Наблюдаемость и управляемость системы

Модели динамических объектов в условиях неполной наблюдаемости

Понятие наблюдаемости и дуальное ему понятие управляемости были впервые введены Калманом в 1960 г. Хотя при обсуждении методов идентификации понятие наблюдаемости важнее понятия управляемости, оба они ввиду их дуальности рассматриваются совместно.

Говорят, что система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния при в любое другое желаемое состояние за конечный интервал времени t путем приложения кусочно-непрерывного входного воздействия , .

Рис. 1. Неуправляемая система

Понятие управляемости можно проиллюстрировать схемой, показанной на рис. 1. Видно, что эта система является неуправляемой, так как управляющее входное воздействие u (t ) влияет не на все переменные состояния. Кроме того, управляемая замкнутая линейная система может иметь произвольные собственные значения независимо от собственных значений соответствующей разомкнутой системы. Это свойство детально рассмотрено Вонхэмом.

В литературе описаны критерии анализа управляемости (и соответственно наблюдаемости) систем. Все они основаны на рассмотрении канонического уравнения состояния и на полиномиальном разложении .

Выше было сказано, что понятие наблюдаемости дополняет понятие управляемости. Если управляемость требует, чтобы каждое состояние системы было чувствительно к воздействию входного сигнала, то наблюдаемость требует, чтобы каждое состояние системы влияло на измеряемый выходной сигнал.

Рис. 2. Нанаблюдаемая система

Система наблюдаема, если все ее состояние можно непосредственно или косвенно определить по выходному вектору системы. Поэтому, когда определенное состояние (или изменение этого состояния) не влияет на выходной вектор, система ненаблюдаема (рис. 2), точно так же как отсутствие влияния вектора выходного сигнала на определенное состояние означает, что система неуправляема (показано на рис. 1). Кроме того, ненаблюдаемая система не может быть идентифицирована; в терминах ее полной модели в пространстве состоянии, очевидно, невозможна идентификация параметров, относящихся к ненаблюдаемым состояниям.

Накладываемые на параметры Динамической системы условия, при выполнении которых система обладает свойствами управляемости и наблюдаемости. Эти свойства заключаются в следующем: пусть уравнения движения системы заданы в пространстве состояний след. обр.:

где - некоторые, в общем случае нелинейные ф-ции координат простр. состояний и входных (управляющих) воздействий простр. состояний выделены два мн-ва: . Система управляемой относительно если существует такое допустимое управление которое может перевести систему из любой точки мн-ва в одну из точек мн-ва Система полностью наблюдаемой, если существует преобразование (алгоритм, закон), по которому наблюдаемой на интервале траектории при известном и ставится во взаимно однозначное соответствие точка Указанное определение Н. и у. у. справедливо и для линейных, и для нелинейных систем.

Понятия управляемости и наблюдаемости можно распространить на любые управляемые системы (бесконечномерные и конечномерные, динамические, стохастические системы, автоматы конечные и др.). В случае конечного автомата эквивалентными управляемости и наблюдаемости являются свойства связанности и распознаваемости автомата. Автомат с мн-вом состояний сильносвязным, если существует входная последовательность, которая переводит автомат из любого заданного состояния в любое заданное состояние (Ту (г может равняться ). Характерные свойства сильносвязного автомата заключаются в том, что его всегда можно установить в любое заданное конечное состояние и всегда можно распознать.

Задача распознавания автомата представляет собой задачу определения его состояния (в том числе и начального) при помощи измерений (наблюдений) его выходов. Важной разновидностью задачи распознавания автомата является определение (с точностью до изоморфизма) его миним. формы путем измерений на его внеш. выводах.

Для линейных динамических систем ур-ние (1) перепишется в виде:

где X - -мерный вектор состояний системы, вектор входных сигналов (управления), Y - -мерный вектор выходных координат (реакций) системы; А, В, С - матрицы размерностей соответственно, определяемые параметрами системы. Определение управляемости в этом случае сужается: система полностью управляемой, если мн-во представляет собой все простр. состояний, а мн-во стягивается в точку (начало координат). Впервые необходимые и достаточные Н. и у. у. линейных систем сформулировал амер. кибернетик Р. Калман так: ранг матрицы полной управляемости) и ранг матрицы полной наблюдаемости) должны быть равны (штрих означает транспонирование).

Управляемость систем вида (2) можно установить с помощью различных эквивалентных критериев. Напр., система (2) вполне управляема, если: а) не существует инвариантного подпространства матрицы А размерности меньше , которое одновременно содержало бы все векторы-столбцы матрицы В; или б) не существует собственных векторов V матрицы А ортогональных пространству векторов матрицы В, т. е. ни для какого V. Необходимые и достаточные условия наблюдаемости также можно сформулировать для системы (2) различными эквивалентными способами; напр., система (2) вполне наблюдаема, если не существует ни одного собственного вектора матрицы А, для которого . Известны и другие определения и критерии управляемости и наблюдаемости-, сформулированные в алгебр, и геом. форме, в терминах функционального анализа, в форме проблемы отделимости мн-в и др. Различают понятия управляемости по состоянию и по выходу системы. Существенно, что понятия управляемости и наблюдаемости являются внутр. свойствами системы и сохраняются при любых эквивалентных преобразованиях ее модели математической. В частности, управляемость системы (4) не зависит от выбора системы координат.

Важным свойством конечномерных управляемых систем является независимость их свойств управляемости - от класса допустимых управлений. В случае бесконечномерных управляемых систем аналогичное свойство не установлено, равно как и сама проблема управляемости и наблюдаемости таких систем еще далека от завершения.

Полная управляемость или наблюдаемость системы нарушается при динамич. коррекции, если при введении корректирующих звеньев происходит компенсация полюсов передаточных функций звеньев системы нулями корректирующих устр-в. Тогда может оказаться,

что координаты X состояний системы разбиваются на 2 группы, причем координаты 1-й группы зависят от управления U, а координаты 2-й группы не зависят ни от U, ни от координат 1-й группы и образуют т. н. неуправляемую часть. В другом случае, если координаты 1-й группы связаны с реакцией Y, а координаты 2-й группы не связаны ни с Y, ни с координатами 1-й группы, они образуют ненаблюдаемую часть. Это явление нельзя проанализировать при описании системы передаточными ф-циями, где вследствие компенсации полюсы и нули исключаются из рассмотрения. Анализ Н. и у. у. необходим при рассмотрении задач инвариантности, автономности, синтезе оптим. фильтров и оптим. регуляторов и анализе устойчивости таких систем. Так, Р. Калман доказал теорему: решение задачи синтеза оптим. регулятора (в смысле минимума квадратичного функционала качества) возможно тогда и только тогда, когда объект полностью управляем.

Связь Н. и у. у. определяется принципом дуальности, сформулированным Р. Калманом. Назовем сопряжённой по отношению к (1) такую систему, которую описывает сопряженная по отношению к (1) система ур-ний, где Тогда, если система (1) полностью управляема, то сопряжённая система полностью наблюдаема и наоборот. Поскольку ур-ние дискретной системы в простр. состояний можно записать в виде

то все сказанное выше остается справедливым и для дискретных систем с заменой А, В, С на соответственно.

Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования относится к основным понятиям теории автоматического регулирования, с помощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исключения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления сформированный в задатчике, представляет собой некоторую совокупность его составляющих превышает число степеней свободы системы, описанной уравнением то система является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования нельзя перевести из начального состояния в любое конечное состояние под действием некоторого входного сигнала При системы автоматического регулирования именуют вполне управляемыми.

Линейную стационарную систему автоматического регулирования называют полностью управляемой, если из любого начального состояния ее можно перевести в конечное состояние при помощи входного сигнала в течение конечного интервала времени. Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной стационарной системы, описываемой уравнением

таково: матрица

размера первые столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие столбцов - из элементов матрицы и т. д., должна иметь ранг .

С понятием управляемости связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость позволяет установить начальное состояние системы автоматического регулирования по результатам измерений одного выходного сигнала.

Линейная стационарная система автоматического регулирования, описываемая уравнениями

полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние системы по следующий данным;

а) матрица А и С;

б) выходному сигналу от начальных условий при заданному на конечном интервале времени

Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной стационарной системы заключается в том, что сопряженная матрица 1

типа должна иметь ранг

Рассмотрим два типа систем автоматического регулирования.

Первый тип - система имеет лишь один выходной сигнал

Для этой системы необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является отличие от нуля всех коэффициентов.

Второй тип - система имеет несколько выходных сигналов:

Тогда необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является то, что для каждого один из коэффициентов Он, не должен равняться нулю.

Пример IX. 15. Определить, является ли линейная стационарная система автоматического регулирования (рис. IX. 19, а) полностью неуправляемой и наблюдаемой. Составим уравнение состояния для этой системы в виде

Из уравнения (IX.253) следует, что матрица А имеет размерность

В этом случае формула (IX.251), по которой определяется управляемость, примет вид

Определитель матрицы (IX.255) будет что соответствует рангу матрицы К, меньщему 2. Для полной управляемости системы регулирования ранг матрицы К должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система является неуправляемой.

Определим наблюдаемость системы регулирования. Для этого воспользуемся формулой (IX.252). В нашем случае

Рис. IX.19. Структурные схемы системы автоматического регулировании для примера IX.15

Подставив соответствующие сопряженные значения матриц в формулу (IX.256), получим

Определитель матрицы (IX.252) что соответствует рангу, меньшему 2. Для получения полной наблюдаемости системы регулирования ранг матрицы должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система регулирования является ненаблюдаемой.

Этот результат становится очевидным из анализа передаточной функции замкнутой системы

Если сократить нуль в прямой цепи, когда полюс находится в цепи обратной связи, то получим

Из выражения (IX.259) можио найтн характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

что указывает на неустойчивость системы регулирования.

• наличие хотя бы одной цели, которую принимают члены группы как общую для себя;
• наличие членов группы, которые намеренно работают вместе, чтобы достичь общей цели.

Таким образом, получается, что организация - это группа людей, которая сознательно координирует свои усилия для достижения общих целей, т. е. управляется. Управление - это целенаправленное воздействие на объект для достижения требуемого результата. Управление подразумевает наличие четырех основных элементов; вход основной системы, выход основной системы, канал обратной связи, блок управления. Такая система построена на принципе контроля результатов деятельности организации и увязке контролируемых параметров с целями на входе. Такой вид управления получил название управление по целям.

Весь процесс управления является непрерывным и состоит из четырех основных этапов. Изначально организация и ее подразделения получают задания в виде целей, под которые планируются процедуры, дающие ответ на вопросы; кто, что, где, в какие сроки и в каком количестве должен сделать. Проверка результата работы наступает после установленного срока выполнения работы. При этом оцениваются степень достижения цели и проблемы, мешавшие ее достижению. В результате контроля за результатами работы устанавливаются причины отклонения от плановых процедур и разрабатываются корректирующие мероприятия. Чтобы привести результаты к плановым, необходимо выявить природу несоответствия и при необходимости скорректировать цели. Например, если результат не был достигнут из-за некомпетентности работника, то достаточно будет применить к этому работнику санкции или заменить его, но если отклонения от намеченных результатов произошли из-за изменений во внешней среде (обвал курса рубля), необходимо корректировать цели организации или ее отдельных подразделений.

Условия управления. Оценка результатов управления - это сравнение достигнутых результатов деятельности организации в целом и ее отдельных подразделений с поставленными целями. Оценка результата управления используется как механизм обратной связи. При оценке результатов управления выявляют следующие основные параметры:

• результаты функционирования (деятельности);
• наличие ресурсов для выполнения поставленных задач;
• уровень компетентности сотрудников различных звеньев;
• степень управляемости организацией, или как слаженно функционирует вся система, где и когда происходили сбои при передаче информации и ресурсов.

Одним из наиболее важных условий надежности управления является разработка системы показателей результатов. Анализ количественных и качественных показателей способствует выявлению сильных и слабых сторон организации, помогает определить ее конкурентные преимущества (если она работает в условиях рынка), выявляет адаптационные свойства.

Основные количественные показатели:

• производственные - производительность, себестоимость, рентабельность, коэффициент сменности и т. д.;
• по персоналу - число прогулов, текучесть кадров, количество больничных листов, частота повышения квалификации и т. д.;
• финансово-экономический - прибыльность, оборачиваемость, платежеспособность, норма доходности акций и т. д.;
• рыночные (маркетинговые) - доля рынка и ее динамика, объем реализации, количество клиентов и величина потребления на одного клиента и т. д.

Основные качественные показатели:

• навыки и компетенция персонала;
• компетенция руководства;
• знание рынка;
• уровень организационной культуры;
• уровень инновационности (разработка и применение новых технологий);
• имидж организации и т. д.

В подавляющем большинстве случаев организация имеет множество различных целей. Возникает целый набор взаимосвязанных, а иногда и противоречивых целей. Многообразие целевых установок превращает организацию в сложную организацию. Например, даже не очень крупное производственное предприятие имеет цели по закупке сырья, по его переработке, по подбору персонала, по распределению готовой продукции и т. д. Все эти цели должны быть взаимоувязаны во времени, согласованы с внешними условиями. Если срывается закупка, то отдел реализации своих целей не достигает.

Общие черты организации:

• ресурсы;
• зависимость от внешней среды;
• разделение труда - горизонтальное и вертикальное;
• подразделения;
• необходимость управления.

Управление необходимо для координации всех задач, осуществляемых организацией. Управление организацией - это процесс планирования, организации, мотивации и контроля ДЛЯ того, чтобы сформулировать и достичь целей организации.

ЛЕКЦИЯ № 20

УСЛОВИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.

План лекции:

1. Определение полностью управляемой системы.

2. Условие управляемости линейной импульсной системы.

3. Определение наблюдаемости и восстанавливаемости.

4. Условие восстанавливаемости линейной импульсной системы.

Управляемость системы определяет возможность управления со стороны входа всеми компонентами вектора состояния дискретной системы.

Система, процесс или объект называются полностью управляемыми , если они могут быть переведены из состояния x=0 в произвольное состояние x[n] с помощью управления за конечное число шагов.

Рассмотрим систему разностных уравнений:

x [ k +1]=Ф x [ k ]+ Hu [ k ]

y [ k ]= cx [ k ]+ Du [ k ] (20.1),

где x=(x 1 ,...x n)- вектор состояния;

y =(y 1 ,... y n )- вектор входных переменных;

u =(u 1 ,... u n )- вектор управления.

Предположим, что последовательность управлений имеет вид:

u , u ,... u [ n -1] . (20.2)

Тогда в соответствии с (5.44) при x =0 , получим:

x = Hu ;

x =Ф Hu + Hu ;

x = Ф 2 Hu + Ф Hu ;

. (20.3)

Найдем последовательность управлений (20.2), переводящую точку x =0 в точку x [ u ]= x . Последнее уравнение системы (20.3) также можно представить в виде:

. (20.4)

Это выражение можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно компонентов векторов

u [ n -1], u [ n -2] ,..., u .

Каждый вектор u имеет m скалярных компонент, так что число неизвестных равно m x n . Основная матрица системы

-

Имеет размерность (n x mn ), а расширенная матрица

Размерность (п хтп +1).

Рассмотрим условие управляемости, то есть условие существования решения (20.4).

Для существования решения системы (20.4), как известно, необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной матриц.

Легко видеть, что так как , то . Если ранг основной матрицы меньше порядка системы п , то всегда можно так подобрать вектор Х , что ранг расширенной матрицы станет больше ранга основной матрицы.

Таким образом, чтобы система уравнений (20.4) имела решение при произвольном Х необходимо и достаточно, чтобы .Это условие полной управляемости линейной дискретной системы.

Рассмотрим случай скалярного управления и перейдем в исходной системе (5.44) с помощью преобразования

к каноническим переменным:

Окончательно получим:

,

Существуют специальные алгоритмы приведения исходной матрицы Ф к каноническому виду (диагональной форме).

Структурная схема системы приведена на рис.20.1 (при условии скалярного выхода y ).

Легко видеть, что по свойствам полной управляемости системы соответствует отсутствие нулей у вектора , то есть условия .

Наиболее распространенным алгоритмом управления систем, синтезируемых с помощью МПС, является алгоритм

.

Однако, во многих случаях состояние системы

не измеряется, и, следовательно, управление согласно вышеприведенному соотношению не может быть непосредственно реализовано.

Таким образом, возникает вопрос, можно ли определить вектор состояния по измеряемому выходу или по измеряемым выходам объекта со многими входами и многими выходами.

В этой связи в теории управления различают наблюдаемость состояния и восстанавливаемость состояния.

Состояние х (t o ) системы наблюдаемо, если оно может быть определено по будущим значениям выходной переменной y (t ), t >t 0 и если интервал t -t 0 конечен.

Состояние х (t o ) системы восстанавливаемо, если оно может быть определено по прошлым значениям выходной переменной y (t ), t >t 0 и если интервал t -t 0 конечен.

Условие наблюдаемости и восстанавливаемости можно получить из уравнения выхода системы:

и уравнения состояния:

Вычисляя последовательно значения выходной переменной для моментов времени k , k + 1,... k + n - 1, получим:

(20.5)

или в векторно-матричной форме:

или в компактной форме:

Y n [ k ]= Q p x [ k ]+ P p u [ k ].

Если матрица Q p невырожденная, то существует ее обратная матрица Q -1 P , в этом случае detQ p и строки матрицы Q p линейно независимы.

Тогда из предыдущего матричного уравнения следует:

x [k ]=Q -1 p y n [k ]- Q -1 p P p u [k ] (20.6)

Таким образом, мы можем сформулировать следующее условие наблюдаемости: линейная система, описываемая КРУ, наблюдаема, если и только если ранг матрицы Q p равен размерности n пространства состояний.

Получим условие восстанавливаемости:

Учитывая, что x [k + n ]=Ф n x [k ], то последнее матричное уравнение может быть преобразовано к виду:

Где .

Условия восстанавливаемости формулируются аналогично условиям наблюдаемости: линейная система, описываемая системой КРУ, восстанавливаема, если и только если ранг матрицы Q p равен размерности n пространства состояний.

Понятие управляемости, наблюдаемости и восстанавливаемости позволяет лучше представлять особенности динамики исследуемой системы, ее возможности. Отметим, что матрица Ф зависит от величины интервала квантования Т , поэтому свойства управляемости и наблюдаемости могут изменяться при переходе от непрерывных систем к цифровым (вспомним, например, о возможности возникновения скрытых колебаний в дискретных системах).

Таким образом, мы завершаем рассмотрение вопросов анализа динамики дискретных систем в рамках методов ПС. В настоящее время этот метод широко применяется в инженерной практике. Его развитию будет способствовать все более широкое использование ЭВМ в проектировании рассматриваемых систем, так как именно он позволяет в наибольшей степени соединить полноту и строгость теоретического исследования с возможностями современной вычислительной техники.

Полезные инструменты