Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. Иным образом, критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует технологическая система, работает данный процесс, и т.д., а также, насколько хорошо решена задача .

Критерий оптимальности является одним из выходов системы, и, к нему предъявляются следующие требования:

1. Критерий оптимальности должен выражаться количественно;

2. Критерий оптимальности должен быть единственным;

3. Величина критерия оптимальности должна изменяться монотонно (без разрывов и скачков);

4. Критерий оптимальности должен отражать наиболее существенные стороны процесса;

5. Желательно чтобы критерий оптимальности имел ясный физический смысл и легко рассчитывался.

На выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей . Таким образом, задача сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах , когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, ). Например, устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла - " - регенерация" и т.п.. Однако, в любом случае критерий оптимальности имеет экономическую природу.

Различают простые и сложные критерии . Критерий оптимальности называется простым , если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины. Такие критерии обычно используются при решении частных задач (например, определение максимальной целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и др.).

Критерий оптимальности называется сложным , если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин и ограничений. Таким образом, процедура решения задачи обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры. Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям. Различают следующие основные ограничения:

1. По количеству и качеству сырья и продукции (состав сырья, качество продукции, производительность и др.);

2. По условиям технологии (размеры аппарата, время пребывания, зажигания и деструктурирования

Зная управляющее воздействие и можно из системы уравнений (11.2) или векторного уравнения (11.3), а при наличии возмущений из уравнения (11.4) однозначно определить движение объекта при если известно его начальное фазовое состояние при Если изменить управление и то движение фазовой точки будет происходить по другой траектории, т. е. для разных управлений получаем разные траектории, исходящие из одной точки (рис. 11.7). Поэтому перевод объекта из начального фазового состояния в конечное можно осуществить по разным фазовым траекториям в зависимости от управления. Среди множества траекторий существует наилучшая в определенном смысле, т. е. оптимальная траектория. Например, если поставлена задача минимального расхода топлива в течение интервала полета самолета, то следует подойти к выбору управления и соответствующей траектории именно с этой точки зрения. Удельный расход топлива зависит от развиваемой тяги - управляющего воздействия и . Интересуемый суммарный расход топлива - основной в данном случае показатель качества систем управления полетом самолета - определяется интегральным функционалом

Интегральный функционал (11.5), характеризующий основной показатель качества системы управления (в рассматриваемом примере расход топлива), называется критерием оптимальности. Каждому управлению и а следовательно, траектории полета самолета соответствует свое численное значение критерия оптимальности (11.5). Возникает задача выбора такого управления и и траектории движения при которых достигается минимальное значение критерия оптимальности.

Обычно используются критерии оптимальности, величина которых определяется не текущим состоянием объекта (в рассматриваемом примере удельным расходом топлива), а изменением его в течение всего процесса управления. Поэтому для определения критерия оптимальности требуется, как и в приведенном примере, интегрировать какую-либо функцию, величина которой в общем случае зависит от текущих значений фазовых координат х объекта и управляющего воздействия и, т. е. такой критерий оптимальности является интегральным функционалом вида

Рис. 11.7. Фазовые траектории движения объекта, соответствующие различным управляющим воздействиям.

Здесь - функция выходной величины х объекта и управляющего воздействия и, являющихся в общем случае векторами; длительность процесса управления. Согласно формуле (11.6), критерий оптимальности является числовой величиной, зависящей от функции .

Частным случаем критерия оптимальности (11.6) являются интегральные оценки качества переходных процессов:

Подынтегральная функция в этих критериях содержит только координаты объекта - установившееся хуст и текущее х значения выходной величины. Примером критерия, в котором подынтегральная функция содержит управление, является критерий (11.5), применяемый при минимизации расхода топлива, и интеграл

Квадрат управляющего воздействия (например, электрического тока, потребляемого объектом) определяет мощность, расходуемую при управлении объектом. Поэтому интеграл (11.8) будет мерой расхода энергии и применяется в задачах на минимизацию расходуемой энергии.

В тех случаях, когда фазовые координаты объекта представляют стационарные случайные функции, критерий оптимальности представляет собой интегральный функционал не во временной, а в частотной области. Такие критерии оптимальности используются при решении задачи оптимизации систем по минимуму дисперсии ошибки.

В простейших случаях критерий оптимальности может представлять собой не интегральный функционал, а просто функцию. Такой критерий используется при оптимизации конечного состояния объекта, например, в задаче минимизации отклонения (промаха) при наведении истребителя-перехватчика или ракеты на цель.

При решении поставленной выше задачи перевода объекта (процесса) из начального фазового состояния в конечное следует, очевидно, выбирать такое управление, для которого принятый критерий оптимальности - функционал - принимает наименьшее возможное значение.

Во многих случаях к системе управления предъявляются противоречивые требования (например, требования минимума расхода топлива и максимальной скорости полета самолета). При выборе управления, отвечающего одному требованию (критерию минимума расхода топлива), не будут удовлетворяться другие требования (максимальная скорость полета). Поэтому из всех требований выбирают одно основное, которое должно удовлетворяться наилучшим образом, а другие

требования учитываются в виде ограничений их значений. Например, при удовлетворении требования минимального расхода топлива ограничивается минимальное значение скорости полета самолета. Если имеются несколько равных показателей качества, которые не удается объединить в общий комбинированный показатель, выбор оптимальных управлений, соответствующих этим показателям в отдельности при ограничении остальных дает варианты решения, которые могут (при проектировании) помочь при выборе оптимального компромиссного варианта.

В общем случае ограничиваемые величины могут иметь, как и критерий оптимальности, вид функционалов от х и и, а соответствующие ограничения - вид неравенства

), содержанием целей, на достижение которых направлены действия, и т. д. Принцип оптимальности заимствован из математического программирования и теории управления. Методологической основой теории оптимизации экономики является принцип народно-хозяйственной оптимальности, т. е. изучение экономических явлений с позиций целого, с позиций всего народного хозяйства.

К. о. призван помочь обосновать решение. Практические задачи обоснования решения можно условно на 3 типа. Сущность задач 1-го типа заключается в необходимости выбора наилучшего варианта действий, обеспечивающих достижение определённого, т. е. заданного результата при минимальном расходе ресурсов. В задачах 2-го типа объём имеющихся ресурсов зафиксирован, нужно наилучший вариант их использования для получения максимального результата. Задачи, в которых поиск наилучшего варианта ведётся при отсутствии жёстких ограничений как по объёму используемых ресурсов, так и по конечному результату, относятся к 3-му типу. При обосновании решений оперируют понятием степень достижения цели, которую характеризуют определённым показателем.

На разных этапах проектирования встает задача выбора наилучшего варианта из множества допустимых проектных решений, удовлетворяющих предъявленным требованиям.

Процесс принятия решения при оптимальном проектировании характеризуют следующие основные черты: наличие цели (критериев оптимальности) и альтернативных вариантов проектируемого объекта, и учет существенных факторов при проектировании.

Понятие «оптимальное решение» при проектировании имеет вполне определенное толкование - лучшее в том или ином смысле проектное решение, допускаемое обстоятельствами. В подавляющем большинстве случаев одна и та же техническая задача может быть решена несколькими способами, приводящими не только к различным выходным характеристикам, схемам и конструкциям, но даже и к физическим принципам, положенным в основу построения объекта. При этом одно из решений может превосходить другое по одним свойствам и уступать ему по другим. В этих условиях часто чрезвычайно трудно сказать, не только какая из систем оптимальна, но даже какая из них предпочтительнее.

Если выделяют один параметр, который характеризует свойства, то этот параметр принимается за целевую функцию. При этом другие параметры подпадают под категорию ограничений. При решении однокритериальных задач применяется математический аппарат исследования операций. При создании вычислительной сети в большинстве случаев однокритериальные задачи не удовлетворяют полученному решению. Сложные ВС характеризуются многими параметрами (емкость памяти, время счета, пропускная способность каналов и т. п.), определяющими ее качество. Среди этих параметров есть такие, значения которых желательно всемерно увеличивать, но есть и такие, которые желательно минимизировать.

Таким образом, ограничения и связи между отдельными параметрами ВС приводят к необходимости идти на компромисс и выбирать для каждой характеристики не максимально возможное в принципе значение, а мень­шее, но такое, при котором и другие важные характеристики тоже будут иметь приемлемые значения. Поэтому необходимо принимать во внимание всю совокупность характеристик ВС. Задачи проектирования, проводимые по нескольким критериям оптимизации, носят название многокритериальных, или задач векторной оптимизации.

Известные методы векторной оптимизации прямо или косвенно сводят решаемые задачи к задачам скалярной оптимизации, т. е. частные критерии тем или иным способом объединяются в составной критерий, который затем максимизируется (или минимизируется). Если составной критерий отражает физическую суть ВС и вскрывает объективную связь между частными критериями и составным критерием, то оптимальное решение является объективным.

На практике из-за сложности обычно составной критерий объединяет частные, что ведет к субъективности решения; такой критерий является обобщенным, или интегральным. В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий, различают критерии аддитивные, мультипликативные и минимаксные (максиминные).

Если оптимизация ведется без учета статистического разброса характеристик, то соответствующий критерий оптимальности называют детерминированным критерием; если разброс параметров учитывается, то имеем критерий статистический. Статистический критерий оптимальности наиболее полно отражает качество ВС, но его использование требует больших затрат машинного времени.

Рассмотрим способы выбора критериев оптимальности.

Частные критерии

При проектировании по частным критериям в качестве целевой функции F(X) принимается наиболее важный выходной параметр проектируемой ВС, все остальные параметры в виде соответствующих условий работоспособности относятся к ограничениям. В этом случае задача оптимального проектирования является однокритериальной задачей математического программирования: максимизировать (или минимизировать) значение целевой функции при наличии ограничений на параметры ВС.

Из постановки задачи вытекает, что параметры, для которых выполняются ограничения в виде строгих неравенств, имеют определенный запас по сравнению с заданными техническими требованиями. Ряд параметров, для которых условия работоспособности имеют вид неравенств, запасов вообще не имеет, и любые изменения технических требований для этих параметров приводят как к изменению характеристик и структуры проектируемого объекта, так и к изменению значения целевой функции.

Частные критерии используются при проектировании ВС различного назначения.

Аддитивные критерии

В этих критериях целевая функция образуется путем сложения нормированных значений частных критериев. Частные критерии имеют различную физическую природу и в соответствии с этим - различную размерность. Поэтому при образовании обобщенного критерия следует оперировать не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями. Нормированные критерии представляют собой отношение «натурального» частного критерия к некоторой нормирующей величине, измеренной в тех же единицах, что и сам критерий. При этом выбор нормирующего делителя должен быть логически обоснован. Возможны несколько подходов к выбору нормирующего делителя.

Первый подход предлагает принимать в качестве нормирующего делителя директивные значения параметров, заданные заказчиком. Логически слабым моментом такого подхода является негласное предположение того, что в ТЗ на проектируемую ВС заданы оптимальные значения параметров объекта, и что совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая.

Второй подход предполагает выбор в качестве нормирующих делителей максимальных значений критериев, достигаемых в области существования проектных решений (в области компромисса). Возможен подход, при котором в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор подхода к формированию безразмерной формы частных критериев носит иногда субъективный характер и должен обосновываться в каждом конкретном случае. Пусть при проектировании ВС существует п частных критериев. Тогда целевая функция задачи оптимизации в случае применения аддитивного критерия определяется

где - весовой коэффициент частного критерия;

Нормирующий делитель;

Нормированное значение частного критерия.

Такая целевая функция позволяет осуществить компромисс, при котором улучшение значения одного нормированного частного критерия компенсирует ухудшение значений других.

Введение весовых коэффициентов должно учитывать различную значимость частных критериев при формировании аддитивного критерия. Определение весовых коэффициентов сталкивается с серьезными трудностями и обычно сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок. С появлением обобщенного критерия исчезают логические проблемы, связанные с установлением взаимосвязей между частными критериями различной размерности и выбором наилучшего варианта ВС, и остаются лишь вычислительные трудности. Но аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из которых состоит в том, что он не вытекает из объективной роли частных критериев в функционировании ВС и выступает поэтому как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид.

Другой недостаток заключается в том, что в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка следует вводить ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.

Несмотря на слабые стороны, обобщенный аддитивный критерий позволяет в ряде случаев успешно решать многокритериальные задачи и получать полезные результаты.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-03-24

Этапы операционного исследования и их содержание

Не существует строгой регламентации хода и содержания операционного исследования, но в любом выполненном проекте можно выделить характерные для ИСО этапы разработки.

1. Постановка задачи. Она включает содержательное описание задачи: объект и цель исследования, внутренние и внешние условия, ресурсы, значения параметров или их оценки, возможные способы действий и возможные результаты, другую имеющуюся информацию. Эту работу выполняют совместно ЛПР и аналитик. После тщательного анализа первоначальной постановки аналитик уточняет с ЛПР содержание задачи по всœем аспектам и особо согласовывает показатель, который предлагается в качестве критерия оптимальности.

2. Построение математической модели. Характер задач исследования операций таков, что их решение не может проводиться путем натурного эксперимента или физического моделирования. К примеру, выбор места и мощности нового производства, определœение оптимального плана выпуска продукции, формирование портфеля заказов немыслимо производить путем реализации и сравнения различных вариантов. Такая ситуация в науке не нова: так в астрономии нельзя манипулировать небесными телами, но предсказывать положение планет солнечной системы возможно благодаря использованию математической модели. Модели, и в частности математические, широко применяются в различных областях. Математические модели исследования операций отличаются своей направленностью, которая отражается в структуре модели. Математическая модель в ИСО включает:

зависимость критерия от управляемых и неуправляемых переменных;

уравнения, отражающие связи между переменными, к примеру, уравнения на основе материально-энергетических балансов;

ограничения, обусловленные реальными условиями и требованиями к показателям и переменным (неотрицательность, целочисленность, комплектность, допустимые и/или директивные значения и т.п.). В конкретных задачах могут отсутствовать отдельные составляющие модели полностью или частично за исключением критериальной функции, которая должна быть в модели обязательно.

3. Проверка адекватности модели. Математическая модель представляет собой формализованную гипотезу исследователя о реальных взаимосвязях и поведении системы. По этой причине прежде чем использовать модель для прогнозирования последствий и выбора решений, крайне важно убедиться в ее адекватности системе или операции с точки зрения поставленной цели исследования. Для "прозрачных" моделœей может быть достаточной качественная проверка, в сложных моделях необходим количественный анализ. В последнем случае для моделирования поведения на модели используются численные методы (иногда это называют прямой задачей: по задаваемым входам нужно определить выходы). Для осуществляемых ранее операций проверка адекватности может производиться по ретроспективным данным (при отсутствии качественных изменений в операции). В других случаях проверка проводится путем наблюдения за реакцией модели и системы на одинаковые решения. При обнаружении неадекватности модель корректируется: при качественном совпадении повысить количественную адекватность можно путем уточнения коэффициентов модели, при более серьезных расхождениях может потребоваться изменение и/или добавление ограничений и уравнений или даже построение другого вида модели. Следует заметить, что такая проверка невозможна для вновь разрабатываемых операций, и тогда приходится довольствоваться качественным тестированием модели.

4. Поиск оптимального решения на модели. Это центральный этап операционного исследования (с математической точки зрения - обратная задача). Он заключается в определœении решения, оптимального в смысле принятого критерия. Для отыскания оптимального решения на математической модели применяются методы оптимизации, главным образом методы математического программирования.

5. Анализ оптимального решения. Сюда входит анализ чувствительности полученного решения, параметрический и вариантный анализ, выявление альтернативных оптимальных решений и др. Анализ чувствительности критерия к отклонению переменных от их оптимальных значений позволяет определить разумные требования к точности реализации оптимального решения. Результаты параметрического и вариантного анализа показывают, каким будет оптимальное решение при изменении коэффициентов модели, состава ограничений или при изменении критерия. При этом может устанавливаться значимость отдельных элементов модели, то есть их влияние на оптимальное значение критерия. В случае неединственности оптимального решения появляется дополнительная возможность выбора по показателю, который не представлен в критерии. Важное место в анализе решения отводится интерпретации полученных результатов в терминах предметной области Л ПР.

6. Внедрение результатов исследования. Здесь главное требование состоит в крайне важности непосредственного участия разработчиков на всœех стадиях реализации предлагаемых решений.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, применение научных методов в ИСО отличается всœесторонним количественным исследованием, основанным на математической модели и ставящим своей целью определœение оптимального решения в интересах ЛПР.

Поставленная в операции цель может быть достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает) эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целœевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, решение может быть оптимальным только в смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.

В исследовании операций к критерию предъявляются определœенные требования. Наиболее важные из них следующие.

1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.

2. Критерий должен правильно и полно отражать поставленную цель. Его можно рассматривать как количественную модель качественной цели.

3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический смысл.

4. Критерий должен быть чувствителœен к управляемым (искомым) переменным.

При исследовании действующих систем к критерию могут предъявляться дополнительные требования, такие как измеримость, статистическая однозначность, статистическая эффективность и др.

Множество показателœей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота материала, другие физические или химические показатели), прочие. Οʜᴎ приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применяются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние - в основном на уровне процесса, объекта.

При этом во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. К примеру, цели типа повышение уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть" одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателœей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределœенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Οʜᴎ составляют особый и более сложный класс задач исследования операций.

Доверенности