На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью U относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» можно записать на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):, V= - где V - скорость ракеты после истечения газов.

Здесь предполагалось, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.

Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью V. В течение малого промежутка времени Дt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью U. Ракета в момент t + Дt будет иметь скорость а ее масса станет равной M + ДM, где ДM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ДM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна V+U. Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Дt импульс ракеты равен ()(M + ДM)а импульс испущенных газов равен В момент времени t импульс всей системы был равен MV. Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:

Величиной можно пренебречь, так как |ДM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Дt и перейдя к пределу при Дt > 0, получим

Величина есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги F p Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение

выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:

где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости х ракеты:

где - отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости х = х 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости х = 4u отношение должно быть = 50.

Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т. д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.

Уравнение движения тела с переменной массой

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)

Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)

Разделив на $dt$, получаем:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:

$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)

Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $

Последнее соотношение называется формулой Циолковского .

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.

Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.

Найти: $\alpha $-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.

Найти: $H$-?

Решение:

Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:

Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:

Подставляя начальные значения, получаем:

$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

2.1. Идеальная скорость и массовые характеристики ракеты

Идеальная скорость - скорость, которую приобрел бы летательный аппарат, двигаясь прямолинейно, если бы весь запас энергии, находящийся на его борту, был бы израсходован на ускорение.

где: , - действительная скорость и её потери;

dV rp , d У Аяр , dV ynp - потери скорости гравитационные, аэродинамиче­ские и на управление, соответственно.

Первая космическая скорость V K , = 7900 м / c

V К 1 + dV пк 1 = V К2 = 10200 м / с

Идеальная скорость характеризует запас топлива на борту ра­кеты, необходимый для проведения определенного маневра.

Массовая характеристика ракеты

Массовые модели одно и двухступенчатых ракет приведены на рис. 8.

Рис.8

Условные обозначения: о. к, п, п.ф., коне, т, - массы стартовая, конечная, полезная, полезная фик­тивная, конструкции и топлива, соответственно.

Масса ракеты, находящаяся над ступенью, также называется полезной фиктивной нагрузкой.

Одноступенчатая ракета называется субракетой.

Количество субракет определяется требуемой дальностью доставки полезного груза. Так при использовании ЖРДУ для обеспечения дальности полёта до 1000 км используется 1 ступень, при дальности 1000 - 3000 км - 2 ступени, а при дальности более 3000 км - 3 ступени.

2.2. Относительные массовые характеристики субракет

1. Относительная масса полезного груза

2. Относительная масса конструкции

3.Относительная массатоплива

4.Число Циолковского - Z и модифицированное число Циолковско­ го -z:

2.3. Формула Циолковского

Предназначена для определения идеальной скорости ракеты. При выводе формулы Циолковского примем следующие допущения:

ракета летит прямолинейно;

гравитационные силы не рассматриваются;

давление окружающей среды отсутствует.

Рассмотрим расчётную схему исследуемого процесса, рис.9.

Согласно первого закона Ньютона:

Согласно формуле тяги:

Знак «-» в вышеприведенной формуле указывает на снижение массы двигательной установки М за счет уменьшения массы топлива.

Если конструкция космического аппарата состоит из N субракет и при этом значения числа Циолковского и эквивалентной скорости для них одинако­вы, то изменение идеальной скорости можно рассчитать по формуле:

3. Рабочий процесс в химических ракетных двигателях

3.1. Аэрогазодинамический нагрев в полёте

При движении газа с гиперзвуковыми скоростями М>5 на процесс теп­лообмена существенное влияние оказывают явления диссоциации, рекомбина­ции и ионизации.

Диссоциация - процесс разложения молекулярных соединений и ато­мов на их составляющие. Процесс сопровождается значительным поглощением тепла.

Рекомбинация - процесс обратный диссоциации; происходит с выде­лением тепла.

Существенная интенсификация данного процесса наблюдается при на­личии катализатора, в качестве которого можно рассматривать поверхность летательного аппарата (ЛА).

Ионизация - процесс отрыва свободных электронов от атомов.

При М<20 ионизируется менее 1% воздуха. Поэтому при указанных режимах полета влияние ионизации на теплообмен можно не учитывать.

В случае исследование теплообмена между поверхностью ЛА и газо­вым потоком при М<20 могут быть использованы зависимости, полученные в курсе «Термодинамика газовых потоков», с учетом влияния рассмотренных процессов на теплофизические свойства окружающей среды.

При движении ЛА с космическими или околокосмическими скоростя­ми в сильно разреженных слоях атмосферы протяжённость свободного пробе­га молекулы соизмерима, а в некоторых случаях превышает протяжённость летательного аппарата.

Такая зона полета называется областью свободномолекулярного пото­ка. При этом у поверхности ЛА отсутствует пограничный слой и математиче­ские зависимости полученные в курсе «Термодинамика газовых потоков», ста­новятся не применимы.

При полёте в области свободно молекулярного потока определяющим является критерий Кнудсена:

где: М и Re- критерии Маха и Рейнольдса, соответственно; к - показатель адиабаты.

В области свободномолекулярного потока величина критерия Кнудсе­на Кn>10.

При 0,1>Кn>0,01 у поверхности ЛА образуется тонкий пограничный слой скользящий вдоль неё, в котором наблюдается резкое изменение парамет­ров потока.

Процесс соударения между потоком и поверхностью ЛА характеризу­ется коэффициентом аккомодации А. Его величина зависит от параметров по­тока и состояния поверхности; характеризует относительную энергию, переда­ваемую от молекулы к поверхности ЛА при их соударении.

При проведении технических расчетов величина А принимается равной 0,9.

Процесс теплообмена в области свободно молекулярного потока с дос­таточной степенью точности характеризуется уравнением:

Характеризует отношение скорости полёта ЛА к возможной скорости молекулы;

Критерий Прандтля.

Формула И.В. Мещерского с именем К.Э. Циолковского

Итак, претендуя на изобретение межпланетной космической ракеты, К.Э. Циолковский должен был математически доказать ее способность преодолеть притяжение Земли, совершить космический полет и вернуться обратно.

В противном случае его идея была бы просто гипотезой, для превращения которой в изобретение предстоял еще долгий путь.

В настоящем разделе мы попытаемся понять в какой степени ему удалось решить эту задачу, каков был уровень его работ по ракетодинамике и какие ему принадлежат здесь приоритеты.

Сначала, конечно, остановимся на первой задаче ракетодинамики, носящей имя К.Э. Циолковского, так же как и полученная конечная формула и входящее в нее одно число.

Предполагая, что ракета летит в свободном пространстве, т.е. она не испытывает ни силы гравитации, ни сопротивления атмосферы и что скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты постоянна (это было его молчаливое предположение), он составляет следующее уравнение, исходя из закона сохранения количества движения:

dV (M 1 + M) =V 1 dM ; (1)

где М – запас топлива на ракете в данный момент полета;

M 1 – сухая масса ракеты;

V 1 – скорость истечения продуктов сгорания;

V – скорость ракеты.

Разделив переменные и интегрируя, он получил:

или V / V 1 = – ln (M 1 + М) + С где: C = const

До запуска, когда V = 0, М = М 2 , т.е. начальному запасу топлива на ракете.

Тогда С = ln (M 1 + М 2);

Наибольшая скорость получится, когда сгорит все топливо, т.е. когда М = 0, т.е.

Vmax = V 1 ln (1 + Z) (3)

Число Z называют ныне числом К.Э. Циолковского.

«Отсюда мы видим, – писал он, – что скорость V снаряда возрастает неограниченно с возрастанием количества М2 взрывчатых веществ. Значит, запасаясь разными количествами их, при разных путешествиях мы получим самые разнообразные окончательные скорости» [с. 77-78].

Но вот тут-то он уже и ошибся. Дело в том, что запас топлива на ракете хоть и может быть любым, но фиксированным сказывается отношение его массы к массе конструкции, т.е. число Z, которое в процессе развития ракет хотя и изменялось, но всегда имело некоторый свой логический предел, обусловленный конструктивными и технологическими особенностями. К.Э. Циолковский принял неслыханную и поныне скорость истечения V 1 = 5700 м/с (для водородно-кислородного топлива она составляет примерно 4500 м/с) и по формуле (3) получил, что Z приблизительно равно 3 для обеспечения первой космической скорости.

Он проводил расчет даже до Z = 200, не понимая, что это расчет абсурда. Для современных одноступенчатых ракет еще в полной мере не удается обеспечить Z = 10, необходимое для их выхода на орбиту.

Н.Д. Моисеев отмечал, что К.Э. Циолковский в своих расчетах все округления и допущения всегда делал так, что погрешность шла в запас [с. 27]. Но этому своему правилу в работе он явно изменил.

Проведя соответствующие расчеты по формуле (3), он пришел к выводу о том, что:

«При отношении M 2 / М 1 , равном шести, скорость ракеты почти достаточна для удаления ее от Земли и вечного вращения вокруг Солнца в качестве самостоятельной планеты. При большем количестве взрывчатого запаса возможно достижение пояса астероидов и даже тяжелых планет» [с. 83].

Он считал, что «…всевозможной величины снаряды с любым числом путешественников могут приобретать скорости желаемой величины», … «лишь бы запас взрывчатых веществ М 2 возрастал пропорционально возрастанию массы M 1 ракеты» [с. 82]. Но он не понимал, что величина Z ограничена возможностями природы и пропорционально отношение М 2 / M 1 может изменяться при недостаточно больших Z.

Формула (3) не учитывает потери в скорости ни за счет притяжения Земли, ни в результате воздействия аэродинамического сопротивления. Кроме того, в расчете использовалась экстремальная скорость истечения газов, причем даже без учета ее потерь из-за кпд двигателя. Значение этого кпд он мог ориентировочно принять таким, как у двигателей внутреннего сгорания, и тогда его ракета уже не выходила бы на орбиту.

В этой же работе он сделал, казалось бы, разумный шаг: он попытался определить влияние силы тяжести на скорость ракеты. При этом он пользуется формулами из школьного курса физики и совершенно не затрагивает специфики ракетного движения. Он писал: V = a t ; (4)

где: V – скорость ракеты в среде без тяжести и аэродинамического сопротивления; а – ускорение прямолинейного движения; t – время.

(У него было записано так: t = V/P где Р – ускорение; мы здесь заменили Р на а). К.Э. Циолковский вводит далее силу земного притяжения:

где V – скорость ракеты в конце активного участка при постоянном ускорении свободного падения g.

Комбинируя (4) и (5), он получил:

Подставив (6) в (2), он приходит к зависимости конечной скорости ракеты в среде с силой притяжения:

К.Э. Циолковский использует далее эту формулу для расчетов каких-то экзотических, второстепенных режимов движения. Например, он вычислил сколько времени простояла бы неподвижно ракета с работающим двигателем на Земле и на Луне если бы g = a.

Некоторые наблюдения были хоть и полезными, но, тем не менее, не актуальными. Например, он заметил, что если а –> ?, то скорость ракеты будет одинакова в среде с притяжением и без него (без аэродинамического сопротивления, конечно), т.е. что выгоднее сжигать сразу все топливо на Земле.

Далее он, положив, что g/a = 10, M 2 M 1 = 6 нашел, что V 2 = 9990 м/с [с. 89]. Казалось бы, что, наконец-то, круг замкнулся и то, ради чего была получена формула (7), сейчас будет достигнуто – ведь теперь уже очевидно, что числа Z = 6 не хватает для достижения второй космической скорости:

А ведь еще есть аэродинамическое сопротивление, к.п.д. двигателя. Если на каждое из этих слагаемых набросить тоже всего по 10%, то теперь уже потери в скорости составят 30%.

Однако К.Э. Циолковский отметил лишь прямо противоположное: «Мы нашли V 2 = 9900 м/с, т.е. такую скорость, которая лишь немного менее скорости V, приобретаемой в среде, свободной от силы тяжести при тех же условиях взрыва» [с. 89].

Об этой проблеме он думал всю свою жизнь. В 1935 году он писал о том, что чем больше он работал, тем больше находил разные трудности и препятствия на пути в космос, но в последнее время «…найдены приемы, которые дадут изумительные результаты» [с. 419].

Под этими приемами он понимал принцип многоступенчатых ракет, и как только он этот принцип для себя открыл, тотчас нашлись у него аргументы, свидетельствующие о невозможности осуществления межпланетного полета с помощью одноступенчатой ракеты.

В работе , которую он писал в конце жизни и не закончил, он прямо отметил, что не удается обеспечить скорость истечения продуктов сгорания на уровне 5-6 км/с, да и стартовая масса ограничена, он также сделал предположение о том, что в ракете может с полезными целями использоваться всего 70% энергии топлива, а скорость истечения может достигать всего 4 км/с [с. 421].

Проведя расчеты, он пришел к выводу о том, что «…практическая скорость едва достаточна для роли близкого земного спутника» [с. 422].

Таким образом, он в конечном итоге и сам признал, что предложенный им проект ракеты был не пригоден для обеспечения межпланетного полета, т.е. был фантастичным, гипотетическим, но это произошло уже тогда, когда он нашел, как ему казалось, способ решения этой проблемы.

Допустим, что ракета К.Э. Циолковского все-таки отправилась в межпланетное путешествие или, скажем, на Луну. Для этого она должна была не только набрать вторую космическую скорость, но и при посадке погасить ее до нуля, что требует увеличить запасы топлива. Этому вопросу К.Э. Циолковский уделил в своей работе самое пристальное внимание, посвятив ему отдельный раздел.

Для того, чтобы понять как формировались мифы о К.Э. Циолковском, рассмотрим его изложение А.А. Космодемьянским.

Он писал:

«В научной литературе по ракетодинамике совсем не упоминается о приоритете К.Э. Циолковского, впервые решившего задачу о мягкой посадке на астероид или планету без атмосферы. А это было сделано ученым еще в работе 1903 г., где есть небольшой раздел, озаглавленный «Среда тяжести. Отвесное возвращение на Землю» [с. 85-86].

«Дадим элементарный вывод одного из результатов Циолковского. Рассмотрим свободное пространство и ракету, получившую скорость V 1 = V r ln(1 + Z);

Погасить скорость V 1 в свободном пространстве (посадка на астероид) эквивалентно возможности иметь в ракете начальный запас топлива для получения скорости V 2 = 2V 1 ; т.е.

V 2 = 2 V r ln(1+Z 1) = V r ln(1+ Z 1) 2 = V r ln(1 + Z 2);

где Z 2 – число Циолковского, обеспечивающее получение ракетной скорости V (и ее уменьшение до нуля (мягкая посадка!). Легко понять, что

Эта формула приводится на стр. 92 указанной работы Циолковского. Он пишет, что из полученной формулы «…видим, как недопустимо громаден запас взрывчатого материала, если мы хотим приобрести очень большую скорость и потерять ее» [с. 92].

В самом деле, – продолжает А.А. Космодемьянский, – пусть Z 1 = 9 (это обеспечивает получение первой космической скорости при известных современных топливах), тогда из формулы (9) получаем:

Z 2 = (1 + 9) 2 – 1;

т.е. для одноступенчатой ракеты обеспечение разгона до V 1 = 8 км/с и последующего торможения до V = 0 требует, чтобы масса топлива была в 99 раз больше массы ракеты без топлива. Практически это невозможно.

Циолковский дал решение задачи о мягкой посадке на поверхность планеты без атмосферы с учетом силы притяжения, полагая, что масса ракеты (корабля) меняется по показательному закону. В этом случае (если М = М 0 е – at) уравнение прямолинейного (радиального) движения будет:

или (упрощающее предположение):

Величина

дает перегрузку. Если n – задано, то задача о мягкой посадке решается очень просто (это элементарная задача о равнозамедленном движении).

Циолковский в ряде своих работ придает важное значение случаю равнопеременных прямолинейных движений ракеты, когда М = М 0 е – at . По существу дела он первым детально обследовал этот класс движений ракеты» [с. 86-87].

А теперь сравним это с тем, что писал К.Э. Циолковский, конечно, для доказательности, по возможности, цитируя и его.

Он писал для среды без притяжения:

«Пусть, например, ракета силою взрыва некоторого (не всего) количества газов приобрела скорость 10000 км/с. Теперь для остановки следует приобрести такую же скорость, но в обратном направлении. Очевидно, количество оставшихся взрывчатых веществ … должно быть в пять раз больше массы М1 снаряда». (Он, конечно, эту цифру получил из формулы (2) – Г.С.).

«Стало быть, снаряд должен иметь по окончании первой части взрыва (для приобретения поступательной скорости) запас взрывчатого вещества, масса которого выразится через 5 М 1 = М 2 .

Вся масса вместе с запасом составит М 2 + М 1 = 5М 1 + М 1 = 6М 1 .

Этой массе 6М 1 первоначальное взрывание должно также сообщить скорость в 10000 м/сек, а для этого нужно новое количество взрывчатого материала, которое должно также в пять раз превышать массу снаряда с массою запаса для остановки, т.е. мы должны 6М 1 увеличить в пять раз; получим 30М 1 что вместе с запасом для остановки 5М 1 составит 35М 1

Обозначив число, показывающее, во сколько раз масса взрывчатого материала больше массы снаряда, через q = М 2 /М 1 предыдущие рассуждения, определяющие массу всего взрывчатого вещества М 2 /М 1 для приобретения скорости и уничтожения ее, выразим так:

М 3 /М 1 = q + (1+q) q = q (2 + q)

или, прибавляя и вычитая единицу из второй части уравнения, получим

М3/М1 = 1 + 2q + q 2 – 1 = (1+q) 2 – 1 (11)

т.е. он своим путем получил формулу (9).

К.Э. Циолковский не составлял и не решал, в частности, уравнения (10). Ни в одной из своих работ он даже не упоминал о законе изменения массы ракеты – он этого просто не понимал – и, конечно, в рассматриваемой работе не предполагал, что оно происходит по показательному (или по линейному) закону, и он вообще не исследовал «этот класс движения ракеты». Он просто использовал в своих расчетах известную из школьного курса физики формулу для равнопеременного прямолинейного движения.

Изобретенная им ракета была четко функционально ориентирована на решение задачи о межпланетных путешествиях. Однако К.Э. Циолковскому не удалось доказать математически осуществимость своего замысла.

Во-первых, он не справился с выбором числа Z (да и не мог, видимо, в то время с этим справиться) и, кроме того, в полной мере даже не понял его сущность, а во-вторых, он не нашел выхода с решением проблемы посадки ракетного аппарата на другие планеты или на Землю. В самом деле, представляется фантастикой даже для настоящего времени обеспечить массу топлива на ракете почти в 100 раз больше массы ее конструкции. Эти расчеты приведены только для первой космической скорости и, кроме того, не учитывали необходимость повторного старта с астероида (планеты), набора необходимой скорости и ее гашения при посадке на Землю. Полученные здесь цифры были бы чудовищно большими (число Z составляло бы несколько тысяч) и не оставляли бы никаких надежд на осуществление межпланетных путешествий.

Обратим внимание, К.Э. Циолковский не акцентирует внимание на этом аспекте, как бы убирая подальше от читателя очередное препятствие на пути к осуществлению своего проекта. Зафиксировав факт необходимости больших значений числа Z, он не сделал, казалось бы, логичного вывода о невозможности осуществления с помощью его ракеты межпланетного путешествия.

Расчеты К.Э. Циолковского были ориентированы ни на решение проблем, ни на их выявление, а на создание у читателей иллюзии теоретической респектабельности его идеи. Они проводились (подгонялись) под заранее заданный ответ.

Итак, его ракета была неработоспособна, поскольку она:

1) в одноступенчатом варианте едва могла выйти даже на околоземную орбиту;

2) не могла прилететь на другую планету и вернуться на Землю;

3) сопло двигателя было чрезмерно длинным и в ряде проектов оно было завито спирально;

4) двигатель нельзя было охладить предлагавшимися методами.

Новым, что внес К.Э. Циолковский в конструкцию ракеты было предложение использовать в ней не одно, а двухкомпонентное жидкое топливо. Другие его предложения, касавшиеся отдельных систем ракеты, были или его догадками, не подкрепленными экспериментами и расчетами, или оказывались очевидными. Особо стоит выделить вполне целесообразную идею о газовом руле ракеты, которая была несомненно патентоспособна.

Именно в этих четырех положениях и фокусируются наши разногласия с биографами К.Э. Циолковского. «Можно ли считать изобретателем человека, предлагающего неработоспособный и не выполняющий свою функциональную задачу технический объект?» – вот тот вопрос, который в данном контексте представляется ключевым. Само собой разумеется, что из указанных четырех недостатков ракеты Циолковского не все были одинаково принципиальны. Так, например, длина сопла и его форма могли быть легко скорректированы любым специалистом по теплотехнике или гидродинамике, что в действительности вскоре и произошло. А вот с остальными ситуация оказывалась сложной.

В самом деле, одноступенчатость ракеты исключала возможность ее использования для межпланетных полетов, что следовало и из исследований самого К.Э. Циолковского. Идея многоступенчатых ракет, как будет показано ниже, пришла к нам с запада от Р. Годдарда, а Циолковский так и не понял даже ее сути.

Может быть, ему принадлежит изобретение просто космической ракеты, т.е. ракеты, в одноступенчатом варианте достигающей космоса? Видимо, ответ и на этот вопрос будет по крайней мере спорным. Все исследователи того времени были бы рады увеличить дальность полета существовавших ракет, но не видели путей достижения этого. При использовании жидкого топлива в камере двигателя развивались столь высокие температуры, что сама ракета сгорала. Суть изобретательской задачи как раз и состояла в том, чтобы разрешить это противоречие, своего рода «заколдованный круг»: хочешь в космос – повышай калорийность топлива, а значит, и температуру его горения, но тогда ракета сгорает; хочешь ее сохранить – уменьшай эту температуру, но тогда останешься без космоса. Но это противоречие К.Э. Циолковский не разрешил, а это означает, что и изобретение не состоялось. Его предложение не было, таким образом, научно обоснованным, оставалось, поэтому, научно-фантастическим, просто догадкой. Посылка о том, что простое использование жидкого топлива взамен твердого позволит обеспечить межпланетный перелет была ошибочной. Изобретение технического объекта есть процесс, который может растянуться не только на десятилетия, но и на столетия, на протяжении которых большое количество исследователей вносят свой вклад в соответствующие работы, и приписывать любому из них изобретение всего объекта – большая методологическая ошибка. К.Э. Циолковский сказал: «Давайте для межпланетных путешествий использовать жидкое топливо.» Наука (да и расчеты самого Циолковского) говорила: «Нет, ничего не получится.» Р. Годдард и Г. Оберт сказали: «Давайте использовать, кроме того, многоступенчатые ракеты.» Наука сказала: «Правильно, но как обеспечить сохранность материальной части от разрушающего действия высоких температур?» Прошло более десяти лет, после которых немецкие специалисты нашли ответ и на этот вопрос, обеспечив сохранность Фау-2. Вот когда только закончилось изобретение жидкостной межпланетной ракеты с принципиальной точки зрения. Но нужны были усилия и десятков, скорее, сотен специалистов для изобретения отдельных элементов ракеты.

Нужно было действо лукавого глубокомыслия, чтобы все это приписать К.Э. Циолковскому. Впрочем, может быть, мы слишком строги к «основоположнику»? Итак, он – изобретатель или нет? Мы говорим: «Он один из изобретателей жидкостной (но даже не межпланетной) ракеты, которую изобрести ему в целом не удалось. Он всего лишь привлек внимание, даже не ученых, нет, а популяризаторов науки, журналистов, школьников к проблеме межпланетных полетов. В этом его заслуга. Но при чем здесь наука?

К.Э. Циолковского не следует, поэтому, называть изобретателем ракеты, поскольку он всего лишь один из многочисленных ее изобретателей, причем он – пионер в этой области, вызвавший к ней определенное внимание в России.

Наконец, следует отметить, что ему не удалось математически обосновать возможность совершить с помощью этой ракеты межпланетный полет, т.е. он сам же и нарушил то правило, выполнение которого, как показано выше, он требовал от других изобретателей. Поставить задачу – это еще не означает решить ее.

Вернемся к формуле (3).

В докторской диссертации Г.К. Михайлова, защищенной в МГУ в 1977 году , было убедительно показано, что уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур , а также П.Г. Тэйт и У.Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Эти работы были откровенно ориентированы на ракетную технику, причем в первой из них это уравнение решалось также и для случая движения ракеты в гравитационном поле.

Очевидно, что приоритет в этом вопросе и должен принадлежать этим ученым.

Однако у такой точки зрения существуют и оппоненты. Так в работе А.А. Космодемьянский считал, что их решение представляется лишь частным случаем решения этого уравнения К.Э. Циолковским, вытекающим из предположения, что сила тяги будет величиной постоянной, т.е. когда закон изменения массы будет иметь вид: М = М 0 (1 – at), где: М 0 – стартовая масса ракеты, a – постоянная величина, характеризующая секундный расход массы.

В работе , являвшейся учебником для студентов, одна из задач была посвящена движению ракеты с показательным законом изменения массы, т.е. когда ее ускорение постоянно:М = М 0 е – at

При этом была допущена небольшая, но существенная историческая неточность: автор работы представил дело таким образом, будто исходное уравнение было записано К.Э. Циолковским в таком виде:

где f(t) – функция, определяющая закон изменения массы. У К.Э. Циолковского она, дескать, f(0) = l, а линейный и показательный законы изменения массы, принятые англичанами, являются, частным случаем f(t).

Однако, во-первых, К.Э. Циолковский f(t) не вводил, не оговаривал и вообще не знал ничего о законах изменения массы. Это впервые и в конкретной форме сделали цитировавшиеся англичане. Во-вторых, случай f(0) = l – всего лишь начальное условие.

Наконец, скорость ракеты в конце активного участка для рассматриваемого случая вообще не зависит от закона изменения массы. Поэтому выражения для формулы скорости у англичан и у К.Э. Циолковского тождественны, а вот вычисление расстояний требует введения этого закона, что он в отличии от англичан не понял вообще.

Вместе с тем, как бы ни закончился спор о его приоритете с англичанами, приоритет в решении уравнения тела с переменной массой ему не принадлежит в любом случае.

В России это уравнение впервые было решено другим нашим соотечественником, крупнейшем специалистом по теоретической механике, специализировавшемся именно на исследованиях движения тел переменной массы, бывшим приват-доцентом Санкт-Петербургского университета, а с 1902 года – ординарным профессором кафедры теоретической механики Петербургского политехнического института Мещерским Иваном Всеволодовичем (1859-1935 гг.). 27 марта 1897 года он представил свою диссертацию с решением этого уравнения в деканат, в ноябре того же года она уже была опубликована, а 10 декабря состоялась защита. По данным [с. 146] свое уравнение К.Э. Циолковский решил в мае 1897 года, а опубликовал, как уже отмечалось, только в 1903 году.

Сам А.А. Космодемьянский в предисловии к работе писал: «Диссертация Мещерского «Динамика точки переменной массы» и его работа «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» составляют надежный теоретический фундамент современной ракетодинамики». И далее: «И.В. Мещерский – создатель нового раздела теоретической механики» [с. 25]. «Механика тел переменной массы есть научная основа современной ракетодинамики» [с. 5].

Полученные И.В. Мещерским уравнения используются во всех видах летательных аппаратов, где происходит отделение (ракеты) или присоединение (воздушно-реактивные двигатели) массы.

Во второй главе он решает простейший случай этого уравнения, когда «скорость изменяющейся массы равна скорости точки» [с. 41].

Сейчас, при решении вопроса о приоритете К.Э. Циолковского, многие исследователи отмечают, что он свою формулу получил применительно к движению ракет, а И.В. Мещерский, якобы, лишь для некоторого абстрактного случая.

Однако даже беглое ознакомление с его работами убедительно свидетельствуют, что и это утверждение несостоятельное.

И.В. Мещерский писал:

«Глава III содержит задачи о прямолинейном движении точки переменной массы и, прежде всего, те, к которым мы приходим, рассматривая вертикальное движение горящей ракеты и привязного аэростата … и далее решается задача о движении тяжелой точки массы m = m 0 (1 + at) 2 при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости» [с. 43]. Решение этой задачи он свел к известному уравнению Риккати. В главе VI он рассматривал движение точки переменной массы в однородном поле тяготения, в том числе и когда масса точки изменяется по показательному закону [с. 122]. Основное уравнение ракеты (формула К.Э. Циолковского) было представлено в виде [с. 121]: X = а ln(f) + Х 0 , где f – безразмерная масса, а = const.

Иногда можно слышать суждения и о том, что К.Э. Циолковскому хотя и не принадлежит приоритет в решении рассматриваемого уравнения, но он был первым, кто применил известную формулу к расчетам межпланетной ракеты (а не просто ракеты). Однако, если следовать этой логике, необходимо было бы законам, скажем, Ньютона или таблице умножения присваивать имена тех исследователей, которые впервые применяли их в новых областях науки и техники. Использование известной формулы в другой области познания не является предметом приоритета.

Не удалось К.Э. Циолковскому с помощью простых расчетов по этой формуле получить и какие-либо серьезные выводы. Наоборот, эти расчеты были способом ввести читателей в заблуждение относительно принципиальной осуществимости космической ракеты. С их помощью он, как уже отмечалось «прятал» проблемы, стоявшие на пути в космос.

К.Э. Циолковский в одной из своих работ писал:

«Я многое открыл, что было уже открыто ранее меня. Значение таких работ я признаю только для самого себя, так как они давали мне уверенность в моих силах. Также должны смотреть на свои открытия ученые, сделавшие их после меня. Обвинять в заимствованиях, конечно, без доказательств нельзя. Все же я думаю, что как мои запоздалые работы, так и других ученых отчасти навеяны отголосками ранее опубликованных трудов. Молва и печать их распространяют иногда и без указания источников. Печатная дата – вот, что решает спор о первенстве (приоритете) и значении ученого» [л. 1].

Ну что ж, настало время вернуть свой долг И.В. Мещерскому или англичанам. Следует вспомнить еще одну горестную судьбу уравнения, впервые полученного и исследованного И.В. Мещерским в 1897 году. Оно являлось частным случаем уравнения (1) и, только спустя 31 год(!), итальянский математик Леви-Чивита еще раз его вывел и оно получило его имя: «уравнение Леви-Чивита» [с. 16]. И здесь следовало бы восстановить историческую справедливость – для этого, в частности, и существуют историки науки и техники, – и вернуть И.В. Мещерскому его уравнение.

Итак, мы не нашли у К.Э. Циолковского ни одной задачи, типичной для ракетодинамики, специфику которой он не понимал и подменял в результате сущность ракетного движения представлениями о движении абстрактного тела.

Вот, например, как он решал вторую свою задачу, хотя непонятно кто и когда присвоил ей его имя. Формулируется она так: «Пусть ракета движется поступательно по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести и начальная скорость центра масс ракеты равна Vo. Требуется определить закон изменения скорости и расстояния (высоты) ракеты в зависимости от времени при различных законах изменения массы и найти максимальную высоту подъема ракеты» [с. 204].

Это цитата из работы А.А. Космодемьянского, в которой он привел современное решение и этой задачи, создавая у читателей иллюзию, что именно так ее и решил К.Э. Циолковский. Мы не будем здесь пересказывать решение ее А.А. Космодемьянским – желающие узнать о современных способах могут обратиться к первоисточнику , а мы отметим ход ее решения самим К.Э. Циолковским:

Дальше продолжать не будем, поскольку любой человек со средним образованием здесь все поймет без лишних слов. Отметим только, что ни о каком учете изменения массы ракеты К.Э. Циолковский речи, конечно же, не вел – необходимость этого он даже не понимал.

К.Э. Циолковскому не принадлежит приоритет в выводе ни одной формулы ракетодинамики – в своих рассуждениях он использовал малообоснованные формулы из школьного учебника физики. А ведь ракетодинамика – это еще и вариационные задачи.

В работе утверждается, что получение формулы, носящей имя К.Э. Циолковского, «… было отнюдь не простым делом для того времени, как может показаться на первый взгляд.» Для доказательства отмечается, что американский исследователь Р.Х. Годдард, составив соответствующее дифференциальное уравнение, не сумел его решить, что уже «… само по себе доказывает на наличие своеобразных трудностей в этом вопросе» [с. 27].

С нашей точки зрения этот вывод был весьма простым. В работе приводится доказательство того, что это уравнение решали на экзаменах студенты Кембриджского университета еще в середине XIX в.

Авторы работы считают, что «Циолковский является подлинным и единственным основоположником научной космонавтики, потому что до появления его трудов ни такой научной дисциплины, ни такой области научно-технического прогресса, ни такой области человеческой деятельности не существовало вообще…» [с. 145]. Однако здесь допускается логическая ошибка по схеме: после этого, значит по причине этого. Подгонку результатов расчетов под заранее заданный ответ нельзя называть научным исследованием. Космической науки не существовало и после смерти К.Э. Циолковского приблизительно 15-20 лет. Даже ракета ФАУ-2 была создана в условиях резкого отставания науки от потребностей практики методами проб и ошибок (см., например, ).

Судьба рассмотренной здесь работы К.Э. Циолковского оказалась неудачной. Вскоре после ее выхода в газетах появилось сообщение о том, что журнал «Научное обозрение» закрыт. Видимо, часть тиража была конфискована, так что сам автор с большим трудом достал всего один его экземпляр.

В августе 1911 году он писал Б.Н. Воробьеву (редактору журнала «Вестник воздухоплавания»):

«Время было строгое, когда печаталось начало моей статьи, и редактор, как он писал, терпел неприятности от цензуры, если не больше. Оттиски (особые), как видно, были конфискованы, так как я не мог их получить даже за деньги из типографии, и говорить со мною о них не стали, хотя они несомненно были по словам же типографии» [с. 15].

Так что, о гипотезе межпланетной ракеты общественности стало известно, в основном, лишь в результате последующих публикаций К.Э. Циолковского, хотя подписчикам журнал был доставлен даже за границу.

Итак, попытаемся понять, в чем заслуга К.Э. Циолковского в ракетной технике.

В.Н. Сокольский считает, что она состоит в том, что он объединил два направления: мечту писателей-фантастов о межпланетных путешествиях с предложением использовать для этих целей ракеты , т.е. для решения известной функциональной задачи он предложил известное техническое средство. Однако, строго говоря, это сделал еще Сирано де Бержерак. К.Э. Циолковскому не удалось предложить а) работоспособную конструкцию ракеты и б) математически обосновать возможность межпланетных путешествий. Он не стал, следовательно, изобретателем жидкостной ракеты, хотя, несомненно, был пионером в этой области и высказал перспективную идею о принципиальной возможности использовать на ракетах, кроме твердого, жидкое двухкомпонентное топливо. Для того, однако, чтобы изобретение состоялось, ему необходимо было разрешить возникавшее противоречие, связанное с тем, что весьма высокие температуры, обусловленные использованием самого калорийного топлива, разрушали ракету, но сделать это ему не удалось.

Обратим внимание на то, что все его идеи были вовсе не наукоемки и касались задач, находящихся на уровне почти бытовых знаний и мышления.

Его усилия по разработке отдельных систем этих жидкостных ракет приводили либо к очевидным (для того времени) результатам, либо были догадками, фантазиями их автора, ничем, в сущности, не обоснованными.

В социальном плане он, будучи пионером в области жидкостных ракет, самим фактом своей деятельности вызывал интерес общества к проблемам развития космонавтики, впервые попытавшись обеспечить научный подход к их решению, что представляется его несомненной заслугой.

Из книги Курс русской истории (Лекции I-XXXII) автора

Формула Таким образом, удельный порядок держался на двух основаниях, на географическом и на политическом: он создан был совместным действием природы страны и её колонизации. 1) При содействии физических особенностей Верхневолжской Руси колонизация выводила здесь мелкие

Из книги Курс русской истории (Лекции I-XXXII) автора Ключевский Василий Осипович

Формула Таковы были главные следствия удельного порядка. Их можно свести в такую краткую формулу: под действием удельного порядка северная Русь политически дробилась всё мельче, теряя и прежние слабые связи политического единства; вследствие этого дробления князья всё

Из книги Битва за звезды-1. Ракетные системы докосмической эры автора Первушин Антон Иванович

Ракеты и ракетные поезда Константина Циолковского Константин Эдуардович Циолковский - одна из самых неоднозначных фигур в истории. С одной стороны, никто не может отрицать его заслуг перед человечеством на поприще разработки теоретических основ космонавтики. С другой

Из книги Астронавты Гитлера автора Первушин Антон Иванович

ИНТЕРЛЮДИЯ 1: Секретные материалы Циолковского В начале ХХ века ракеты считались экзотикой. Даже самые совершенные из них уступали дальнобойной артиллерии, и мало кто мог предположить, что через полвека сверхдержавы будут запугивать этим оружием друг друга.

автора Первушин Антон Иванович

1.4. ВИДЕНИЯ КОНСТАНТИНА ЦИОЛКОВСКОГО Официальная биография Циолковского хорошо известна. Более того, ее изучают в школах. Поэтому я не стану подробно расписывать ее здесь, позволив себе напомнить вам лишь основные вехи жизни калужского мыслителя.Константин Эдуардович

Из книги Космонавты Сталина. Межпланетный прорыв Советской Империи автора Первушин Антон Иванович

СТРАННАЯ ФИЛОСОФИЯ ЦИОЛКОВСКОГО Как-то мне на глаза попалось интервью, которое давал пару лет назад довольно известный популяризатор, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института истории естествознания и техники РАН Гелий Малькович Салахутдинов.

автора

Борьба К.Э. Циолковского против второго начала термодинамики и за вечную юность вселенной 1903 год был пиком творчества К.Э. Циолковского. Статья его прошла незамеченной научной общественностью, что и понятно, поскольку дискутировать с «сумасшедшими» идеями,

Из книги Блеск и нищета К. Э. Циолковского автора Салахутдинов Гелий Малькович

Феномен К.Э. Циолковского Проанализировав практически все основные идеи К.Э. Циолковского, наступил, видимо, момент, когда следует попытаться ответить на вопрос о том, а кем же он был: ученым, изобретателем, компилятором или графоманом.Как могло случиться, что человек, не

Из книги Блеск и нищета К. Э. Циолковского автора Салахутдинов Гелий Малькович

Вклад К.Э. Циолковского в науку и технику Стразу ограничим наш предмет утверждением, что К.Э. Циолковский никакого вклада в науку не внес несмотря на все попытки в этом направлении.Из всех попыток изобретательства ему удалась всего одна работа – это его предложение по

Из книги Личности в истории. Россия [Сборник статей] автора Биографии и мемуары Коллектив авторов --

Звездный мечтатель. К 150-летию Константина Эдуардовича Циолковского Мануэлла Лоджевская, Илья Бузукашвили Впервые он доверил слова своей молитвы перу и бумаге, когда ему было 30 лет: «Отец, живущий на небе! Да узнают про существование твое все живущие на Земле. Пусть узнают

Из книги Антисемитизм как закон природы автора Бруштейн Михаил

Из книги Криптоэкономика мирового алмазного рынка автора Горяинов Сергей Александрович

Формула Родса В 1870 г. на юге Африки (на территории современной ЮАР) были открыты три крупных месторождения алмазов? Ягерсфонтейн, Дютойтспен и Коффифонтейн. Это были первые известные в Истории коренные месторождения, так называемые кимберлитовые трубки взрыва. В 1871 г.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

$m\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{d\backslash vec\{V\}\}\{dt\}+\; \backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{dm\}\{dt\}=0$, в котором $m$ - масса точки; $V$ - скорость точки; $u$ - относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс $I$ $\backslash Delta\; v\_\{g\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; g(t)\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma\; (t))\backslash ,dt$,

где $g(t)$ и $\backslash gamma\; (t)$ - местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение $\backslash cos(\backslash gamma\; (t))$ близко к максимальному значению - 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{a\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{A(t)\}\{m(t)\}\; \backslash ,dt$,

где $A(t)$ - сила лобового аэродинамического сопротивления, а $m(t)$ - текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{u\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{F(t)\}\{m(t)\}\; \backslash cdot(1\; -\; \backslash cos(\backslash alpha\; (t)))\; \backslash ,dt$,

где $F(t)$ - текущая сила тяги двигателя, $m(t)$ - текущая масса ракеты, а $\backslash alpha\; (t)$ - угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$\backslash frac\; \{M\_\{1\}\}\; \{M\_\{2\}\}\; =\; e^\{V/I\}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса . Введём следующие обозначения:

$M\_\{0\}$ - масса полезного груза; $M\_\{k\}$ - масса конструкции ракеты; $M\_\{t\}$ - масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

$M\_\{k\}=\backslash frac\; \{M\_\{t\}\}\; \{k\}$, (2) где $k$ - коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента $k$. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения $k$).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$\backslash frac\; \{M\_\{0\}+\; M\_\{t\}+M\_\{t\}/k\}\; \{M\_\{0\}+M\_\{t\}/k\}=e^\{V/I\}$,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M\_\{t\}=\backslash frac\; \{M\_\{0\}\; \backslash cdot\; k\; \backslash cdot\; (e^\{V/I\}-1)\}\{k+1-\; e^\{V/I\}\}$ (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента $k$.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: $k+1-\; e^\{V/I\}>0$ , иначе говоря, $k>e^\{V/I\}-1$ (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости $V$ при заданных значениях удельного импульса $I$ и коэффициента $k$. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой $M\_\{0\}=10$ т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс $I=2900$ м/c . Коэффициент $k=9$ - это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя .

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь - вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит $V=8359,4$ м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $e^\{V/I\}=17,86$. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно .

Расчёт для двуступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. $V=4179,7$ м/c . На этот раз $e^\{V/I\}=4,23$, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: $M\_\{t2\}=\backslash frac\; \{10\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; (4,23-1)\}\{9+1-\; 4,23\}=50,3$ т ; $M\_\{k2\}=\backslash frac\; \{50,3\}\; \{9\}=5,6$ т ; полная масса 2-й ступени составляет $55,9$ т . Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: $M\_\{t1\}=\backslash frac\; \{(10+55,9)\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; (4,23-1)\}\{9+1-\; 4,23\}=331,3$ т ; $M\_\{k1\}=\backslash frac\; \{331,3\}\; \{9\}=36,8$ т ; полная масса первой ступени составляет $368,1$ т ; общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит $10+55,9+368,1=434$ т . Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем: -Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит $323,1$ т . -Четырёхступенчатой - $294,2$ т . -Пятиступенчатой - $281$ т .

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении - при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты $k$ остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это - сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями - переходниками - несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки , которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента $k$, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости . В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

$\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}=\backslash left\; (\backslash frac\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{c\}\{2I\}\}$,

где $c$ - скорость света . Для фотонной ракеты $I=c$ и формула имеет вид:

$\backslash frac\{M\_\{1\}\}\{M\_\{2\}\}=\backslash sqrt\; \{\backslash frac\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\}$,

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

$\backslash frac\{V\}\{c\}\; =\; \backslash frac\{1-\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}\{1+\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}$,

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Циолковского"

Примечания

Литература

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. - М .: Наука, 1980. - 512 с.

Законы и задачи Небесная сфера Параметры орбит Движение небесных тел Астродинамика Космический полёт Орбиты КА

Отрывок, характеризующий Формула Циолковского

– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.
«Ну, тише, тише, замирайте теперь. – И звуки слушались его. – Ну, теперь полнее, веселее. Еще, еще радостнее. – И из неизвестной глубины поднимались усиливающиеся, торжественные звуки. – Ну, голоса, приставайте!» – приказал Петя. И сначала издалека послышались голоса мужские, потом женские. Голоса росли, росли в равномерном торжественном усилии. Пете страшно и радостно было внимать их необычайной красоте.
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг"ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Денисов не отвечал; он подъехал к Пете, слез с лошади и дрожащими руками повернул к себе запачканное кровью и грязью, уже побледневшее лицо Пети.
«Я привык что нибудь сладкое. Отличный изюм, берите весь», – вспомнилось ему. И казаки с удивлением оглянулись на звуки, похожие на собачий лай, с которыми Денисов быстро отвернулся, подошел к плетню и схватился за него.
В числе отбитых Денисовым и Долоховым русских пленных был Пьер Безухов.

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.
Эти три сборища, шедшие вместе, – кавалерийское депо, депо пленных и обоз Жюно, – все еще составляли что то отдельное и цельное, хотя и то, и другое, и третье быстро таяло.
В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.

Facebook

Twitter

Вконтакте

Google+

Налоги и платежи