В этом разделе рассмотрим СМО типа М/М/n/m< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
Это ограничение носит принципиальный характер, т.к. при вычислении вероятностей состояний СМО необходимо знание не только текущего состояния (числа требований в системе), но и того, как давно пришли требования, ожидающие обслуживания. Таким образом, процесс К(t) перестает быть марковским.
Время ожидания в очереди может быть ограничено как детерминированной, так и случайной величиной. В обеих случаях процесс К(t), как уже было сказано, характеризуется наличием последействия. Однако, способы формирования на его основе марковской модели СМО существенно различаются.
7.3.1. Время ожидания ограничено случайной величиной τ
В этом случае все зависит от закона распределения ограничения , т.к. именно ограничение вносит в систему последействие. Поэтому вернуть процессу К(t) марковость крайне просто. Достаточно принять для описания случайной величины экспоненциальное распределение. Однако при этом нельзя забывать, что такая операция возможна лишь в том случае, когда реальное распределение или действительно экспоненциальное, или близко к нему. Если это не так, то сформированная математическая модель будет неадекватна реальной СМО.
При экспоненциально распределенном ограничении на время ожидания в очереди, процесс изменения числа требований в СМО по-прежнему будет процессом размножения и гибели с той лишь разницей, что интенсивность гибели увеличится за счет, покидающих очередь требований, у которых время ожидания превысило допустимую величину.
Примем, что распределение времени ожидания имеет вид:
F(t) = 1 - e - функция распределения,
f(t) = e - плотность распределения,
где - интенсивность выхода из очереди за счет превышения допустимого времени ожидания.
Тогда параметры процесса К(t) будут равны:
K , при к N + (k - n) , при к>n . Читателю предлагается самостоятельно, руководствуясь материалом раздела 7.2.1,
написать модель рассматриваемой СМО, и формулы для вычисления основных характеристик СМО в стационарном режиме. 7.3.2. Время ожидания ограничено неслучайной величиной τ
В этом случае для описания СМО с помощью марковской модели целесообразно использовать второй из приведенных в 7.1. способов, а именно, расширение понятия состояния. Для того, чтобы прогнозировать распределения состояний в будущем, необходимо знать как давно пришли в систему требования, которые в настоящее время находятся в очереди. Это можно сделать, включив в число обобщенных координат, описывающих состояние СМО, давность прихода каждого ожидающего требования, или, что то же самое, время, которое осталось у него до окончания срока ожидания. В рамках процесса К(t), которым мы пользовались во всех предыдущих задачах, это сделать нельзя, и в рассматриваемом случае модель функционирования СМО строится на основании векторного случайного процесса X ,
характеризующего состояние системы через состояния каждого из n ее каналов: X
= { X (t), X (t),…. X (t)} = {
X (t)} X (t) – это время, которое осталось до освобождения j-ого канала. Таким образом, для каждого момента времени t, мы можем прогнозировать будущие состояния каналов: j-ый канал освободится через х j (t), если за это время не поступят требования из внешнего потока. А так как входящий поток простейший, это значит, что в процессе X
последействие отсутствует, т.е. процесс марковский. Найдем распределение этого процесса. (7.3)
Это функция и плотность n-мерного распределения вектора X (t) в случае, когда все каналы заняты. Занятые (и только они) каналы персонифицированы, т.е. перенумерованы. То же, что и выше, но в случае, когда занято лишь «к» каналов, а остальные свободны. (7.4)
В дальнейшем, для простоты, будем трактовать плотность f (t; x …x ) как вероятность того, в СМО занято к каналов, которым присвоены номера от 1 до к., опуская при этом формальное умножение на . Знание этих распределений позволит вычислять вероятности состояний рассматриваемой системы. Для вывода необходимых уравнений используем марковское свойство процесса X(t), а именно: будем выражать вероятность состояния процесса в момент t+ t (будущее) через его состояние в момент t (настоящее). Предварительно заметим, что - вероятность того, что в системе нет требований. Для нулевого состояния СМО (в системе нет требований) можем, как и прежде, записать (7.5)
Второе слагаемое означает, что в момент t в одном из каналов системы было требование, обслуживание которого заканчивалось на интервале t , и этим каналом мог быть любой из n. Преобразуя и переходя к пределу при t 0, получим: (7.6)
Рассмотрим случай, когда 0 (7.6)
При составлении этого уравнения учитывалось следующее: · за время t занятости всех каналов уменьшаются на , и если за это время не подойдет ни одного требования входящего потока, то к моменту t система окажется в нужном состоянии (первое слагаемое правой части); · второе слагаемое правой части: в момент t был занят к-1 канал, а канал с номером i (из числа персонифицированных) был пустым, и что бы СМО пришла в нужное состояние необходимо: чтобы пришло требование, чтобы время его обслуживания было равно x , и чтобы из (n-к) свободных каналов оно выбрало именно i-ый, причем этим каналом может быть любой из каналов с номерами от 1 до к. · последнее слагаемое означает, что в момент t был занят (к + 1) канал, но в одном из них (а именно в (к+1)–ом) на интервале обслуживание заканчивалось. Причем таким каналом может быть любой из (n – к). Теперь рассмотрим случай, когда : (7.7)
Поясним, как и выше, содержание правой части: · Первое слагаемое отличается от случая к · Второе слагаемое в содержательном плане ничем не отличается от случая к · Третье слагаемое правой части отвечает ситуации, когда все каналы заняты, как это нужно, но один из них «недозанят», например, X (t) = Z < x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов. Вспоминая определение смешанной частной производной: ,(7.8)
производя группировку членов уравнений, как это делалось выше, и переходя к пределу при , окончательно получим: (7.9)
(7.10)
Эти уравнения относятся к стационарному режиму, что получило свое выражение в том, что производные плотностей распределения по t приняты равными нулю, а сами плотности записаны в финальной форме, как функции не зависящие от времени. Кроме того, для простоты последующих выкладок, приняты следующие обозначения: f = f и f = f . Решение этой системы, т.е. отыскание функций f и f , произведем следующим образом. Вначале, исходя из общих соображений содержательного характера, найдем вид этих функций, после чего подставим их в систему уравнений с целью установить, удовлетворяют они им или нет. Если ответ будет положительным, то решение системы уравнений найдено. Сперва рассмотрим случай 0 . Как говорилось выше, функция f имеет смысл вероятности того, что в СМО занято «к» персонофицированных (перенумерованных) каналов, причем первый освободится через x единиц времени, второй через x , … , к-ый через x . Каналы функционируют независимо, и время обслуживания в каждом распределено экспоненциально. Тогда вероятность рассматриваемого события равна: (7.11)
Вероятность того, что занято k перенумерованных каналов P - вероятность того, что в СМО занято k каналов Расчетное время ожидания в очереди Имея в своем распоряжении такой важный параметр, как расчетное время ожидания в очереди, можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов за счет: Объявления клиенту о том, сколько он может прождать в очереди (подробнее об этом мы говорили выше). Гораздо предпочтительнее, чтобы в случае резко возросшего расчетного времени ожидания в момент пиковой нагрузки (например, 3 минуты и более) клиенты вешали трубку и перезванивали позже, а не бесконечно «висели» на линии; Прямого вмешательства супервизора, Автоматической перенастройки системы. Вручную супервизор может предупредить пиковые нагрузки следующим простым способом: увидев, что в одной из операторских групп расчетное время ожидания приближается к опасной черте, а в другой равно нулю или чрезвычайно мало, он может просто перебросить операторов из второй группы в первую и таким образом сократить время ожидания в проблемной группе. В небольшом Сall Center супервизор может также проверить, по какой причине его подчиненные ушли на перерыв, и, если это возможно, попросить их вернуться на рабочее место. Конечно, приведенная картина весьма схематична, в жизни все гораздо сложнее (например, см. главу 5), но все же подход описан верно. Гораздо эффективнее, если система сама сможет перенастраиваться, т. е. выбирать оптимальный алгоритм обслуживания в зависимости от расчетного времени ожидания. Например, она может сравнить несколько операторских групп по этому параметру и направить вызов в ту, у которой такое время минимально. Причем заметьте: и супервизор, и система анализируют не реальное, текущее, а расчетное, предполагаемое время ожидания. Таким образом, возникает очень ценная возможность проактивных, а не реактивных действий. Иными словами, можно не ждать возникновения проблем, а попытаться их предотвратить. Но именно в том, что приходится оперировать не реальным, а только предполагаемым временем ожидания, и заключается вся сложность. Ведь длительность ожидания в очереди в каждый момент зависит от множества труднопредсказуемых составляющих: поведения вызывающих абонентов, длительности разговоров, даже, наконец, поведения и производительности операторов (хотя как раз в последнем случае прогноз сделать легче). Существуют три основных подхода к определению расчетного времени ожидания: На основе анализа хронологических данных; На основе анализа текущей производительности; На основе комбинирования оперативных и хронологических данных. Расчет времени ожидания на основе хронологических данных Методы, основанные на анализе хронологических данных за какой-то интервал времени, например за последние полчаса, оперируют такими показателями, как средняя скорость ответа, заданный уровень обслуживания и т. п. Давайте рассмотрим подробнее распространенный метод Average Speed of Answer (ASA), основанный на определении средней скорости ответа за какой-либо отрезок времени, чаще всего – за последние полчаса. Схематично это выглядит так. Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что среднее время ожидания для вызовов данного типа за последние полчаса составило 2 минуты, поэтому она экстраполирует этот показатель и на вновь поступивший вызов и прогнозирует, что он тоже прождет 2 минуты. Через каждые полчаса показатель ASA снова пересчитывается. Такая схема вполне работоспособна, но лишь в случае постоянной равномерной нагрузки. Однако, как мы уже не раз говорили, для операторского центра такое положение вещей – идеальное и потому недостижимое. А как только происходит скачкообразное нарастание потока вызовов, любой метод, основанный на анализе не текущей, а уже прошедшей ситуации, начинает буксовать. Ведь оперативная ситуация резко изменилась и оказалась достаточно далека от той, что была 10, а тем более 20 минут назад. И чем дальше, тем больше расчетное время ожидания расходится с реальным. Схематично данный процесс показан на рисунке 3.4. Рис. 3.4.
Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу ASA Из приведенного графика видно, сколь неточно работает данная методика. Например, уже для 30-го звонка предполагаемое время ожидания, рассчитанное по методу ASA, может составить 3 минуты, в то время как в действительности оно будет равно 13 минутам. Разве можно принимать адекватные решения, базируясь на такой недостоверной информации? Расчет времени ожидания на основе оперативной ситуации При использовании методов, основанных на анализе производительности в данный момент времени, оперируют такими показателями, как число вызовов в очереди, время, которое провел в очереди самый ранний вызов, и т. п. Метод, построенный на анализе времени ожидания самого раннего вызова (Oldest Call Waiting, OCW), является наиболее популярным. Давайте рассмотрим его подробнее. Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что к данному моменту самый ранний вызов этого типа уже ожидает в очереди 2 минуты, поэтому она экстраполирует данный показатель и на вновь прибывший вызов, прогнозируя, что он тоже прождет 2 минуты. На первый взгляд неплохая схема, но тоже лишь в случае равномерной нагрузки. Если она становится пиковой, использование этого метода дает неточные результаты. Дело в том, что он основан на следующем предположении: вызов, стоящий в очереди самым последним, будет ждать обслуживания столько же, сколько и самый первый. Но за то время, пока этот последний вызов доберется до начала очереди, может произойти множество изменений, например в числе работающих операторов, количестве вызовов в очереди, времени обслуживания вызова и т. д. Поэтому чем длиннее очередь, тем хуже работает метод OCW. Схематично данный процесс показан на рисунке 3.5. Рис. 3.5.
Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу OCW Из приведенного графика видно, что хотя метод, основанный на анализе оперативной ситуации, работает немного лучше, чем построенный на анализе хронологических данных (например, для 30-го вызова соотношение между предполагаемым и реальным временем ожидания составит 6,5 против 13 минут вместо 3 против 13 минут по методу ASA), все равно его точности не хватает для эффективного управления операторским центром. Расчет времени ожидания на основе одновременного анализа хронологических и оперативных данных Как следует из двух предыдущих разделов, анализ оперативных и хронологических данных по отдельности не дает сколько-нибудь пригодного результата для расчета предполагаемого времени ожидания в очереди, а следовательно, и оснований для того, чтобы предпринять адекватные действия по перенастройке операторского центра и его адаптации к изменению нагрузки. Возникает естественный вопрос: а что, если эти два подхода скомбинировать? Сделать это очень непросто, потому что надо принять во внимание как минимум следующие факторы: Число работающих операторов; Время обработки вызовов; Частоту поступления вызовов с учетом их приоритетности; Параметры потерянных вызовов (их количество и время, после которого абоненты вешают трубку, не дождавшись ответа); Возможность постановки вызовов в очередь в несколько групп одновременно; Возможность работы операторов в нескольких группах одновременно и др. Давайте посмотрим теперь, что получится. Назовем такой комбинированный метод просто Expected Wait Time (EWT). На рисунке 3.6 показаны графики реального и предполагаемого времени ожидания, рассчитанного по методам ASA, OCW и EWT. Эти графики свидетельствуют о том, что метод, основанный на комбинированном анализе хронологических и оперативных данных, работает точнее всего. Рис. 3.6.
Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методам ASA, OCW, EWT И это вполне объяснимо. Пользуясь хронологическими методами расчета (типа ASA), вы можете понять, что у вас только что были проблемы.
Пользуясь методами расчета на основе оперативных данных (типа OCW), вы можете понять, что у вас сейчас есть проблемы
. Пользуясь комбинированным методом, вы можете понять, что у вас могут возникнуть проблемы
. Ну а кто предупрежден, тот вооружен! Целесообразность использования расчетного времени ожидания К сожалению, несмотря на высокую точность определения расчетного времени ожидания, а также на важность его использования для маршрутизации вызовов и оповещения абонентов, метод EWT имеет некоторые ограничения. Так, его нецелесообразно использовать при малом числе вызовов (так как при этом время ожидания чаще всего просто равно нулю, ибо нет никакой очереди) и при малом числе операторов. EWT следует применять, когда одновременно работают не меньше 15, а еще лучше – 20 операторов. В противном случае пострадает точность расчета EWT. Во-первых, будет не хватать чисто статистической «пищи». Во-вторых, очень большое значение приобретут различные субъективные характеристики поведения как вызывающих абонентов, так и операторов. Вообще, как и в любом статистическом методе, чем больше число работающих операторов, тем точнее рассчитывается предполагаемое время ожидания в очереди. Кроме того, поскольку EWT определяется на основе как оперативной, так и хронологической информации, могут возникнуть трудности при первоначальном вводе системы в эксплуатацию или при добавлении новой операторской группы. Дело в том, что в этих случаях будет некоторое время «хромать» хронологическая составляющая, поскольку ей просто еще неоткуда взяться. Точно так же негативное влияние на точность показателя EWT будут оказывать крупные реорганизации операторских групп. Кстати, на эти обстоятельства следует обратить особое внимание, если для расчета предполагаемого времени ожидания вы пользуетесь хронологическими методами типа рассмотренного выше способа расчета на основе средней скорости ответа ASA. Расчетное время ожидания на уровне группы и на уровне вызова Расчетное время ожидания может быть определено: На уровне каждого отдельного вызова; На уровне отдельной операторской группы. Это могут быть два совершенно разных значения, хотя иногда они могут и совпадать. EWT на уровне операторской группы означает время, в течение которого новый вызов будет ожидать в очереди, чтобы получить ответ оператора, входящего в эту конкретную группу. EWT на уровне вызова означает время, в течение которого данный конкретный вызов будет ожидать в очереди. Поясним нашу мысль. Предположим, есть две операторские группы: № 1 и № 2. Расчетное время ожидания для первой группы (EWT1) составляет 2 минуты, для второй (EWT2) – 1,5 минуты. Это означает, что если бы сейчас в группу № 1 поступил новый вызов, то он прождал бы ответа ее оператора 2 минуты. Соответственно, если бы вызов поступил в группу № 2, то он прождал бы 1,5 минуты. Теперь предположим, что вызов, о котором мы столько говорили, наконец поступил. Какое у него будет расчетное время ожидания? Здесь возможны три варианта: Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 1, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 2 минутам; Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 2, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 1,5 минутам; Если же этот вызов может быть обслужен операторами из обеих групп, то его расчетное время будет равно минимальному EWT для каждой группы. Таким образом, поскольку EWT2 < EWT1, то в качестве EWT вызова будет выбрано значение EWT2, т. е. 1,5 минуты. Влиять на EWT вызова супервизор, естественно, не может, в то время как на EWT группы – вполне. Факторы, влияющие на расчетное время ожидания Начнем, как водится, с хорошего – с уменьшения EWT. На уменьшение расчетного времени ожидания могут влиять следующие факторы (некоторые из них вполне очевидны, а некоторые не очень): Уменьшение числа вызовов в очереди; Увеличение числа операторов; Сокращение времени разговора; Увеличение числа потерянных вызовов (на первый взгляд выглядит странно, но если немного подумать, то понятно); Уменьшение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета; Уменьшение числа вызовов, пропущенных операторами. Теперь перейдем к факторам, негативно влияющим на EWT, т. е. вызывающим его увеличение. В принципе, тут существует обратная зависимость: Увеличение числа вызовов в очереди; Уменьшение числа операторов (по любой причине: кто-то вышел из системы, кто-то ушел на перерыв и т. п.); Увеличение времени разговора; Сокращение числа потерянных вызовов; Увеличение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета; Увеличение числа вызовов, пропущенных операторами. Коротко о главном
Основной принцип организации очереди – обрабатывать как можно большее число вызовов как можно меньшим числом операторов без ухудшения качества обслуживания и перегрузки сотрудников ЦОВ. Очередь – нормальное явление в колл-центре. Однако необходимо эффективно управлять ее длиной за счет правильного планирования ресурсов, соблюдения дисциплины и реализации эффективных алгоритмов обслуживания вызовов. В случае возникновения перегрузки лучше воспользоваться сигналом «занято», чем речевой почтой. При оценке эффективности обслуживания не следует полагаться на усредненные показатели типа средней скорости ответа ASA. Важно исследовать уровень обслуживания, максимальные задержки с ответом и профиль вызовов. Расчетное время ожидания – важнейший параметр, благодаря которому можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов. Существуют три основных метода определения расчетного времени ожидания: на основе анализа хронологических данных, на основе анализа текущей производительности и на основе комбинирования оперативных и хронологических данных. Наиболее точно расчетное время ожидания определяется по методу, основанному на анализе одновременно хронологических и оперативных данных. Изучим работу n-канальной (n > 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П
вх
с интенсивностью. Поток обслуживании каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью µ. На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожидания каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т
ож
со средним значением, после которого заявка покидает систему необслуженной. Временной интервал Т
ож
является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой. Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет Марковским. Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с «нетерпеливыми» заявками. Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, как под обслуживанием, так и стоящих в очереди: S k (k = 0,1,…n) - k
заявок под обслуживанием (k
каналов заняты, очереди нет), S n+r (r = 1,2,…) - п
заявок под обслуживанием (все п
каналов заняты) и r заявок в очереди. Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний. Размеченный граф состояний указан на рис. 1. Рис. 1.
Из состояния в состояние слева направо СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П
вх
с интенсивностью. Следовательно, плотности вероятностей этих переходов k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Переход СМО из состояния без очереди S
k
, k = 1,…,n
, в соседнее слева состояние S
k-1
, (k = 1,…,n)
(в котором также не будет очереди) происходит под действием суммарного потока, слагающегося из к потоков обслуживания занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сумму интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна kµ
. Поэтому под стрелками налево от состояния s n до состояния s 0 проставлены плотности вероятностей переходов k,k-1
=kµ, k = 1,…,n (2)
На систему в состоянии с очередью S
n+r
, r = 1,2,…
, действует суммарный поток - результат наложения n потоков обслуживании и r
потоков уходов. Поэтому интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков nµ+rщ
. Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния S
n+r
,(r = 1,2,…)
в среднее S
n+r-1
,(r = 1,2,…)
и, таким образом, k,k-1
=nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)
Итак, плотности вероятностей переходов системы справа налево, учитывая (2) и (3), можно записать в объединённой форме Структура графа говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения. Подставим (1) и (4) для k=1,…,n+m в формулу Введем в рассмотрение величину, которую можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов, и которая показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки. Подставляя в (5) и получим: Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то заявка, поступившая во входящем потоке, будет принят; в систему, т.е. отказ со стороны системы заявка не получает. Поэтому для СМО с «нетерпеливыми» заявками вероятность принятия в систему p
сист
=1,
а вероятность отказа принятия в систему p
отк
=0
. Понятие «отказа принятия в систему» не следует смешивать с понятием «отказа в обслуживании», поскольку, в силу «нетерпеливости», не каждая поступившая (принятая) в систему заявка, будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p
ху
и вероятности того, что заявка будет обслужена, p
об
. При этом, вероятность p
об
представляет собой относительную пропускную способность Q
и p
ху
=1- p
об
. Подсчитаем среднее число заявок в очереди. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N
оч
представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величина N
оч
может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид N
оч
p
n+1
p
n+2
p
n+r
где p= p
0
+ p
1
+…+ p
n
. Следовательно, или подставляя сюда (7), получим На каждую заявку в очереди действует поток «уходов» Пух с интенсивностью щ. На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков «уходов», и имеющий интенсивность. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Следовательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО Тогда по определению относительной пропускной способности, Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/), где щ/ = показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П
вх
. Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала µ. Воспользовавшись равенством (11), будем иметь: Среднее число занятых каналов можно подсчитать и независимо от среднего числа заявок в очереди, а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К,
представляющей собой число занятых каналов, закон распределения которой имеет вид p
0
p
1
p
2
p
n-1
где p = p
n
+ p
n+1
+…+ p
n+1
+ …. Но так как событие, состоящее в том, что все n каналов заняты, противоположно событию, состоящему в том, что не все n каналов заняты, а вероятность последнего события равна p
0
+ p
1
+ p
2
+…+ p
n-1
, то p = 1 - (p
0
+ p
1
+ p
2
+…+ p
n-1)
. Но тогда из (11) получим: Используя формулы (11) и (13), получим формулу для среднего числа заявок, находящихся в системе: Выведем формулу для среднего времени ожидания заявки в очереди. Оно будет зависеть от данного среднего времени ограничивающего продолжительность пребывания заявки в очереди, для которого либо либо найдется натуральное число i > 2 такое, что Умножая неравенства (14) и (15) на, получим соответственно неравенства Рассмотрим случай (14) и несовместные гипотезы состоящие в том, что система находится в состоянии. Вероятности этих гипотез Если заявка поступит в СМО при гипотезет.е. когда система пребывает в одном из состояний в каждом из которых не все каналы заняты, то заявке не придется ожидать в очереди -она сейчас же попадет под обслуживание свободного канала. Поэтому условное математическое ожиданиеслучайной величинывремени ожидания заявки в очереди при гипотезе, представляющее собой среднее время ожидания заявки в очереди при гипотезеравно нулю: Если заявка поступит в систему при гипотезет.е. когда СМО находится в одном из состоянийв котором все п
к-п
заявок (при к
= п
в очереди заявок нет), то среднее время освобождения одного из п
занятых каналов равно, а среднее время обслуживания к-п
заявок, стоящих в очереди перед поступившей в систему заявкой, равно Поэтому среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь на обслуживание поступившей заявки, равно.Так как, то в силу правого неравенства (14), Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы поступившая в систему заявка была принята к обслуживанию, больше времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка задержится в очереди на среднее времяи покинет систему не обслуженной. Следовательно, условное математическое ожидание величиныпри гипотезе Теперь рассмотрим те же гипотезыв случае (15). В этом случае также справедливы равенства (16). Если заявка поступит в систему при одной из гипотез т.е., когда СМО находится в одном из состояний в котором все п
каналов заняты и в очереди перед поступившей заявкой уже стоят к-п
заявок (при к
-
n в очереди заявок нет), то так же, как и в случае (14), среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь этой заявки на обслуживание, равно ограничивающим пребывание заявки. Так както, в силу левого неравенства (15), Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы пришедшая в систему заявка была принята к обслуживанию, не больше среднего времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка не уйдет из очереди и дождется приема на обслуживание, потратив на ожидание в очереди среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе Пусть теперь заявка поступила в систему при одной из гипотез Н
ю
к = n+i-
т.е., когда СМО находилась в одном из состояний..., в котором все п
каналов заняты и в очереди уже стоят к-п
заявок. Так как то из неравенства (15): а потому пришедшая заявка задержится в очереди на среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе По формуле полного математического ожидания получим: В случае (15) поступившая заявка будет принята к обслуживанию, если только в момент её поступления СМО находится в одном из состояний тогда вероятность того, что заявка будет обслужена При / = 1 формула (25) превращается в (24), поэтому для вероятности обслуживания можно записать одну формулу: Зная вероятность обслуживания, можно вычислить вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной: Среднее время пребывания заявки в системе можно вычислить по формуле где- среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди, которое можно подсчитать па формуле 6. Построение и анализ модели систем массового обслуживания Рассмотрим практическую задачу на использование СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания в очереди. С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят два самолета-дозаправщика. Дозаправка одного самолета длится в среднем около 10 минут. Если оба самолета-дозаправщика заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки). Среднее время ожидания - 20 минут. Самолет, не дождавшийся дозаправки, вынужден садиться на запасной аэропорт. Интенсивность полетов такова, что в среднем за 1 час в район дозаправки прибывает 12 самолетов. Определить: Вероятность того, что самолет будет дозаправлен. Среднее число занятых дозаправщиков. Среднее число самолетов в очереди. Среднее число самолетов под обслуживанием. Необходимо вычислить основные характеристики эффективности данной СМО, при условии, что заданы следующие входные параметры: Рассматриваемая СМО является многоканальной системой массового обслуживания без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Количество каналов, интенсивность входящего потока заявок, интенсивность потока обслуживания и количество мест в очереди заданы. В данной СМО каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку. Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание, если же заявки отсутствуют, то система простаивает. Определим, что происходит, когда к моменту поступления заявки все каналы заняты - она становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов. Если в момент поступления заявки все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему. Критерии эффективности функционирования СМО: Данная система моделируется многоканальной СМО с «нетерпеливыми» заявками. Параметры системы: число каналов обслуживания n = 2
; интенсивность входящего поток заявок = 12
(самолетов в час); интенсивность потока обслуживания µ = 6
(самолетов в час); среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, следовательно, интенсивность потока уходов щ = 1/= 3 (самолета) в час. Расчеты произведены с помощью разработанной в Turbo Pascal программе. Язык Turbo-Pascal - один из самых распространенных языков программирования компьютеров. К важным достоинствам языка Turbo-Pascal относится небольшой размер компилятора, высокая скорость трансляции программ, компиляции и их компоновки. Кроме того, удобство и высокое качество дизайна диалоговой оболочки, делают написание и отладку программ наиболее удобным в сравнении с альтернативными языками нового поколения. Для анализа работы СМО необходимо исследовать поведение данной системы при различных входных параметрах. В первом варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=2. Во втором варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=3. В третьем варианте л=12, µ=6, щ=4, число каналов n=2. Все результаты расчетов приведены в Приложение 2. В результате анализа полученных данных (Приложение 2), были сделаны следующие выводы. С увеличением числа каналов увеличивается вероятность простоя системы и вероятность дозаправки на 50%. При изменение же только времени пребывания заявки в очереди, не увеличивая кол-во каналов, изменилась интенсивность потока уходов, в результате уменьшилось число обслуживаемых самолетов и число самолетов в очереди. По-моему мнению, необходимо набрать и обучить дополнительный обслуживающий персонал, чтобы увеличить интенсивность потока уходов, тогда будет меньше затрачиваться времени на простой дозаправщиков и не возникнет необходимости в дополнительном канале. Хотя, выбирая наиболее оптимальные параметры, при которых работа СМО будет наиболее эффективной, нужно еще учитывать технический и экономический фактор, так как приобретение дополнительного канала обслуживания или изменение интенсивности потока уходов, требует определенных материальных затрат и затрат на подготовку кадров. 1.
Одноканальная СМО с ожиданием и
ограничением на длину очереди.
На
практике довольно часто встречаются
одноканальные СМО с очередью (врач,
обслуживающий пациентов; кассир, выдающий
зарплату). В теории массового обслуживания
одноканальные СМО с очередью также
занимают особое место: именно к таким
СМО относится большинство полученных
до сих пор аналитических формул для
немарковских систем. Рассмотрим
одноканальную СМО, на вход которой
поступает простейший поток заявок с
интенсивностью λ
.
Предположим, что поток обслуживаний
также простейший с интенсивностью μ
.
Это означает, что непрерывно занятый
канал обслуживает в среднем μ
заявок
в единицу времени. Заявка, поступившая
в СМО в момент, когда канал занят, в
отличие от СМО с отказами, не покидает
систему, а становится в очередь и ожидает
обслуживания. Далее
предполагаем, что в данной системе
имеется ограничение на длину очереди,
под которой понимается максимальное
число мест в очереди, а именно, предполагаем,
что в очереди могут находиться максимум
m
≥1
заявок. Поэтому заявка, пришедшая на
вход СМО, в момент, когда в очереди уже
стоят m
заявок,
получает отказ и покидает систему
необслуженной. Таким
образом, рассматриваемая СМО относится
к системам смешанного
типа с ограничением на длину очереди. Пронумеруем
состояния СМО по числу заявок, находящихся
в системе, т.е. под обслуживанием и в
очереди: S
0
–
канал свободен (следовательно, очереди
нет); S
1
–
канал занят и очереди нет, т.е. в СМО
находится (под обслуживанием) одна
заявка; S
2
–
канал занят и в очереди стоит одна
заявка; …………………………………………………….. S
m
+1
–
канал занят и в очереди m
заявок. Граф
состояний данной СМО представлен на
рис. 6 и совпадает с графом, описывающим
процесс гибели и размножения, с тем
отличием, что при наличии только одного
канала обслуживания все интенсивности
потоков обслуживаний равны μ
. Рис.
6. Схема состояний
в одноканальной системе с очередью Для
описания предельного режима работы СМО
можно воспользоваться изложенными
правилами и формулами. Запишем сразу
выражения, определяющие предельные
вероятности состояний: Если
λ = μ
,
то получаем
. Пусть
теперь
Заметим,
что при m
= 0
мы переходим к уже рассмотренной
одноканальной СМО с отказами. В этом
случае
. Определим
основные характеристики одноканальной
СМО с ожиданием: относительную и
абсолютную пропускные способности,
вероятность отказа, а также среднюю
длину очереди и среднее время ожидания
заявки в очереди. Поступившая
на вход СМО заявка получает отказ тогда
и только тогда, когда канал занят и в
очереди ожидают m
заявок,
т.е. когда система находится в состоянии
S
m
+1
.
Поэтому вероятность отказа определяется
вероятностью появления состояния S
m
+1
: Относительная
пропускная способность, или доля
обслуживаемых заявок, поступающих в
единицу времени, определяется выражением: Заметим,
что относительная пропускная способность
Q
совпадает
со средней долей принятых (т.е. не
получивших отказ) в систему заявок среди
всех поступивших, поскольку заявка,
попавшая в очередь, непременно будет
обслужена. Абсолютная
пропускная способность системы Среднее
число заявок L
оч
,
стоящих в очереди на обслуживание,
определяется как математическое ожидание
дискретной случайной величины k
–
числа заявок, стоящих в очереди: Случайная
величина k
принимает
значения 0, 1, 2, … , m
,
вероятности которых определяются
вероятностями состояний системы p
k
.
Таким образом, закон распределения
дискретной случайной величины k
имеет
следующий вид: Поэтому
по определению математического ожидания
дискретной случайной величины (с учетом
формул для вероятностей состояний)
получаем: Предположим,
что ρ ≠
1
.
Очевидно, имеем: Но
сумма
Подставив
выражение (17) в (16), найдем: или,
используя равенство
Если
же ρ =
1
,
то из равенства (16)
Тогда
среднее число заявок в очереди Важной
характеристикой СМО с ожиданием является
среднее время ожидания заявки в очереди
Для
вычисления математического ожидания
воспользуемся формулой полного
математического ожидания: если об
условиях опыта можно сделать n
(попарно)
несовместных гипотез где
M
(X
|
H
k
)
– условное математическое ожидание
величины X
при
гипотезе H
k
.
Рассмотрим
m
+
2
несовместных гипотез H
k
,
k
=
0,1,...,
m
+
1
,
состоящих в том, что СМО находится
соответственно в состояниях S
k
,
k
=
0,1,...,
m
+
1
.
Вероятности этих гипотез p
(H
k
)
=
p
k
,
k
=
0,1,...,
m
+1
. Если
заявка поступает в СМО при гипотезе H
0
S
0
,
в котором канал свободен, то заявке не
придется стоять в очереди и, следовательно,
условное математическое ожидание M
( Для
заявки, поступившей в СМО при гипотезе
H
1
,
т.е. когда СМО находится в состоянии S
1
,
в котором канал занят, но очереди нет,
условное математическое ожидание M
( Условное
математическое ожидание M
( Если
заявка поступит в систему при гипотезе
H
m
,
т.е. когда канал занят и в очереди ждут
m
−
1
заявок, то M
( Наконец,
заявка, пришедшая в СМО при гипотезе
H
m
+1
,
т.е. когда канал занят, m
заявок
стоят в очереди, и свободных мест в
очереди больше нет, получает отказ и
покидает систему. Поэтому в этом случае
M
( Следовательно,
по формуле полного математического
ожидания среднее время ожидания заявки
в очереди Подставляя
сюда выражения для вероятностей
p
k
(k
=1,2,...,m
),
получаем: Если
интенсивность нагрузки канала ρ
≠
1
,
то из равенства (19) с учетом формул (17),
(18), а также выражения для p
0
находим: Если
же ρ =
1
,
то, подставляя в равенство (19) выражение
p
0
= 1/(m
+2),
значение суммы
Итак,
для любого ρ
получаем
формулу для среднего времени пребывания
заявки в очереди, которая называется
формулой Литтла:
Пример.
На автозаправочной станции (АЗС) имеется
одна колонка. Площадка при станции, на
которой машины ожидают заправку, может
вместить не более трех машин одновременно,
если она занята, то очередная машина,
прибывшая к станции, в очередь не
становится, а проезжает на соседнюю
АЗС. В среднем машины прибывают на
станцию каждые 2 мин. Процесс заправки
одной машины продолжается в среднем
2,5 мин. Определить основные характеристики
системы. Решение.
Математической
моделью данной АЗС является одноканальная
СМО с ожиданием и ограничением на длину
очереди (m
=
3).
Предполагается, что поток машин,
подъезжающих к АЗС для заправки, и поток
обслуживаний – простейшие. Поскольку
машины прибывают в среднем через каждые
2 мин, то интенсивность входящего потока
равна λ
=1/2 =
0,5
(машин в минуту). Среднее время обслуживания
одной машины
Определяем
интенсивность нагрузки канала: ρ
= λ/μ
= 0,5/0,4 =
1,25. Вычисляем
вероятность отказа Среднее
число машин, ожидающих в очереди на
заправку Среднее
время ожидания машины в очереди находим
по формуле Литтла Таким
образом, из анализа работы СМО следует,
что из каждых 100 подъезжающих машин 30
получают отказ
(P
отк
≈ 29,7%),
т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому
необходимо либо сократить время
обслуживания одной машины (увеличить
интенсивность потока обслуживаний),
либо увеличить число колонок, либо
увеличить площадку для ожидания. Пери Куклин (Perry Kuklin)
Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов: 1. Развлеките посетителей
Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции. 2. Вперёд, в виртуальность
Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»? Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди. 3. Следите за очередями
Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям. Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д. Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов. 4. Добавьте немного мобильности
Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит. Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди). 5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом
В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле? Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании. Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей. Перевод Леонида Пеленицына
где
ρ = λ/μ
–
интенсивность нагрузки канала.
.
Выражение дляp
0
можно
в данном случае записать проще, пользуясь
тем, что в знаменателе стоит сумма m
+ 2
членов геометрической прогрессии со
знаменателем ρ
:
.
.
.
(16)
представляет
собой сумму первых m
членов
геометрической прогрессии
.
(17)
(полученное
приρ ≠
1
),
имеем
а учитывая, что в этом случае
и
(суммаm
членов
арифметической прогрессии), окончательно
получаем
.
(18)
.
Пусть T
оч
–
непрерывная случайная величина,
представляющая собой время ожидания
заявки в очереди. Среднее время ожидания
заявки в очереди вычислим как математическое
ожидание этой случайной величины:
.
то полное математическое ожидание
случайной величиныX
может
быть вычислено по формуле
|
H
0
)
случайной величины
при
гипотезе H
0
,совпадающее
со средним временем ожидания заявки в
очереди при гипотезе H
0
,
равно нулю.
| H
1
)
случайной
величины
при
гипотезе H
1
,
совпадающее со средним временем ожидания
заявки в очереди при гипотезе H
1
,
будет равно среднему времени обслуживания
одной заявки
.
| H
2
)
случайной
величины
при
гипотезе H
2
,
т.е. при условии, что заявка поступила
в СМО, находящуюся в состоянии S
2
,
в котором канал занят и в очереди уже
ждет одна заявка, равно 2/
μ
(удвоенному
среднему времени обслуживания, поскольку
нужно обслужить две заявки: ту, которая
находится в канале обслуживания, и ту,
которая ждет в очереди). И так далее.
| H
m
).
| H
m
+1
)
= 0.
(19)
,
используя формулу (18) приρ
=
1
и
учитывая, что в данном случае μ
= λ
,
будем иметь
т.е.
среднее
время ожидания заявки в очереди
равно
среднему числу заявок в очереди
L
оч
,
деленному на интенсивность
λ
входящего
потока заявок.
= 2,5
мин, следовательно, интенсивность потока
обслуживаний μ
=1/2,5
= 0,4
(машины в минуту).
откуда относительная пропускная
способность
и
абсолютная пропускная способность A
= λ
Q
≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
= L
оч
/λ
≈1,559/0,5
= 3,118.
Справочники
