Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Критерий оптимальности (критерий оптимизации) - характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.

Оптимизационные задачи

Примером задачи многопараметрической (двухпараметрической) оптимизации будет задача выбора диаметра трубопровода с горячей жидкостью или паром, так как одновременно выбирается диаметр трубопровода и толщина тепловой изоляции при постоянстве остальных. При этом оба параметра дискретны, так как существуют как сортамент труб , так и типовые параметры готовых теплоизоляционных сегментов . Оптимизации подлежат параметры многих технологических процессов , объёмы производства предприятий , уровни надёжности продукции и мн. др.

Большие сложности вызывают «неисчисляемые» критерии оптимальности, которые касаются, например, гуманитарных вопросов, художественного впечатления, изменения ландшафта и т. п. (например, максимум удобства, красоты). Для учёта таких критериев могут применяться экспертные оценки .

Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.

Часто многокритериальную задачу сводят к однокритериальной применением «свёртки» критериев в один комплексный, называемый целевой функцией (или функцией полезности). Например, в конкурсных процедурах выбора подрядчиков и поставщиков целевая функция рассчитывается на основе балльных критериев. В ряде случаев успешно применяются ранжирование и последовательное применение критериев оптимальности, метод анализа иерархий .

Иногда общим методом для многокритериальных задач называют оптимальность по Парето , которое позволяет найти ряд «неулучшаемых» решений, однако этот метод не гарантирует глобальной оптимальности решений. Менее известна «оптимальность по Слейтеру».

Нормирование критериев

Для удобства и однозначности восприятия критерии K i (где i = 1,…, m ; m - число критериев) нормируют , то есть обычно приводят к следующему виду:

• K i ≥ 0;
• критерии K i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование).

Например, минимальная цена, потери энергии (равны 1- КПД);

• предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду.

например, относительная цена (по отношению к цене самого дорогого варианта);

• как следствие, наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые (K i = 0), соответствует идеальному конечному результату (ИКР ), когда объекта нет, но его функция выполняется.

См. также

Напишите отзыв о статье "Критерий оптимальности"

Примечания

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М .: Наука, 1988. - С. 206.
2. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. - СПб. : Питер, 2004. - С. 256. - ISBN 5-94723-514-5 .
3. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. - М .: Радио и связь, 1992. - С. 504.

Отрывок, характеризующий Критерий оптимальности

Пьер тоже нагнул голову и отпустил руки. Не думая более о том, кто кого взял в плен, француз побежал назад на батарею, а Пьер под гору, спотыкаясь на убитых и раненых, которые, казалось ему, ловят его за ноги. Но не успел он сойти вниз, как навстречу ему показались плотные толпы бегущих русских солдат, которые, падая, спотыкаясь и крича, весело и бурно бежали на батарею. (Это была та атака, которую себе приписывал Ермолов, говоря, что только его храбрости и счастью возможно было сделать этот подвиг, и та атака, в которой он будто бы кидал на курган Георгиевские кресты, бывшие у него в кармане.)
Французы, занявшие батарею, побежали. Наши войска с криками «ура» так далеко за батарею прогнали французов, что трудно было остановить их.
С батареи свезли пленных, в том числе раненого французского генерала, которого окружили офицеры. Толпы раненых, знакомых и незнакомых Пьеру, русских и французов, с изуродованными страданием лицами, шли, ползли и на носилках неслись с батареи. Пьер вошел на курган, где он провел более часа времени, и из того семейного кружка, который принял его к себе, он не нашел никого. Много было тут мертвых, незнакомых ему. Но некоторых он узнал. Молоденький офицерик сидел, все так же свернувшись, у края вала, в луже крови. Краснорожий солдат еще дергался, но его не убирали.
Пьер побежал вниз.
«Нет, теперь они оставят это, теперь они ужаснутся того, что они сделали!» – думал Пьер, бесцельно направляясь за толпами носилок, двигавшихся с поля сражения.
Но солнце, застилаемое дымом, стояло еще высоко, и впереди, и в особенности налево у Семеновского, кипело что то в дыму, и гул выстрелов, стрельба и канонада не только не ослабевали, но усиливались до отчаянности, как человек, который, надрываясь, кричит из последних сил.

Главное действие Бородинского сражения произошло на пространстве тысячи сажен между Бородиным и флешами Багратиона. (Вне этого пространства с одной стороны была сделана русскими в половине дня демонстрация кавалерией Уварова, с другой стороны, за Утицей, было столкновение Понятовского с Тучковым; но это были два отдельные и слабые действия в сравнении с тем, что происходило в середине поля сражения.) На поле между Бородиным и флешами, у леса, на открытом и видном с обеих сторон протяжении, произошло главное действие сражения, самым простым, бесхитростным образом.
Сражение началось канонадой с обеих сторон из нескольких сотен орудий.
Потом, когда дым застлал все поле, в этом дыму двинулись (со стороны французов) справа две дивизии, Дессе и Компана, на флеши, и слева полки вице короля на Бородино.
От Шевардинского редута, на котором стоял Наполеон, флеши находились на расстоянии версты, а Бородино более чем в двух верстах расстояния по прямой линии, и поэтому Наполеон не мог видеть того, что происходило там, тем более что дым, сливаясь с туманом, скрывал всю местность. Солдаты дивизии Дессе, направленные на флеши, были видны только до тех пор, пока они не спустились под овраг, отделявший их от флеш. Как скоро они спустились в овраг, дым выстрелов орудийных и ружейных на флешах стал так густ, что застлал весь подъем той стороны оврага. Сквозь дым мелькало там что то черное – вероятно, люди, и иногда блеск штыков. Но двигались ли они или стояли, были ли это французы или русские, нельзя было видеть с Шевардинского редута.
Солнце взошло светло и било косыми лучами прямо в лицо Наполеона, смотревшего из под руки на флеши. Дым стлался перед флешами, и то казалось, что дым двигался, то казалось, что войска двигались. Слышны были иногда из за выстрелов крики людей, но нельзя было знать, что они там делали.
Наполеон, стоя на кургане, смотрел в трубу, и в маленький круг трубы он видел дым и людей, иногда своих, иногда русских; но где было то, что он видел, он не знал, когда смотрел опять простым глазом.
Он сошел с кургана и стал взад и вперед ходить перед ним.
Изредка он останавливался, прислушивался к выстрелам и вглядывался в поле сражения.
Не только с того места внизу, где он стоял, не только с кургана, на котором стояли теперь некоторые его генералы, но и с самых флешей, на которых находились теперь вместе и попеременно то русские, то французские, мертвые, раненые и живые, испуганные или обезумевшие солдаты, нельзя было понять того, что делалось на этом месте. В продолжение нескольких часов на этом месте, среди неумолкаемой стрельбы, ружейной и пушечной, то появлялись одни русские, то одни французские, то пехотные, то кавалерийские солдаты; появлялись, падали, стреляли, сталкивались, не зная, что делать друг с другом, кричали и бежали назад.
С поля сражения беспрестанно прискакивали к Наполеону его посланные адъютанты и ординарцы его маршалов с докладами о ходе дела; но все эти доклады были ложны: и потому, что в жару сражения невозможно сказать, что происходит в данную минуту, и потому, что многие адъютапты не доезжали до настоящего места сражения, а передавали то, что они слышали от других; и еще потому, что пока проезжал адъютант те две три версты, которые отделяли его от Наполеона, обстоятельства изменялись и известие, которое он вез, уже становилось неверно. Так от вице короля прискакал адъютант с известием, что Бородино занято и мост на Колоче в руках французов. Адъютант спрашивал у Наполеона, прикажет ли он пореходить войскам? Наполеон приказал выстроиться на той стороне и ждать; но не только в то время как Наполеон отдавал это приказание, но даже когда адъютант только что отъехал от Бородина, мост уже был отбит и сожжен русскими, в той самой схватке, в которой участвовал Пьер в самом начале сраженья.
Прискакавший с флеш с бледным испуганным лицом адъютант донес Наполеону, что атака отбита и что Компан ранен и Даву убит, а между тем флеши были заняты другой частью войск, в то время как адъютанту говорили, что французы были отбиты, и Даву был жив и только слегка контужен. Соображаясь с таковыми необходимо ложными донесениями, Наполеон делал свои распоряжения, которые или уже были исполнены прежде, чем он делал их, или же не могли быть и не были исполняемы.
Маршалы и генералы, находившиеся в более близком расстоянии от поля сражения, но так же, как и Наполеон, не участвовавшие в самом сражении и только изредка заезжавшие под огонь пуль, не спрашиваясь Наполеона, делали свои распоряжения и отдавали свои приказания о том, куда и откуда стрелять, и куда скакать конным, и куда бежать пешим солдатам. Но даже и их распоряжения, точно так же как распоряжения Наполеона, точно так же в самой малой степени и редко приводились в исполнение. Большей частью выходило противное тому, что они приказывали. Солдаты, которым велено было идти вперед, подпав под картечный выстрел, бежали назад; солдаты, которым велено было стоять на месте, вдруг, видя против себя неожиданно показавшихся русских, иногда бежали назад, иногда бросались вперед, и конница скакала без приказания догонять бегущих русских. Так, два полка кавалерии поскакали через Семеновский овраг и только что въехали на гору, повернулись и во весь дух поскакали назад. Так же двигались и пехотные солдаты, иногда забегая совсем не туда, куда им велено было. Все распоряжение о том, куда и когда подвинуть пушки, когда послать пеших солдат – стрелять, когда конных – топтать русских пеших, – все эти распоряжения делали сами ближайшие начальники частей, бывшие в рядах, не спрашиваясь даже Нея, Даву и Мюрата, не только Наполеона. Они не боялись взыскания за неисполнение приказания или за самовольное распоряжение, потому что в сражении дело касается самого дорогого для человека – собственной жизни, и иногда кажется, что спасение заключается в бегстве назад, иногда в бегстве вперед, и сообразно с настроением минуты поступали эти люди, находившиеся в самом пылу сражения. В сущности же, все эти движения вперед и назад не облегчали и не изменяли положения войск. Все их набегания и наскакивания друг на друга почти не производили им вреда, а вред, смерть и увечья наносили ядра и пули, летавшие везде по тому пространству, по которому метались эти люди. Как только эти люди выходили из того пространства, по которому летали ядра и пули, так их тотчас же стоявшие сзади начальники формировали, подчиняли дисциплине и под влиянием этой дисциплины вводили опять в область огня, в которой они опять (под влиянием страха смерти) теряли дисциплину и метались по случайному настроению толпы.

Генералы Наполеона – Даву, Ней и Мюрат, находившиеся в близости этой области огня и даже иногда заезжавшие в нее, несколько раз вводили в эту область огня стройные и огромные массы войск. Но противно тому, что неизменно совершалось во всех прежних сражениях, вместо ожидаемого известия о бегстве неприятеля, стройные массы войск возвращались оттуда расстроенными, испуганными толпами. Они вновь устроивали их, но людей все становилось меньше. В половине дня Мюрат послал к Наполеону своего адъютанта с требованием подкрепления.

Критерий оптимальности - фундаментальное понятие современной экономики (которая переняла его из математического программирования и математической теории управления ); применительно к той или иной экономической системе это один из возможных критериев (признаков ) ее качества , а именно - тот признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных (в данных объективных условиях) вариантов ее функционирования.

Применительно к конкретным экономическим решениям К.о. - показатель , выражающий предельную меру экономического эффекта от принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив ) и выбора наилучшего из них. Это может быть, например, максимум прибыли , минимум затрат , кратчайшее время достижения цели и т.д.

К.о. - важнейший компонент любой оптимальной экономико-математической модели . Чем больше (если нас интересует максимум) или чем меньше (если нужен минимум) показатель критерия, тем больше удовлетворяет нас решение задачи. Если решается задача составления хозяйственного плана , то это означает, что выбран наилучший, оптимальный план : все остальные варианты н е м о г у т дать столь же удовлетворительного результата . Если решается, например, задача исследования операций по организации строительства завода, то это означает, что выбраны наилучшая очередность работ , наиболее рациональное распределение сил и ресурсов и т.д., а все другие варианты приведут к более поздним срокам пуска завода.

К.о. носит обычно количественный характер, т.е. он применяется для того, чтобы качественный признак плана, выражаемый соотношением «лучше - хуже», переводить в количественно определенное «больше - меньше». Но применяются и порядковые критерии. В последнем случае определяется лишь то, что один вариант лучше или хуже других, но не выясняется, насколько именно.

В экономико-математических задачах критерию оптимальности соответствует математическая форма - целевая функция , экстремальное значение которой (см. Экстремум ), характеризует предельно достижимую эффективность моделируемого объекта (т.е. наилучшие в заданном отношении структуру , состояние , траекторию развития). Другим возможным выражением К.о. является шкала (оценок полезности , ранжирования предпочтений и т.д.).

В реальной практике планирования К.о. не может и не должен носить жесткого однозначного характера. Оперируя с ним, следует иметь в виду такие факторы, как вероятное изменение условий, возникновение новых возможностей реализации плана, а также новых задач. Приходится поэтому поступаться величиной критериального показателя ради гибкости плана и его надежности. Это достигается как формальными, так и неформальными методами.

На схеме к статье «Экономическая система » (рис. Э.2) стрелка W имеет направление, соответствующее движению в сторону лучшего качества результатов функционирования экономической системы , т.е. в сторону лучшего удовлетворения общества в материальных благах. Упорядоченность точек шкалы W (и соответственно шкал V 1 , …, V n ) принято формализовать с помощью целевой функции F (w ), которая отождествляется с К.о.

Упорядочение точек шкалы W , как и точек шкал V есть субъективный акт. Оно может строиться в зависимости от того, что понимается под целью данной экономической системы, но с учетом ее реальных возможностей (объективная основа ) и качества управления системой (субъективная основа ). Способы упорядочения различны:

а) установление цели внешним по отношению к данной экономической системе или иным обладающим соответствующими правами субъектом управления ;

б) согласование тем или иным способом шкал предпочтения самостоятельных субъектов управления (социальных групп, организаций и т.д.), принимающих решения исходя из своих интересов: компромисс, правило большинства и другие понятия группового (социального) выбора .

Возможна классификация критериев оптимальности:

а) по уровню общности : глобальный критерий оптимального развития в масштабе Земли, социально-экономический критерий, народнохозяйственный критерий, а также «глобальный» и локальные критерии оптимальности в частных системах моделей;

б) по временному аспекту : статические и динамические (среди последних - оценивающие развитие от неоптимального к оптимальному состоянию и развитие как смену оптимальных состояний), текущие и финишные; критерии быстродействия (т.е. времени достижения цели);

в) по способам формирования критериев - нормативные, социолого-статистические, компромиссные, унитарные и т.д.;

г) по типу применяемых измерителей - полезностные, стоимостные, натуральные и др.;

д) по способам использования критериев - практические, теоретические, политико-пропагандистские;

е) по математической формализации - скалярные и векторные критерии, аддитивные и мультипликативные, интегральные критерии - во временном аспекте и интегральные - в пространственном аспекте и др.

Таковы лишь наметки классификации К.о., однако предстоит еще немало сделать для ее отработки, унификации и стандартизации.

Знаете ли Вы, что:

Считается, что США в процессе внешнеторгового обмена «экспортируют» капитал и «импортируют» труд. Американский экономист и Нобелевский лауреат В. Леонтьев выяснил, что это не так.

), содержанием целей, на достижение которых направлены действия, и т. д. Принцип оптимальности заимствован из математического программирования и теории управления. Методологической основой теории оптимизации экономики является принцип народно-хозяйственной оптимальности, т. е. изучение экономических явлений с позиций целого, с позиций всего народного хозяйства.

К. о. призван помочь обосновать решение. Практические задачи обоснования решения можно условно на 3 типа. Сущность задач 1-го типа заключается в необходимости выбора наилучшего варианта действий, обеспечивающих достижение определённого, т. е. заданного результата при минимальном расходе ресурсов. В задачах 2-го типа объём имеющихся ресурсов зафиксирован, нужно наилучший вариант их использования для получения максимального результата. Задачи, в которых поиск наилучшего варианта ведётся при отсутствии жёстких ограничений как по объёму используемых ресурсов, так и по конечному результату, относятся к 3-му типу. При обосновании решений оперируют понятием степень достижения цели, которую характеризуют определённым показателем.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. Иным образом, критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует технологическая система, работает данный процесс, и т.д., а также, насколько хорошо решена задача оптимизации .

Критерий оптимальности является одним из выходов системы, и, к нему предъявляются следующие требования:

Критерий оптимальности должен выражаться количественно;

Критерий оптимальности должен быть единственным;

Величина критерия оптимальности должна изменяться монотонно (без разрывов и скачков);

Критерий оптимальности должен отражать наиболее существенные стороны процесса;

Желательно чтобы критерий оптимальности имел ясный физический смысл и легко рассчитывался.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например, устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла - "реакция - регенерация" и т.п.. Однако, в любом случае критерий оптимальности имеет экономическую природу.

Различают простые и сложные критерии оптимизации. Критерий оптимальности называется простым , если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины. Такие критерии обычно используются при решении частных задач оптимизации (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и др.).

Критерий оптимальности называется сложным , если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин и ограничений. Таким образом, процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры. Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям. Различают следующие основные ограничения:

По количеству и качеству сырья и продукции (состав сырья, качество продукции, производительность и др.);

По условиям технологии (размеры аппарата, время пребывания, температура зажигания и деструктурирования катализатора и др.);

По экономическим соображениям;

По охране труда и окружающей среды;

Таким образом, для решения задачи оптимизации необходимо:

составить математическую модель объекта оптимизации;

выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин.

Рис.4

Рис.1

Измененное устройство выдает информацию (в том числе и управляющему устройству) о текущем состоянии объекта. В случае если на основании вектора измерений бывают найдены значения всœех координат состояния , не бывают найдены при известном значении вектора измерений , то система будет не полностью наблюдаемой. Управляющее устройства вырабатывает управляющее воздействие . Таких управляющих воздействий будет несколько, в связи с этим полагаем, что вектором - мерный

На вход управляющего устройства поступает задающее воздействие , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ содержит инструкцию о том, каково должно быть состояние объекта - так называемое ʼʼжелаемое состояниеʼʼ.

На объект управления может поступать возмущающие воздействие , представляющие нагрузку или помеху. Измерение координат объекта измерительным устройством может производиться с некоторыми случайными погрешностями , называемыми шумами измерения.

Задачей управляющего устройства является выработка такого управляющего воздействия , чтобы качество функционирования САУ в целом было бы наилучшим в некотором смысле.

В дальнейшем будем рассматривать только те объекты, которые являются управляемыми, ᴛ.ᴇ. вектор состояния которых можно изменять требуемым образом путем соответствующего измерения вектора управления. Вместе с тем, объект предполагается полностью наблюдаемым, ᴛ.ᴇ. в данном случае, очевидно, можно не делать разницы между векторами и .

Отметим, что в дальнейшем измеряемые внешние воздействия и при рассмотрении задач управления для упрощения задачи не учитывается. Кроме того мы ограничимся рассмотрением объектов, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. С учетом всœего сказанного функциональная схема САУ должна быть приведены к виду рис.2

рис.2

Уточним и конкретизируем постановку задачи оптимального управления. Ранее при обсуждении типовых задач ОУ 5 и 6, речь шла об несколько абстрактных понятиях – управления связи.

, где

и задавалось начальное и конечное значения вектора .

Существует много различных путей решения рассматриваемой задачи. Но только один способ управления объектом дает наилучший в некотором смысле результат. Этот способ управления и реализующую его систему называют оптимальными.

Чтобы иметь количественные основания для предпочтения одного способа управления всœем другим, крайне важно определить цель управления, а затем ввести меру, характеризующую эффективность достижения цели –критерий оптимальности управления. Обычно критерий оптимальности- это числовая величина, зависящая от изменяющихся во времени и пространстве координат и параметров системы так, что каждому закону управления соответствует определœенное значение критерия. В качестве критерия оптимальности бывают выбраны различные технические и экономические показатели рассматриваемого процесса.

Иногда к системе управления предъявляются различные, подчас противоречивые требования. Законы управления, который одновременно наилучшим образом удовлетворял бы каждому требованию, не существует.

По этой причине из всœех требований нужно выбрать одно главное, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ должно удовлетворяться наилучшим образом. Другие требования играют роль ограничений.

Следовательно, выбор критерия оптимальности должен производиться, только на основании изучения технологии и экономики рассматриваемого объекта и среды. Эта задача выходит за рамки теории ОУ.

В качестве критерия, характеризующего качество процесса управления, чаще всœего выбирается функционал

или

Относительно подынтегральной функции будем предполагать, что она непрерывна по всœем аргументам и имеет непрерывные частные производные по переменным .

Для выполнения задачи управления мы располагаем ограниченными энергетическими и материальными ресурсами. Учёт ограничений, естественно, стесняет выбор закона управления и одновременно делает задачу более определœенной. Некоторые задачи более определœенной. Некоторые задачи, сформулированные без учета ограничений, вообще не имеют смысла.

К примеру, задача о предельном воздействии в линœейной системе (в случае с нажимным устройством прокатного стана) при неограниченных управляющих воздействиях лишена смысла. Время процесса в данном случае будет равно нулю, а воздействия бесконечны.

Математически ограничения часто имеют вид неравенств, относящихся к координатам, управляющим воздействиям или их функциям. К примеру, используемая нами ранее в типовой задаче ʼʼ6ʼʼ запись

Носит достаточно абстрактный характер, говорит лишь о том, что соответствующая величина не может или не должна выходить за допустимые границы, вид которой здесь конкретизирован. Чаше всœего эта граница задается многомерным параллелœепипедом

Так, к примеру, для параллелœепипед предстает прямоугольником, за границы которого конец вектора управления не должен выходить. Такое управление принято называть допустимым.

Максимально допустимые значения координат или воздействий определяются характеристиками технологического процесса и оборудования. Заметим, что учет ограничений – существенно влияет на постановку задачи об оптимальном управлении.

Основную задачу определœения оптимального управления можно сформировать следующим образом.

В фазовом пространстве заданы начальное и конечное состояния ОУ. Среди всœех допустимых управлений , для которых соответствующих траектории проходят через начальное и конечное состояния (если такие управления существуют), крайне важно выбрать такое , для которого функционал (2) принимал минимальное (максимальное) значение.

Проиллюстрируем сказанное. Рассмотрим два пространства- управлений и состояний для .

Отметим в них начальное и конечное состояние векторов состояние управления

Кривые в пространстве управлений есть фазовые траектории вектора управления фазовые траектории вектора управления. Траектории допустимые траектории 5,6 –недопустимые т.к. выходят за область ограничений. Аналогично в пространстве состоящие фазовые траектории состояний допустимые, а недопустимые. Предполагается, что фазовой траектории под определœенным номером в пространстве управлений соответствует фазовая траектория в пространстве состояний под тем же номером. Требуется из допустимых управлений (кривая 4 не рассматривается, т.тк.ая 4 нерассматривается авлений ом. тствует фазовая траекттория к. она вызывает недопустимую траекторию состояния 4) выбрать такую, которая, вызывает допустимые траектории состояния доставляет экстремум функционалу (2).

Это шестая типовая задача у управления, как уже отмечалось выше, принято называть неклассической вариационной задачей оптимального управления. В случае если же ограничения на координаты и управления (3) отсутствуют, и всœе вектора управления и состояния являются допустимыми, то возникает пята я типовая задача или классическая вариационная задача оптимального управления, (исследованию которой и посвящена настоящая глава).

Второй важной задачей оптимального управления является синтез оптимального регулятора, ᴛ.ᴇ. определœение оптимального управления как функции либо вектора наблюдения , либо вектора состояния объекта , а не , как мы только что рассматривали.

Выше уже говорилось, что в теории оптимального управления в качестве критериев оптимальности, как правило, применяются интегральные функционалы вида (2). Учитывая зависимость отвида подынтегральной функции бывают получены различные критерии оптимизации, применяемые в практике проектирования оптимальных САУ.

Одним из наиболее распространенных критериев, для которого методика синтеза оптимального управления достаточно хорошо разработана, является время переходного процесса объекта управления из начального состояния в конечное . Этот критерий представляет собой частный случай функционала (2) при тогда

Казалось бы логично пользоваться интегральным критерием вида

, где

Отклонения регулируемой координаты от нового установившегося значения, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ она будут иметь после завершения переходного процесса.

Геометрически интеграл (5) интегрируется как площадь под кривой . Эта площадь, а, следовательно, и величина критерия оптимальности, будет тем меньше, чем быстрее затухает переходной процесс и чем меньше величина отклонения в совокупности. Значит управление системой нужно выбирать так, что минимизировать критерий (5). Неудобством этой интегральной оценки является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется . В случае если же имеет место колебательный процесс рис.5, то при вычислении интеграла (5) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Что избежать риски подобных ситуаций, следует использовать квадратичный, интегральный функционал

который не зависит от знаков отклонений, а значит и от формы переходного процесса (монотонный или колебательный).

В случае если при проектировании системы оптимального управления ставится задача ограничить резкие изменения выходной переменной во время изменения переходного процесса, при которых 1-ая производная может принимать достаточно большие значения, используется функция:

, где

Весовой коэффициент.

Минимизация этой формулы означает, что составляющая запрещает значительные отклонения от установившегося значения, составляющая запрещает существование больших производных . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, получается не только быстрый, но и плавный, без разных колебаний переходной процесс. Иногда для этих целœей применяется и более сложные оценки вида:

Выбор того или иного функционала определяется техническими показателями и условиями работы проектируемой САУ и во многом зависит от инструкции и опыта инженера – проектировщика.

Критерий оптимальности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Критерий оптимальности" 2017, 2018.

Декларация по УСН