Структурированный продукт (англ. structured product) – сложный комплексный финансовый инструмент, финансовая стратегия, базирующаяся на более простых базовых финансовых инструментах.
Более простой вариант - "структурный продукт"
Для торговли улыбкой волатильности именно такие продукты и нужны- базирующие на более простых инструментах.
Сама по себе улыбка волатильности является характеристикой структуры подразумеваемой волатильности(IV) и отдельно не торгуется.
В чем природа "улыбки волатильности"?
IV опциона вне денег составляет ту величину, которая будет при падении рынка до уровня опциона. Например, при значении SPX 1379 на закрытие 9 ноября IV опциона на рынке 1375 put Jan = 18.6%, а опциона 1200 put Jan=25.3%, 1000 put Jan=33.1% и т.д
Т.е если рынок падает до значения 1000, то волатильность базового актива вырастет по прогнозу до 33.1.Даже навскидку по истории SPX можно увидеть, что летом 2011(не говоря о 2008) при падении до 1100 историческая волатильность выросла до 40%. При падении до 1000 можно смело добавить еще процентов 10%.
Их этого примера можно сформулировать вопрос в более простой форме- Какова будет скорость мяча, пущенного с горы, когда он докатится до ее основания? Ответ понятен- надо знать длину склона и угол наклона.Для рынка это означает знать а)сколько будет продолжаться падение по времени б) с какой интенсивностью. Ни а) ни б) точно знать никто не может(мы исходим их этого предположения), но тем не менее IV(скорость мячей) опционам присваивают.Присваивают на основании предыдущей ближней истории - как долго и с каким наклоном.
Во-1, такая методика спорна, во-2, единой методики оценки нет(какой период брать)
Отсюда вывод, который можно использовать практически. Улыбки волатильности будут колебаться и искать свое справедливое место.
Если взять группу связанных активов, то можно использовать то обстоятельство, что одни улыбки волатильности отстают, другие напротив обгоняют.
Например, самая большая группа активов, связанных с самим SP500- тут и ETF и ETN и furures -SRS,UPRO,SSO,SPXU,VIX,VXX,VIXM... всего не менее двадцати производных с опционами по отношению к SPX
Плюс еще два-три десятка на подобные индексы-Nasdaq,Dow,Russel
Все это множество производных имеет разные IV и разные улыбки волатильности, которые двигаются с разной скоростью(скорость, меняющая кривизну волатильности) и позволяет составлять более сложные продукты из более простых- продавать улыбку волатильности и страховать ее купленной улыбкой волатильности.
Возможные опционные техники по улыбке- покупка /продажа одиночного опциона, покупка/продажа вертикального спреда, покупка /продажа рэтио спреда, покупка/продажа опционной змеи и плюс перекрестные варианты между этими техниками.
Например, улыбки волатильности БА из группы производных по SP500
1 вариант по VIХ, 2 по SDS
VIX имеет интересную особенность- рынок знает, что он не может расти бесконечно и поэтому эта "сила притяжения" притягивает и улыбку волатильности

Совмещение одного с другим позволяет получить картину графика прибыли/убытков похожего на бесплатный опцион пут

Все это изобилие возможных инструментов и техник позволяет открыть новую линию- построение структурных продуктов для институциональных инвесторов. Доходность не столь высокая, но и рыночные риски можно минимизировать до нуля. 15-20% годовых с практически нулевым рыночным риском несколько предпочтительнее, чем 3-4% годовых на депозите

Все параметры в модели Блэка-Шоуза, за исключением волатильности базового актива, можно непосредственно получить либо из рыночных данных либо из условий, предусмотренных опционным контрактом.

Таким образом, используя рыночную цену конкретного опциона можно легко получить рыночную оценку подразумеваемой волатильности его базового актива путем использования численных методов и «обращения» формулы Блэка-Шоуза. Подставляя подразумеваемую волатильность в модель Блэка-Шоуза, мы получаем цену опциона равную его рыночной стоимости.

Улыбка волатильности

Улыбка волатильности отражает связь между изменением подразумеваемой волатильности и изменением страйка опциона при фиксированной дате экспирации. Улыбка волатильности стала неким показателем ошибочности предположения модели Блэка-Шоуза о независимости волатильности от цены страйк.

Рассмотрим фундаментальное предположение модели Блэка-Шоуза о том, что базовый актив имеет постоянную волатильность, и следовательно, подразумеваемая волатильность полученная численным обращением формулы Блэка-Шоулза должна быть одинаковой для опционов с одинаковыми сроками экспирации, но с разными страйками. Таким образом, если модель Блэка-Шоуза права, то улыбка подразумеваемой волатильности должна быть плоской. Эта гипотеза подтверждалась некоторыми эмпирическими данными. Подобная картина была характерна до определенного времени для опционов на индекс S&P 500 с одинаковыми сроками экспирации и разными страйками, то есть улыбка волатильности была плоской, но подобная картина наблюдалась только до краха 1987 года.

График 1. Улыбка волатильности

Первые наблюдения эффекта подразумеваемой волатильности на рынке ценных бумаг показывали, что улыбка волатильности, как правило, была U-образной формы. Отметим тот факт, что уровень волатильности является относительно более низким для опционов при деньгах (около денег).

Ухмылка волатильности

Тем не менее, в последние годы эффект улыбки волатильности на рынке ценных бумаг почти исчез. Вместо этого наблюдается эффект отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью. Эту асимметрию называют смещенной (ассиметричной) волатильностью или чаще всего ухмылкой волатильности. Как показано на графике 2, ухмылка волатильности всегда нисходящая, то есть подразумеваемая волатильность почти монотонно возрастает с понижением страйка. Поэтому этот эффект еще называют отрицательной асимметрией(перекосом).

График 2. Ухмылка волатильности

Вообще говоря, эффект ухмылки волатильности явно показывает нам, что формула Блэка-Шоуза неправильно оценивает опционы в деньгах и опционы вне денег.

Цена опциона, рассчитанная согласно модели Блэка-Шоуза увеличивается при повышении волатильности базового актива. То есть опционы, торгуемые с более высокой подразумеваемой волатильностью стоят дороже, при прочих равных условиях. Из-за отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, подразумеваемой волатильности увеличивается с уменьшением страйка, и, соответственно, цена опциона повышается при увеличении подразумеваемой волатильности. Когда уровень волатильности выше уровня предполагаемого плоской улыбкой модели Блэка-Шоуза, put опционы вне денег (и, следовательно, call опционы в деньгах, согласно паритету цен put-call опционов) стоят дороже, чем это предсказывает модель Блэка-Шоуза, и наоборот.

Кроме того, в связи с отрицательной связью между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, put опционы вне денег и call опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более высокую подразумеваемую волатильность, в то время как call опционы вне денег и put опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более низкую подразумеваемую волатильность. Как следствие, волатильность использующаяся для определения цены с низкими страйками цены опциона (т.е. put опциона глубоко вне денег, и call опицона глубоко в деньгах) значительно выше, чем используемая для определения цены опциона с высокими страйками (т.е. call опицона глубоко вне денег, и put опицона глубоко в деньгах).

Согласно допущениям модели Блэка-Шоулза, базисный актив характеризуется постоянным уровнем волатильности. Если эта посылка верна, то опционы на данный актив должны обладать одинаковой внутренней волатильностью вне зависимости от цен исполнения и сроков истечения контрактов. Однако практика показывает, что опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Аналогично разной внутренней волатильностью характеризуются опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Если для опционов с одним сроком истечения контрактов построить график зависимости между ценой исполнения и внутренней волатильностью, то он покажет, что эта зависимость является или квадратичной или монотонной. График квадратичной зависимости напоминает улыбку (см. рис. 12.3). Поэтому такая зависимость между ценой исполнения и внутренней волатильностью получила название “улыбки волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. До финансового кризиса октября 1987 г. улыбка волатильности была не сильно выражена. После кризиса она приобрела более выпуклую книзу форму и для ряда рынков перестала быть симметричной.
Условия паритета европейских опционов колл и пут предполагают, что они имеют одинаковое значение внутренней волатильности. Иначе открывается возможность совершить арбитражную операцию. Приблизительное равенство внутренних волатильностей выдерживается и для американских опционов. Поэтому график улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту характерна улыбка волатильности, представленная на рис. 12.3, т. е. она достаточно симметричена относительно опциона АТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. По сравнению с логнормальным распределением вероятностное распределение валютного курса с учетом данной формы улыбки волатильности характеризуется более толстыми хвостами и большей островершинностью. Это говорит о том, что валютный курс в большей степени испытывает сильные и слабые колебания, чем изменения средней степени. Улыбка волатильности также свидетельствует о том,

что инвесторы в равной степени страхуются как от роста, так и падения курса валюты.
Улыбка волатильности валютных опционов показывает, что опционы с большим выигрышем и большим проигрышем стоят на рынке дороже, чем это предполагается формулами, основанными на логнормальном распределении.
[
о I

АТЫ х
Рис. 12.3. Улыбка волатильности (а~ внутренняя волатильность, X- цена исполнения, А ТМ - опцион без выигрыша)
Объяснение формы графика улыбки волатильности можно связать с действиями центрального банка, который стремится поддерживать курс валюты своей страны на определенном уровне с помощью валютных интервенций. В то же время, при активном давлении игроков на валюту действия ЦБ могут оказаться безуспешными. В этом случае валютный курс качнется в одну сторону. Если же ЦБ выстоит, то курс может отклониться в противоположную сторону. Поэтому существует большая вероятность как стабильности курса, так и его значительных изменений.
Г рафик улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой (см. рис. 12.4). Вследствие его формы график могут назвать Ухмылкой волатильности”. Такой форме улыбки волатильности соответствует вероятностное распределение цены базисного актива, которое имеет более толстый левый хвост, более тонкий правый хвост и оно более островершинно по сравнению с логнормальным распеределением. Это говорит о том, что опцион колл с большим выигрышем и опцион пут с большим проигрышем будут стоить больше, чем это предполагается формулой Блэка-Шоулза, а опционы колл с большим проигрышем и пут с большим выигрышем соответственно меньше. Данная форма улыбки волатильности свидетельствует о том, что продавцы опционов считают более вероятным понести потери от продажи опционов пут с проигрышем, чем от опционов колл с проигрышем.
По мнению М. Рубинштейна возможное объяснение такой формы графика улыбки волатильности состоит в том, что после финансового кризиса 1987 г. участники рынка в большей степени стали опасаться повторения подобной ситуации. Поэтому они дороже оценивают опционы с более низкой ценой исполнения. Эту причину он назвал "кра- шофобией" - от английского слова “сгазЬрЬоЫа", т. е. боязнь краха.

Рис. 12.4. Ухмылка волатильности для акций и индексов

Еще одно объяснение можно связать с эффектом финансового рычага, т. е. соотношением между заемным и собственным капиталом компании. При росте курса акции финансовый рычаг уменьшается. В результате акция становится менее рискованной, и стандартное отклонение ее доходности падает. В случае падения цены бумаги финансовый рычаг возрастает, и увеличивается рискованность акции. Волатильность акции растет. Таким образом, в рамках данного подхода волатильность акции можно рассматривать как убывающую функцию ее цены.
Форма графика улыбки волатильности зависит от времени, которое остается до истечения опционов. В большинстве случаев она становится менее выраженной по мере увеличения срока действия контрактов.
Угол наклона кривой волатильности может служить для прогноза будущего направления движения цены базисного актива. Если кривая характеризуется сильным отрицательным наклоном, существует большая вероятность цены пойти вниз. Если наклон кривой положительный, то ожидают роста цены. Если форма кривой близка к прямой линии, то существенного движения цены не ожидается.
Для опционов ATM строят график зависимости между сроком истечения контрактов и внутренней волатильностью - он называется графином временной структуры волатильности. В долгосрочном плане динамика стандартного отклонения доходности базисного актива характеризуется возвращением его к определенному устойчивому среднему долгосрочному уровню (процесс mean reversion). Поэтому, если текущее стандартное отклонение доходности базисного актива ниже уровня его исторического среднего значения, то временная структура внутренней волатильности будет иметь восходящий характер. Если оно выше этого значения, то временная структура будет иметь нисходящий характер.
Обычно внутренняя волатильность для краткосрочных опционов больше, чем для долгосрочных, т. е. внутренняя волатильность краткосрочного опциона в большей степени зависит от движения цены базисного актива в течение торгового дня. Поэтому кривая временной структуры волатильности обычно имеет отрицательный наклон. Чем круче кривая, тем больше вероятность того, что в краткосрочном периоде возможно более сильное колебание цены базисного актива.
В динамике внутренней волатильности опционов замечен такой интересный факт. Она растет в преддверии важных экономических событий, которые ожидаются на рынке, например, сообщениях о макроэкономических показателях развития страны. После их обнародования она имеет тенденцию к уменьшению. Это можно объяснить тем, что до момента сообщения информации на рынке возрастает степень неопределенности по сравнению с обычными торговыми днями, а значит и риск торговли опционами. После сообщения информации неопределенность снижается, что вызывает уменьшение и внутренней волатильности опционов. Иногда это может сопровождаться ростом фактического стандартного отклонения доходности базисного актива.
В начале данной главы мы отметили, что внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно стандартного отклонения доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. Однако насколько верен такой прогноз. Можно ожидать, что в среднем внутренняя волатильность будет переоценивать фактическую будущую волатильность актива, поскольку она включает в себя еще премию за риск для участника опционного контракта.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно волатильности доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. В основе ее расчета лежит метод подстановки.
Опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Разной внутренней волатильностью характеризуются и опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Зависимость между ценой исполнения для опционов с одним сроком истечения и внутренней волатильностью назвается “улыбкой волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. График улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту улыбка волатильности достаточно симметрична относительно опциона ЛТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. График улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой.
Зависимость между сроком истечения опционов АТМи внутренней волатильностью называется графиком временной структуры волатильности.

С развитием рынка производных инструментов в России, актуальным становится анализ и использование возможностей, предоставляемых этим рынком.
В данном обзоре мы рассмотрим такие любопытные явления как “улыбка и ухмылка волатильности опционов”. А также возможные ситуации, связанные с данным явлением, и помощь, которую может оказать анализ или простое рассмотрение подобных ситуаций при принятии решений на классическом рынке акций.
Мы предполагаем, что читатель знаком с минимально необходимым объемом знаний об опционах и представляет, что опцион – это контракт, дающий право, но не обязывающий, купить или продать определенный актив по заранее установленной цене - цене страйк. Опцион, дающий право купить актив, называется опционом колл (call), а право продать – опционом пут (put). Опцион европейского типа исполняется только в дату погашения, в то время как американский опцион в любой день до этой даты по требованию владельца. Покупатель опциона может не требовать исполнения своего права по опциону, если ему это не выгодно, в то время как продавец обязан исполнить требование покупателя. За свое право покупатель выплачивает продавцу премию, размер которой и есть денежное выражение риска достижения базовым активом цены страйк, и является, по сути, ценой опциона, которая определяется в процессе торгов. Таким образом, убытки покупателя и доход продавца опциона всегда ограничены премией.

Важным фактором, влияющим на цену опциона, является волатильность базового актива. Волатильность, или стандартное отклонение в терминологии математической статистики, является мерой изменчивости базового актива, то есть, силы его ценовых колебаний. Более сильные исторические колебания цены актива дают большие значения волатильности. Как правило, волатильность рассчитывают на основе исторических временных рядов как среднеквадратичное отклонение логарифма цены актива, приведенное к годовому периоду. Расчитанная таким способом волатильность называется исторической (historical volatility, HV).
Разработано множество моделей определения взаимозависимости цены опциона и волатильности актива, но наиболее популярной является формула Блэка -Шоулза. Данная модель позволяет определить теоретическую стоимость опциона по исходным данным – цене базового актива и волатильности, цене страйк и времени до экспирации, процентной ставке и дивидендам. Но с помощью данной модели можно решить и обратную задачу, когда известными считаются все исходные параметры, кроме волатильности, вместо которой задается цена опциона, сложившаяся на торгах. Найденное таким образом значение называется подразумеваемой волатильностью (implied volatility, IV).
В формулах для теоретической стоимости опционов часто используется историческая волатильность, которая предполагается одинаковой для всех значений страйков. Если в этом случае изобразить график зависимости волатильности опционов одной серии от цены страйк при фиксированной цене базового актива, то он будет представлять горизонтальную прямую. На практике же, подразумеваемые волатильности опционов одного срока погашения, как правило, не совпадают. И при использовании сложившихся на торгах цен опционов и соответствующую им подразумеваемую волатильность, на графике можно увидеть так называемую "улыбку волатильности" (volatility smile). (Рис.1.)

Рис.1. “Улыбка волатильности”. Пример кривой волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС.

Такая форма кривой имеет простое объяснение: дело в том, что фактическое распределение дневных изменений цены отличается от принятого в теории логнормального. Это, в первую очередь, связано с большим эксцессом, свойственным реальному распределению плотности вероятности, имеющему "тяжелые хвосты", где вероятность резких движений базового актива выше, чем при логнормальном. Как следствие, опционы “глубоко вне денег” имеют более высокую подразумеваемую волатильность, а, соответственно, и цену, чем теоретическая. То есть продавцы опционов учитывают более высокую вероятность существенных колебаний, по сравнению с логнормальным распределением, которая для них может быть сопряжена со значительными и даже, возможно, необратимыми убытками, что особенно характерно для опционов глубоко вне денег. Именно в целях устранения дисбаланса риска продавцы увеличивают цену продажи этих опционов по сравнению с теоретическими, от которых реальные значения могут отличаться в несколько раз, как в денежном выражении, так и в значениях волатильности, соответственно.
Но гораздо большее значение для рыночных игроков имеет не сама улыбка волатильности, а ситуации, когда кривая становится несимметричной. В случаях, когда асимметрия кривой становится заметной, улыбку принято называть "ухмылкой волатильности" (volatility smirk). Причем, асимметрия может наблюдаться как в правую, так и в левую сторону, то есть мы получаем правую или левую ухмылку, соответственно. Наклон края улыбки называется “наклоном” или “перекосом волатильности” (volatility skew). Если на графике присутствует ухмылка, это говорит о наличии повышенного риска движения цены базового актива в определенном направлении, а величина наклона кривой частично о силе таких ожиданий.
Такая ситуация возникает тогда, когда рынок “предполагает”, что в одном из направлений возможно более значительное и резкое изменение цены базисного актива, чем в другом. То есть рыночные игроки ожидают большего движения котировок в ту сторону, в которую смещена улыбка. Например, если ожидается более резкое падение цены, то подразумеваемая волатильность опционов пут вне денег будет больше, чем у опционов колл вне денег, чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой по отношению к правой, то есть мы видим на графике левую ухмылку.
Особенно выжным показателем становится наклон или скручивание ухмылки волатильности в периоды после обвальных падений, таких как в результате текущего финансового кризиса. В периоды после таких падений кривая почти всегда имеет форму левой ухмылки. Причиной такой формы является “крахофобия” трейдеров и инвесторов, у которых свежа память о последнем обвале, что и отражается в цене путов глубоко вне денег. Таким образом, в посткризисные периоды, стоит обращать внимание на наклон ухмылки волатильности, изменение которого и будет сигнализировать об изменении ожиданий рыночных игроков.
Например, на рис.2 представлены кривые волатильности для опционов на индекс РТС с разными сроками исполнения (12 и 74 дня). График построен на основе данных на конец дня 02.07.2009 по результатам торгов на рынке FORTS, и мы видим на нем ухмылку волатильности с большим наклоном. То есть участники рынка предполагали более резкое падение цены, чему они и нашли подтверждение в ходе последующего движения рынка. Как мы видим на рис.3 в последующие два торговых дня наблюдалось достаточно существенное снижение индекса РТС, то есть ожидания игроков полностью оправдались и отразились в котировках акций, входящих в индекс.

Рис.2.”Ухмылка волатильности”. Кривая волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС от 02.07.2009

Рис.3.Динамика индекса РТС в период с 16.06.2009 по 06.07.2009

Рис.4.”Ухмылка волатильности”. Пример правой асимметрии для фьючерсов на опционы на золото.

Другой разновидностью ухмылки волатильности опционов является правая ухмылка. Пример такой ситуации представлен на рисунке 4, и говорит о том, что трейдеры ожидают более резкого движения вверх базового актива, нежели вниз. Такую ухмылку можно использовать как сигнал к покупке актива, если предположить, что профессиональные игроки рынка в большинстве своем не ошибаются. Причем, как мы уже говорили, в посткризисный период такую ухмылку достаточно трудно увидеть, и необходимо ориентироваться на изменение наклона левой ухмылки. Уменьшение наклона или переход к симметричной форме улыбки в течение времени уже может сигнализировать об улучшении настроений трейдеров.
В качестве примера на рис.5 представлено изменение формы улыбки волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС с исполнением 14.09.2009. “Срезы” сделаны на 02.07.2009 и начало дня 07.07.2009, и, теперь, если мы сопоставим формы улыбки волатильности с графиком движения индекса РТС в этот период, то мы сможем заметить, что существенное снижение индекса было “предсказано” большим наклоном левой ухмылки кривой 02.07.2009, когда отношение волатильности симметричных путов и коллов глубоко вне денег достигало 1,30. После чего последовало двухдневное резкое падение индекса, а в начале торгового дня 07.07.2009 в начале отскока ухмылка волатильности уже имела гораздо меньший наклон с соотношением 1,13, сигнализируя тем самым о локальном изменении настроений инвесторов.

Рис.5.Изменение наклона ухмылки волатильности.

Таким образом, даже минимальный анализ на основе кривой волатильности производных инструментов на индекс РТС позволяет определить настроения рыночных игроков. Тем более полезным это может быть, так как используемые в нашей стране торговые платформы и программы позволяют организовать экспорт необходимых данных в любые электронные таблицы для последующего простого анализа.
Параллельно с тем фактом, в контанго или бэквордации торгуются фьючерсы на индекс РТС, ухмылка кривой волатильности опционов является простым, информативным и доступным индикатором настроений трейдеров, и может являться хорошим дополнением к техническому анализу графиков для прогнозирования дальнейшего движения и определения точек входа и выхода. Мы не утверждаем, что это универсальный индикатор: он, как и другие, не исключает ошибок и ложных сигналов, но, все же, это хорошее дополнение к существующим методам, тем более с учетом того, что на рынке производных работают в основном профессионалы, чьи ожидания и отражаются в форме кривой. И, несомненно, эти смайлы не помешает учитывать при принятии решений на рынке акций, чтобы потом грустно не ухмыльнуться.

При торговле опционами существенным моментом является правильно оценить волатильность на нужном страйке. Для этого можно использовать улыбку волатильности, которую транслирует биржа. Но, во-первых, она не всегда хорошо соответствует текущим бидам-аскам в стаканах. Во-вторых, те, кто верит в Кукла, могут посчитать, что маркет-мейкеры (совокупный Кукл) специально манипулируют улыбкой, чтобы на этом зарабатывать, а те, кто доверился этой улыбке, - соответственно, терять деньги. В третьих, что делать, когда на рынке армагеддон, сплошные маржин-коллы, никого нет в стаканах и транслируемая биржей улыбка совсем неадекватна? В таких случаях наличие собственной модели улыбки могло бы дать преимущество в торговле.

Вот видео, как ведет себя транслируемая биржей улыбка IV:

Почему улыбка поднимается то вверх, то вниз? Почему она изогнута именно так, а не иначе? Почему перекатывается за текущей ценой БА, причем дно улыбки справа от БА и только к экспирации подтягивается к БА и улыбка становится симметричной? Почему ветви у нее то поднимаются, то опускаются? В попытке ответить на эти вопросы, и если получится - создать свою модель улыбки, и было проведено данное исследование.

Чтобы посчитать свою улыбку волатильности, нужно иметь распределение вероятностей, какой будет цена БА на экспирацию (в дальнейшем - распределение цен). Если знать это распределение, то можно однозначно вычислить цены опционов на каждом страйке, и потом, используя формулу Блека-Шоулза, можно вычислить IV на каждом страйке, и получить улыбку волатильности. Как можно получить распределение цен? Попробуем построить его, генерируя тысячи случайных траекторий цены, начиная с текущего значения БА. Конечные точки траекторий (цена БА на экспирацию) сохраняем, и в конце смотрим, как часто цена попадала в тот или иной диапазон. Т.е. получаем распределение цен на экспирацию.

Для построения случайной траектории будем использовать случайные приращения цены. В теории Блэка-Шоулза предполагается, что эти приращения распределяются по нормальному закону (а полученное в конце распределение цен - по логнормальному). Мы же возьмем распределение приращений, которое реально было на рынке (в дальнейшем - эмпирическое распределение). Вот, например, распределение приращений (на минутках) для фьючерса RTS-9.11:

На гистограмму распределения реальных приращений наложен график нормального распределения. Видно, что распределение реальных приращений отличается от нормального:

• Вероятность незначительных изменений цены больше чем в нормальном распределении;
• Вероятность средних изменений цены меньше чем в нормальном;
• Вероятность значительных изменений цены больше чем в нормальном (площадь под хвостами +-3*сигмы у эмпирического распределения в три раза больше чем у нормального);

Может быть улыбка волатильности возникает именно из-за этих отличий эмпирического распределения от нормального? Проверим это. Построим распределение цен на экспирацию, используя эмпирическое распределение. Но сначала немного подкорректируем его. Дело в том, что в эмпирическом распределении уже заложен тренд, который был у БА за рассматриваемый период (например RTS-9.11 за выбранный период упал с 183505 до 161190). И если использовать исходное эмпирическое распределение, то матожидание распределения цен на экспирацию будет сильно отличаться от стартовой точки траекторий. Улыбку волатильности строить по такому распределению - нельзя. Поскольку не будет выполняться колл-пут паритет. И улыбки, посчитанные отдельно для путов и для коллов, не будут совпадать. Для выполнения паритета необходимо, чтобы матожидание распределения цен на экспирацию равнялось текущей цене БА (стартовому значению для всех траекторий). Исключим трендовую составляющую из приращений (как советуют в этой статье) и построим подкорректированное распределение цен на экспирацию:

У этого распределения матожидание совпадает с текущим значением БА, поэтому можно рассчитывать улыбки. Посчитаем улыбку отдельно для путов и отдельно для коллов. Вот что получилось:

Черная жирная линия - улыбка волатильности, которую в тот момент транслировала биржа. Зеленая - улыбка волатильности, посчитанная по распределению цен для опционов колл. Розовая - улыбка волатильности для опционов пут.

Видно, что по краям посчитанные улыбки начинают расходиться, т.е. перестает выполняться колл-пут паритет. Но главное, посчитанные улыбки совсем не похожи на параболу. И напоминают скорее горизонтальную линию. К слову, если увеличивать кол-во траекторий, то кривая посчитанных улыбок начинает вытягиваться в строго горизонтальную линию. Как же у биржевой улыбки получается парабола?

При подсчете цен опционов по распределению цен сделаем коррекцию для опционов глубоко в/вне денег: чтобы внутренняя цена опциона была не меньше 10п (минимальная возможная стоимость опциона). Вот как выглядит теперь подкорректированная улыбка:

Это уже более похоже на биржевую улыбку. Но все равно смущает кусочно-линейная структура. Попробуем теперь убрать коррекцию с 10п и искусственно "утяжелить" хвосты распределения цен так, чтобы это условие (внутренняя цена опциона >= 10п) выполнялось автоматически. Получаем вот такое распределение цен:

И вот такую улыбку волатильности для него:

Кажется, мы на верном пути и улыбка все ближе к биржевой. Вопрос только - как именно "утяжелить" хвосты у распределения цен? И почему собственно их нужно "утяжелять"? Ведь мы использовали распределение приращений, в котором и так хвосты были гораздо толще, чем у нормального распределения. Возможно, причина кроется в зависимости приращений. Когда мы строили очередную случайную траекторию движения БА к экспирации, то на каждом шаге очередное приращение выбиралось абсолютно случайно. Т.е. мы исходили из принципа, что приращения в эмпирическом распределении независимы. Но так ли это в действительности?

Проведем эксперимент: после каждого значительного приращения (например, на +100п) запомним следующее приращение и посмотрим, какое получится распределение таких приращений. Вот какое условное распределение получается:

Видно, что матожидание этого распределения не ноль (0.02% от цены БА). 60% приращений имеют положительные значения. Т.е. в 60% случаев после роста вверх на 100п и более, на следующем баре движение вверх продолжалось и в среднем было примерно 30-40п (скальперам - на заметку!). Т.е. наш экспресс-анализ показывает, что приращения нельзя считать независимыми. И для генерации случайной траектории движения цены нужно не просто случайно выбирать очередное приращение, а использовать при этом некие зависимости.

Попробуем сымитировать такие зависимости. Например, рассмотрим такой вариант: в 98% траектории строятся абсолютно случайно, в 1% траектория строится случайно, но с тенденцией к падению, в 1% - к росту. Вот какое распределение цен получается:

Для такого распределения получается следующая улыбка волатильности:

Форма улыбки - все ближе к биржевой. Разберемся теперь с дном улыбки. У транслируемой биржей улыбки дно находится справа от текущего значения БА, и по мере приближения к экспирации - подтягивается к БА. И в последний день улыбка становится наконец симметричной. С чем связано такое поведение улыбки? Интересную гипотезу высказал Олег Мубаракшин : За смещение дна отвечает корреляция между ценой и волатильностью. То что мы наблюдаем для опционов на индекс - следствие отрицательной корреляции между приращениями цены фьючерса и приращениями его волатильности...

Попробуем смоделировать это. Т.е. будем использовать не фиксированное распределение приращений, а динамически меняющееся, в зависимости от того: растет текущая траектория цены или падает. Если растет, будем постепенно снижать волатильность. Если падает - будем повышать волу. Вот какое распределение цен получается при таком моделировании:

Видно что теперь левая сторона пика более пологая, поскольку для его построения использовалось более волатильное распределение приращений. Посмотрим теперь на улыбку, которая получается при таком распределении цен:

Гипотеза подтвердилась! Дно действительно сместилось вправо. Если посмотреть в динамике, то дно у такой улыбки будет также как и у биржевой по мере приближения к экспирации подтягиваться к БА.

Итак, подведем итоги нашего исследования и ответим на исходный вопрос - откуда появляется улыбка волатильности:

1. Отличие эмпирического распределения приращений от нормального, а также его толстые хвосты, не является причиной возникновения улыбки.
2. Улыбка возникает из-за толстых хвостов распределения цен на экспирацию.
3. Скорее всего эти толстые хвосты возникают из-за зависимости приращений в эмпирическом распределении.

Чем это может быть полезно с практической точки зрения, непосредственно для торговли? Теперь можно сделать инструмент для генерации улыбок, в котором трейдер на вход задает несколько параметров, на выходе получает улыбку. В этой модели хорошо что все входные параметры - не просто абстрактные коэф-ты для подгонки, а имеют физический смысл:

1. Сначала задается базовое распределение приращений. Можно взять, скажем, все приращения, которые были на рынке за последний месяц. Или другой период, который трейдер посчитает характерным для текущей ситуации на рынке. Можно даже взять просто нормальное распределение с сигмой, вычисляемой из HV. Т.е. вообще один параметр получается, и трейдеру нужно будет только оценить текущую HV на рынке. Это базовое распределение приращений будет задавать вертикальное положение будущей улыбки. Распределение с большей сигмой будет поднимать улыбку вертикально вверх, с меньшей - опускать вниз.
2. Задаются зависимости между приращениями, чтобы в конечном распределении цен на экспу были тяжелые хвосты. Для траекторий вверх и вниз можно задавать разные зависимости. Чем больше зависимость в каком либо направлении, тем больше угол наклона соответствующей ветви улыбки. Вариантов тут много. Можно, например, использовать информацию о распределении ОИ по страйкам. Скажем, если на каком-то дальнем страйке открыт ОИ в 1% от общего ОИ, значит делаем так чтобы 1% случайных траекторий стремился на экспирацию прийти на этот страйк. И т.д.
3. Задается зависимость между приращениями БА и приращениями его волатильности. Этот параметр будет влиять на смещение дна улыбки. Его наверняка можно просто вычислить по истории, и трейдеру не придется его оценивать самостоятельно.

Если сделать такой инструмент для генерации улыбки, то можно будет получать не просто одну улыбку, а некий диапазон (задавая несколько разных наборов входных параметров). Тогда можно будет использовать нижнюю границу диапазона для покупок, верхнюю - для продаж.

Еще результаты этого исследования можно применить для моделирования сценариев для имеющегося опционного портфеля. Теперь видно, что генерирование тысяч случайных траекторий при использовании просто статичного распределения приращений за какой-то период, даст слишком грубую оценку возможных вариантов для портфеля.

© 2013 Браулов Кирилл

Большую помощь в исследовании оказали:

• Голяндина Нина Эдуардовна,

Налоги и платежи