После расчетов необходимо определить на каком лаге коэффициент будет максимальным (как правило, это первый лаг) и оценить его значимость. Предпосылкой для решения данной задачи является возможность проявления ошибки репрезентативности при анализе выборочных данных. Проверяется статистическая гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции равен нулю (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции является следствием проявление случайной ошибки репрезентативности). Альтернативная гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции отличен от нуля (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции может рассматриваться как оценка неизвестного генерального коэффициента автокорреляции по выборочным данным). Гипотезы проверяются через расчет t-критерия Стьюдента и сравнение расчетного значения с теоретическим.
Где r – коэффициент автокорреляции, σ r – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.
Ошибка рассчитывается следующим образом:
Где n – число уровней ряда
Теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод 12 равно 2,17
Расчетное значение критерия превосходит теоретическое (16,69 против 2,17), следовательно коэффициент автокорреляции на первом лаге признается значимым.
Наличие высокой автокорреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида
(один из видов модели регрессии). Такая модель называется авторегрессией и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.
Практика показывает, что часто в отклонениях от тренда сохраняется автокорреляция. Прежде чем приступить к расчету коэффициента корреляции по остаткам, необходимо проверить наличие в них автокорреляции. Проверяемая статистическая гипотеза (H0:) формулируется следующим образом:
H0: автокорреляция в анализируемом динамическом ряду отсутствует.
Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в отклонениях от тренда, является критерий Дарбина – Уотсона (d0 ), статистика критерия определяется по следующей формуле:
,
где – случайные отклонения от тренда .
Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При 0 < d < 2 - автокорреляция положительная,
если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.
Близость величины критерия к «2» говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию «d», являются интервальными. Существуют таблицы распределения значений критерия Дарбина – Уотсона, составленные для различных уровней значимости. Таблицы составлены с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа переменных в уравнении тренда.
По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:
1. > , - H0 - принимается;
2. < , - H0 - отвергается;
3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).
Для проверки остатков на наличие автокорреляции можно просто рассчитать коэффициенты автокорреляции по остаткам. Данная задача решается аналогично задаче оценки автокорреляции динамических рядов. Единственное отличие: исходные данные в этом случае – это остатки по оптимальному тренду (берутся из отчетов)
Отсутствие автокорреляции в остатках определяется по величине коэффициента (меньше 0,5 – автокорреляция отсутствует). Решение данной задачи дополнительно подтверждает качество выбора тренда.
Кросс-корреляция динамических рядов – это корреляционная зависимость между динамическими рядами с заданным временным смещением (лагом). Внимание! Расчет коэффициентов кросс-корреляции проводится по остаткам с оптимальных трендов по динамическим рядам. Необходимость исключения трендовой составляющей динамического ряда объясняется тем, что при коррелировании уровней однонаправленных рядов значительно искажаются (завышаются результаты расчетов).
Остатки по двум динамическим рядам берутся из отчетов по оптимальным трендам.
Смещение (лаг) задается по аналогии с задачей автокорреляции.
Вторым отличием является необходимость рассмотрения прямой и обратной зависимости.
Последовательность задания исходных данных значения в данном случае не имеет, так как в любом случае рассматривается прямая зависимость – импорт к экспорту, и обратная – экспорт к импорту соответственно.
Третье отличие - на нулевом лаге смещение не задается
По полученным коэффициентам кросс-корреляции строится коррелограмма
По аналогии с решением задачи автокорреляции необходимо оценить значимость максимального коэффициента кросс-корреляции (как правило, это коэффициент на нулевом лаге).
Наличие высокой кросс-корреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида
(в качестве модели регрессии выбирается оптимальный тренд. В данном случае линейный). Такая модель называется регрессионной моделью с включением фактора времени) и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.
Уровни второго динамического ряда с заданным смещением на величину лага
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущего. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
(5.2)
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом (). С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции .
1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом .
y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n –1), а не по n парам наблюдений.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка , коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 , т.е.
, (9.15)
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n –2) парам наблюдений.
Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n /4.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:
Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r 1 , r 2 , r 3 , … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.
Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции
Для временного ряда, содержащего тренд , коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.
Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в Росиис 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.
Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Пример 9.1. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.
Таблица 9.7
Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):
Таблица 9.8
| t | y t | y t -1 | y t -2 | y t -3 | y t -4 | y t -5 | y t -6 |
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | |
| 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | |
| 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | |
| 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | |
| 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | |
| 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | |
| 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | |
| 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | |
| 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | |
| 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | |
| 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | |
| 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | |
| 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | |
| 10,8 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 |
Определим коэффициент корреляции между рядами y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):
Таблица 9.9
| t | y t | y t -1 |  | ||||
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | -2,987 | -1,067 | 3,186 | 8,920 | 1,138 | |
| 5,0 | 4,4 | -2,387 | -2,667 | 6,364 | 5,696 | 7,111 | |
| 9,0 | 5,0 | 1,613 | -2,067 | -3,334 | 2,603 | 4,271 | |
| 7,2 | 9,0 | -0,187 | 1,933 | -0,361 | 0,035 | 3,738 | |
| 4,8 | 7,2 | -2,587 | 0,133 | -0,345 | 6,691 | 0,018 | |
| 6,0 | 4,8 | -1,387 | -2,267 | 3,143 | 1,923 | 5,138 | |
| 10,0 | 6,0 | 2,613 | -1,067 | -2,788 | 6,830 | 1,138 | |
| 8,0 | 10,0 | 0,613 | 2,933 | 1,799 | 0,376 | 8,604 | |
| 5,6 | 8,0 | -1,787 | 0,933 | -1,668 | 3,192 | 0,871 | |
| 6,4 | 5,6 | -0,987 | -1,467 | 1,447 | 0,974 | 2,151 | |
| 11,0 | 6,4 | 3,613 | -0,667 | -2,409 | 13,056 | 0,444 | |
| 9,0 | 11,0 | 1,613 | 3,933 | 6,346 | 2,603 | 15,471 | |
| 6,6 | 9,0 | -0,787 | 1,933 | -1,521 | 0,619 | 3,738 | |
| 7,0 | 6,6 | -0,387 | -0,467 | 0,180 | 0,150 | 0,218 | |
| 10,8 | 7,0 | 3,413 | -0,067 | -0,228 | 11,651 | 0,004 | |
| Среднее | 110,8 | 9,813 | 65,317 | 54,053 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.14), находим
.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 . Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):
Таблица 9.10
| t | y t | y t -2 |  | ||||
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | – | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 6,0 | -2,600 | -1,071 | 2,786 | 6,760 | 1,148 | |
| 9,0 | 4,4 | 1,400 | -2,671 | -3,740 | 1,960 | 7,137 | |
| 7,2 | 5,0 | -0,400 | -2,071 | 0,829 | 0,160 | 4,291 | |
| 4,8 | 9,0 | -2,800 | 1,929 | -5,400 | 7,840 | 3,719 | |
| 6,0 | 7,2 | -1,600 | 0,129 | -0,206 | 2,560 | 0,017 | |
| 10,0 | 4,8 | 2,400 | -2,271 | -5,451 | 5,760 | 5,159 | |
| 8,0 | 6,0 | 0,400 | -1,071 | -0,429 | 0,160 | 1,148 | |
| 5,6 | 10,0 | -2,000 | 2,929 | -5,857 | 4,000 | 8,577 | |
| 6,4 | 8,0 | -1,200 | 0,929 | -1,114 | 1,440 | 0,862 | |
| 11,0 | 5,6 | 3,400 | -1,471 | -5,003 | 11,560 | 2,165 | |
| 9,0 | 6,4 | 1,400 | -0,671 | -0,940 | 1,960 | 0,451 | |
| 6,6 | 11,0 | -1,000 | 3,929 | -3,929 | 1,000 | 15,434 | |
| 7,0 | 9,0 | -0,600 | 1,929 | -1,157 | 0,360 | 3,719 | |
| 10,8 | 6,6 | 3,200 | -0,471 | -1,509 | 10,240 | 0,222 | |
| Среднее | 106,4 | -31,120 | 55,760 | 54,049 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.15), находим
.
Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.
Таблица 9.11
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).
При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии , при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Автокорреляция – явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.
Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
где
Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени называютвременным лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Коэффициент корреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Пример 3.
Пусть имеются некоторые условные данные (таблица 11) об общем количестве поступившей товарной продукции на склад предприятия.
Таблица 11 – Общее количество поступившей товарной продукции на склад.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
(4.2)
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом .
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Налоги и платежи
