметры α иβ поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии – свободным членом. Так, например, рассматривая зависимость сбереженийy от доходаx , по первоначальным данным было получено уравнение регрессии:

Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных:

Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т. е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра b зависимости сбережений от дохода.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК. Возможны и усложнения рассмотренный процедуры за счет выдвижения иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов. Например, , т. е. рассматривается характер взаимосвязиот. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.

Обобщённый МНК устраняет гетероскедастичность, если известна взаимосвязь ошибок регрессии с факторомх (например, на основе рассмотренных тестов гетероскедастичности). Иными словами, должны быть установлены коэффициенты пропорциональностиК i , что и приводит к взвешенному методу наименьших квадратов.

Регрессионные модели с переменной структурой

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем, может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, они должны быть упорядочены и им присвоены те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. В отечественной литературе за ними закрепился термин структурные переменные.

Качественные признаки могут приводить к неоднородности исследуемой совокупности, что может быть учтено при моделировании двумя путями:

Регрессия строится для каждой качественно отличной группы единиц совокупности, т.е. для каждой группы в отдельности, чтобы преодолеть неоднородность единиц общей совокупности;

Построение общей регрессионной модели для совокупности в целом, учитывающей неоднородность данных. В этом случае в регрессионную модель вводятся фиктивные переменные, т.е. строится регрессионная модель с переменной структурой, отражающей неоднородность данных.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

где: y - количество потребляемого кофе,

x - цена.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского и женского пола:.

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и. Вместе с тем, сила влиянияx на y может быть одинаковой, т.е. . В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединяя уравненияy 1 и y 2 и вводя фиктивные переменные, можно придти к следующему соотношению:

где: z 1 и z 2 фиктивные переменные, принимающие значения:

; .

В общем уравнении регрессии зависимая переменная y рассматривается как функция не только цены x , но и пола (z 1 , z 2 ). Переменная z рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0. При этом, когда z 1 = 1, то z 2 =0 и, наоборот, при z 1 = 0 переменная z 2 = 1.

Для лиц мужского пола, когда z 1 = 1 иz 2 = 0, объединенное уравнение регрессии составит:, а для лиц женского пола, когдаz 1 = 0 иz 2 = 1,. Иными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии:. Параметрb является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.

Вместе с тем, при практическом введении фиктивных переменных z 1 и z 2 в модель применение МНК для оценивания параметровα 1 и α 2 , приведет к вырожденной матрице исходных данных, а, следовательно, и к невозможности получения их оценок. Объясняется это тем, что при использовании МНК для данного уравнения появляется свободный член, т.е. уравнение примет вид:

Предполагая при параметре A независимую переменную 1, имеем матрицу исходных факторов:

В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и третьего. Поэтому матрица исходных факторов вырождена. Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнениям вида:

каждое из которых включает только одну фиктивную переменную: z 1 илиz 2 .

Предположим, что определено уравнение ,

где: z 1 - принимает значения 1 для мужчин и 0 для женщин. Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин окажутся равными:

Для женщин соответствующие значения получим из выражения:

Сопоставляя эти результаты, видим, что различия в уровне потребления мужчин и женщин состоят в различии свободных членов данных уравнений: A - для женщин и A + A 1 для мужчин.

Примером использования фиктивных переменных может служить зависимость урожайности пшеницы y от вида вспашки z и количества внесенного органического удобрения x . По 25 наблюдениям парное уравнение регрессии (без учета вида вспашки) составило:

F = 8,7; t А = 11,9; t β = 2,95; r yx = 0,5246.

При его расчете использовалась следующая система нормальных уравнений:

.

F , t b , r yx превышают табличные значения (при 5 %-ом уровне существенности и числе степеней свободы 23: F = 4,28; t b = 2,069; r yx = 0,398; при 1%-ой вероятности ошибки: F = 7,88; t b = 2,807; r yx = 0,507;).

По виду вспашки поля характеризовались двумя категориями: зяблевая и весенняя. Вид вспашки не влияет на количество внесенных удобрений, но обусловливает различия в урожайности. Чтобы убедиться в этом введем в уравнение регрессии фиктивную переменную z для отражения эффекта вида вспашки, а именно: z = 1 для зяблевой вспашки и z = 0 для весенней вспашки. Уравнение регрессии примет вид: . Применяя метод наименьших квадратов для оценки параметров данного уравнения, получим следующую систему нормальных уравнений:

В виду того, что z принимает лишь два значения (1 и 0), (число полей с зяблевой вспашкой),(количество внесенных удобрений на полях с зяблевой вспашкой),,(суммаy по полям зяблевой вспашки).

В рассматриваемом примере вся совокупность из 25 единиц подразделена на две подгруппы: с зяблевой вспашкой - 13 полей и с весенней - 12 полей, т.е. n 1 = 13 и n 2 = 12. Соответственно этим двум группам имеем:

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Решая ее, получим уравнение регрессии:

Уравнение регрессии статистически значимо: F = 15,6; R = 0,766; = 0,741; t a = 11,8; t b = 3,9; t c = 4,1. Как видим, добавление в регрессию фиктивной переменной существенно улучшило результат модели: доля объясненной вариации выросла с 27,5% () до 58,7% (). При этом, сила влияния количества внесенных органических удобрений на урожайность осталась практически неизменной: коэффициенты регрессии по существу одинаковы (0,326 в парном уравнении и 0,330 во множественном). Корреляция между видом вспашки и количеством внесенного удобрения на 1 га практически отсутствует:. Вместе с тем, применение зяблевой вспашки способствует росту урожайности в среднем на 2,9 ц с 1 га при одном и том же количестве внесенного удобрения на 1 га, что в целом соответствует и различию средней урожайности по видам вспашки (15,3 ц с 1 га для зяблевой вспашки и 12,5 ц с 1 га для весенней вспашки). ЧастныйF -критерий для фактора z составил 16,58, что выше табличного значения при числе степеней свободы 1 и 22 (4,30 при α = 0,05 и 7,94 при α = 0,01). Это подтверждает целесообразность включения фиктивной переменной в уравнение регрессии.

Парные уравнения регрессии по отдельным видам вспашки показывают, практически одинаковую меру влияния количества внесенного удобрения на урожайность:

При зяблевой вспашке и

При весенней вспашке.

Поэтому вполне реально предположить единую меру влияния данного фактора не зависимо от вида вспашки, что и имеет место в уравнении регрессии с фиктивной переменной. Включив фиктивную переменную, удалось измерить ее влияние на изменение урожайности: частный коэффициент корреляции , оценивающий в чистом виде влияние данного фактора, составил 0,6555, что несколько выше, чем аналогичный показатель для фактораx : .

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора x с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности (Э) рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения x:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменяется функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.
Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности .
Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения : и показывает, на сколько процентов изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.
Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х 0 : и показывает, на сколько процентов изменится у относительно уровня у(х 0) при увеличении х на 1% от уровня х 0 .
В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведены в таблице.

Вид функции y = f(x)
Линейная y = b 0 + b 1 x
Парабола y= a + bx + cx 2
Равносторонняя гипербола y = a + b/x
Степенная y=ax b	Э(x 0) = b	Э(x) = b
Показательная y=ab x	Э(x 0)=x 0 ln(b)

Только для степенных функций y=a·x b коэффициент эластичности представляет собой постоянную независящую от х величину (равную в данном случае параметру b). Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1% . Так, если зависимость спроса у от цен p характеризуется уравнением вида: y=200p -1,5 , то, следовательно, с увеличением цен на 1% спрос снижается в среднем на 1,5% .
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, бессмысленно определять, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1% . В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего значения R 2 ), не может быть экономически интерпретирована.

Енвд