Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадкуS , топоток вектора напряженности (число силовых линий через площадку) будет определяться формулой

где E n – произведение векторана нормальк данной площадке (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S , называется потоком вектора напряженности Ф Е через эту поверхность.

Элементарный поток вектора напряженности через площадку dS (рис. 5) определится соотношением:

где
– проекция
на направление нормали.

В векторной форме можно записать
– скалярное произведение двух векторов, где вектор
.

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным .

Полный поток вектора напряженности через любую площадку S можно определить тогда
, а поток через замкнутую поверхность, окружающую заряд или заряженное тело равен
.

Так как напряженность поля, созданного в любой точке пространства зависит от величины заряда, создающего это поле, то поток вектора напряженности электростатического поля через любую площадку, находящуюся в этом поле также зависит от величины заряда.

Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

Рисунок 2.6 Рисунок 2.7

Для рисунка 2.6 – поверхность А 1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е.
ПоверхностьА 2 – окружает отрицательный заряд, здесь
и направлен внутрь. Общий поток через поверхностьА равен нулю.

Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный.

Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда.

2.3. Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса)

К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля череззамкнутую поверхность со значением зарядаq , находящегося внутри этой поверхности.Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К.Гауссом.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса): поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

.

Докажем эту теорему. Пусть поле создается точечным зарядом q . Окружим заряд замкнутой поверхностьюS произвольной формы. Разобьем замкнутую поверхность на элементарные площадкиdS , к каждой из которых проведем вектор нормали.

Элементарный поток вектора напряженности через площадкуdS (рис. 2.8) определится соотношением:

где
–проекция
на направление нормали. Тогда
, где
- элементарный телесный угол, под которым элемент
виден из места положения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через замкнутую поверхностьS от точечного зарядаq , находящегося внутри этой поверхности.

,

так как
, то

.

Как видно, поток вектора напряженности выходящий из поверхности не зависит от формы поверхности, охватывающей заряд и пропорционален величине заряда.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то суммарный поток через любые элементарные площадки dS 1 иdS 2 , находящиеся внутри телесного углаd Ω(рис. 2.9) равен сумме потоков напряженности выходящего из этой поверхности (положительный поток) и входящего в нее (отрицательный поток).

Тогда , следовательно, поток напряженности электрического поля через любую поверхностьS , не охватывающую заряды равен нулю, т.е.Ф Е =0.

Пусть внутри замкнутой поверхности имеется зарядов, тогда алгебраическим суммированием (согласно принципу суперпозиции) находим, что общий поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен
.

Теорема доказана.

Таким образом теорему Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

(1),

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то теорема Гаусса имеет вид:

(2)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностьюS .

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всех зарядов, поток
сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхностиS . Это значит, чтоесли передвинуть заряды внутри замкнутой поверхности , тоизменится всюду , и на поверхностиS , апоток вектора через эту поверхность останется прежним .

Таким образом, чтобы рассчитать поле, созданное какой-то конфигурацией зарядов в данной точке, нужно через эту точку провести замкнутую поверхность произвольной формы и рассчитать поток вектора напряженности через эту поверхность. Так как по т еореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , то, зная величину заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности можно найти напряженность поля в интересующей нас точке пространства.

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле - поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку ΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS :

где - проекция вектора на нормаль к площадке ; - единичный вектор, перпендикулярный площадке .

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности сквозь поверхность в общем случае равен:

,

где . (Выбор нормали условен, но в случае замкнутых поверхностей принято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока - В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

.

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , т. е.:

.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянии от него (рис. 1.8),

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (- плечо диполя),

,

где - электрический момент диполя, - угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

где - напряженность электрического поля; - угол между векторами и .

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

где производная берется по направлению вектора . Направление вектора в общем случае не совпадает с направлением вектора , ни с направлением вектора . Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора , взятого в направлении .

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

где - расстояние точки от нити (оси цилиндра), - линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO " - ось симметрии цилиндра

где - поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и (поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

Потенциал. Разность потенциалов

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии

.

Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и равен отношению потенциальной энергии положительного пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

где - потенциальная энергия заряда , помещенного в данную точку электрического поля. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю. Единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.

Работа, совершенная силами поля по перемещению положительного заряда из точки 1 в точку 2:

или ,

где - проекция вектора напряженности на направление ; при этом интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 1.11).

Интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Теперь предположим, что заряд q 0 перемещается из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля , откуда получим:

Данное выражение позволяет сформулировать еще одно определение потенциала. Потенциал - это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки пространства в бесконечность (потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю).

Рис. 1.11. Работа сил поля при малом перемещении заряда q

Разность потенциалов и модуль напряженности электрического поля

где производная берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т. е. вдоль силовой линии (рис. 1.12).

Для однородного поля ()

где - расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.

Рис. 1.12. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r 1 и r 2

Потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него

Потенциал поля сферической поверхности (шара) радиуса , по которой равномерно распределен заряд :

1. - для точек, лежащих вне сферы (шара) на расстоянии от ее центра;

2. - для точек, лежащих на поверхности сферы (шара) или внутри нее.

Потенциал электрического поля внутри непроводящего шара, равномерно заряженного по объему,

где - диэлектрическая проницаемость материала шара; - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.

Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля . Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

где - потенциал электрического поля, созданного -м зарядом.

Для графического изображения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - это поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. В любой точке эквипотенциальной поверхности силовая линия ей перпендикулярна, следовательно, перпендикулярен и вектор (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии простых электрических полей: точечный заряд; электрический диполь; два равных положительных заряда

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Различают три типа диэлектриков:

1) Неполярные диэлектрики. Это диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (например, N 2 , H 2 , O 2 , CO 2).

2) Полярные диэлектрики. Это диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например, H 2 O, NH 3 , SO 2 , CO).

3) Ионные диэлектрики (например NaCl, KCl). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков.

Если диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то в его объеме возникает собственное макроскопическое поле, которое всегда противоположно ориентировано по отношению к внешнему полю. Такое явление называется поляризацией диэлектрика , и оно объясняется тем, что в его объеме возникает суммарный дипольный электрический момент молекул. Различают три основных вида поляризации:

1) Электронная или деформационная поляризациядиэлектрика с неполярными молекулами - за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов или молекул диэлектрика (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Деформационная поляризация неполярного диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная поляризациядиэлектрика с полярными молекулами - ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и чем ниже температура) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Поляризация полярного диэлектрика

3) Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими решетками - смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью вещества (вектор поляризации)

,

где - физически малый объем вещества; - концентрация молекул; - средний дипольный момент одной молекулы. Таким образом вектор поляризации измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика.

Для изотропного диэлектрика вектор пропорционален напряженности поля внутри него

где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле).

Поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

Напряженность поля внутри диэлектрика равна:

где - диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле и показывающая во сколько раз поле ослабляется диэлектриком. Таким образом, диэлектрическая проницаемость среды

где - напряженность поля в вакууме; - напряженность поля в среде. Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной и характеризует способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле, а также показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком

Для характеристики поля в диэлектрике вводится вектор электрического смещения (электрической индукции ), который для изотропного диэлектрика записывается так

Единица электрического смещения - Кл/м 2 . Вектор описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Введение в рассмотрение векторов поляризации и электрического смещения позволяет изменить запись и формулировку теоремы Гаусса.

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов q i , охватываемых этой поверхностью

Тогда как производная скаляра по произвольному направлению однозначно определяется заданием вектора , поведение векторной функции
вблизи некоторой точки пространства описывается тензором, определяемым уравнением

, (3.1)

где составляющие тензора в декартовых координатах выражаются следующим образом:

(3.2)

Иными словами, приращение каждой составляющей векторной функции
имеет форму, аналогичную приращению скалярной функции (2.1):

(3.3)

4. Поток вектора через поверхность. Дивергенция. Теорема Гаусса

Прежде всего введем ряд понятий, которые понадобятся не только в данном разделе, но и в дальнейшем. Рассмотрим поле вектора
. В произвольной точке этого поля выделим бесконечно малую плоскую площадку
, в пределах которой векторостается постоянным по величине и по направлению. С выделенной площадкой связаны направление нормали к ней и направление обхода контура площадки (рис. 4.1).

Б

удем считать, что эти два направления связаны друг с другом таким образом, чтобы положительное направление нормали и направление обхода контура образовывали правовинтовую систему. (Это означает, что при повороте буравчика правой нарезки по направлению обхода контура его острие будет перемещаться вдоль положительной нормали).

Направление нормали будем характеризировать единичным вектором , а саму эту площадку можно обозначить в виде вектора
.

Потоком вектора через бесконечно малую площадку
называется величина

(4.1)

где - значение вектора на площадке
,– проекция вектора на направление нормали.

Чтобы определить поток вектора через поверхность конечных размеров нужно разбить её на бесконечно малые площадки
и просуммировать потоки через все эти площадки (рис.4.2).

Такое суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла по поверхности :

(4.2)

Если вычисляется поток вектора через замкнутую поверхность, то это обстоятельство обозначается кружком у знака интеграла:

(4.3)

Из двух возможных положительных направлений вектора нормали при вычислении потока через замкнутую поверхность будем выбирать в качестве положительного направление внешней нормали к поверхности.

Дивергенция вектора определяется выражением

. (4.4)

В соответствии с этим определением дивергенция векторной функции
в произвольной точке пространства вычисляется следующим образом: точка окружается замкнутой поверхностью, по которой берётся поверхностный интеграл вектора. Затем берётся предельное значение отношения интеграла к объему, ограниченному этой поверхностью, когда замкнутая поверхность стягивается к точке.

Из определения дивергенции (4.4) следует, что данная операция инвариантна по отношению к преобразованию координат. Иными словами значение выражения
не зависит от выбора системы координат. Вместе с тем, само выражение
можно представить в той или другой системе координат.

В декартовой системе координат имеем

. (4.5)

Из определения дивергенции следует, что поток вектора через поверхность элементарного параллелепипеда, объемом
будет

. (4.6)

Формулу, выражающую поток вектора через поверхностьбесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. При этом поверхностный интеграл
можно преобразовать в объёмный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа –теоремы Гаусса.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность . Разобьём ограниченный ею объёмсистемой взаимно перпендикулярных плоскостей на совокупность бесконечно малых кубических элементов.

Вычислим с помощью уравнения (4.6) поток вектора через поверхность каждого кубика, лежащего внутри, и сложим полученные выражения:

(4.7)

Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокупности объём , могут быть разделены на два класса – грани внешние, совпадающие с элементами поверхности, и грани внутренние, ограничивающие смежные кубики друг от друга. Очевидно, что в сумму
поток векторачерез каждуювнутреннюю грань войдёт дважды: при подсчёте потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от неё. Так как нормаль к грани, внешняя по отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба потока через эту грань будут иметь противоположные знаки. Следовательно, все члены суммы
, относящиеся к внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведётся к сумме потоков векторачерез одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие с элементами поверхности. Таким образом,
оказывается равной потоку
векторачерез заданную поверхность:

(4.8)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса : поток вектора, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции этого вектора по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Те точки поля, в которых
, принято называть истоками этого поля, а само значение
характеризует «интенсивность» истоков. Векторные поля, у которых
, называютсясоленоидальными .

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 - тупой. Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x} у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса. Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение, значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° - острый, а знак «-», что угол /3 - тупой. Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг\ через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью Имеем Так как угол 7 - острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам, получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F{x} у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е. Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ». Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz -треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны. Имеем Аналогично получим. Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А. Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В. Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим Замечание. Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Теорема 4. Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные, то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь - орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского. Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz. Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da - элемент площади на поверхности S. Тогда ~ элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением - уравнением z = z\(x}y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю. Поэтому формула (4) остается справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза. Пусть S\ и S2 - те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V\ и Vj - соответствующие части области V, ограниченные поверхностями. Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp - что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются). Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса-Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1) Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса-Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3. Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание. При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса-Ос гроградского. Пример 4. Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у - I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V - объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj

Поток векторного поля.
Поток через замкнутую поверхность

Просто чтобы не запутаться.

В основе этого перехода лежит известная формула скалярного произведения , и тут будет полезно проанализировать её содержательный смысл. Пусть – это единичный вектор нормали «комнатой» стороны нашего «сигма-окна» и пусть в рассматриваемых ниже ситуациях дует ветер некоторой постоянной скорости.

Теперь ответим на вопрос: когда поток будут максимальным? Математически максимум достигается при , то есть когда углы между «полевыми» и нормальным вектором равны нулю. Что это значит? Это значит, что ветер дует «прямо в окно» – строго по направлению нормалей. Логично, что именно в этом случае в комнату и попадёт максимальное количество воздуха.

Если «угол задува» увеличивать от 0 до 90 градусов, то косинус (а значит, и поток) будет уменьшаться до нуля. Тоже логично. В частности, если ветер (такой же силы!) дует в окно под углом в 60 градусов, то поток воздуха по абсолютной величине будет уже в два раза меньше .Случаю соответствует «невероятная ситуация», когда воздух перемещается в «плоскости окна». И, наконец, отрицательным значениям косинуса (углы от 90 до 180 градусов) соответствуют случаи, когда ветер дует против вектора нормали (т.е. из окна).

Ещё раз призываю научиться решать поверхностные интегралы тех, кто не успел этого сделать, поскольку сейчас мы фактически продолжаем тему:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Наверное, все интуитивно понимают, что это за поверхность. К простейшим замкнутым поверхностям можно отнести сферу и треугольную пирамиду .

Вычисление потока через замкнутую поверхность имеет свои особенности, с которыми мы познакомимся в ходе решения следующего каноничного примера:

Пример 1

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную плоскостью и координатными плоскостями, в направлении внешней нормали

Решение , как повелось, начинаем с чертежа. Перепишем уравнение плоскости в отрезках и изобразим предложенную поверхность, которая представляет собой треугольную пирамиду:

По условию, поверхность ориентирована в направлении внешней нормали, и поэтому к обозначению пирамиды я добавлю условную стрелочку: .

Поток векторного поля вычислим с помощью того же поверхностного интеграла 2-го рода , и так как поверхность замкнута, то к его обозначению обычно добавляют символический кружочек:

Если совсем тяжко, используйте привычную «сигму»:
, подразумевая под чёрточкой внешнее направление. Заметьте также, что здесь крайне нежелательно ставить «плюсик»: – по той причине, что три грани пирамиды «смотрят» против координатных осей!

Несмотря на «страшный вид», смысл задачи опять же прост: представьте, что пирамида ограничивает фрагмент нЕкоего водного русла. Требуется выяснить, сколько жидкости туда поступило/вытекло в единицу времени.

И, очевидно, что здесь придётся воспользоваться свойством аддитивности поверхностного интеграла, а конкретнее, представить его в виде суммы четырёх поверхностных интегралов по ориентированным граням пирамиды :

Здесь можно тоже использовать короткие обозначения , но чтобы всё было понятнее, я предпочёл пусть громоздкие, но зато «говорящие» названия поверхностей.

…что-то не вижу энтузиазма в ваших глазах:)) …и напрасно – с каждым экраном будет всё интереснее и интереснее;)

1) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник в направлении нормального вектора . По сути дела, это Пример 5 урока Поверхностные интегралы .

Поскольку внешняя нормаль образует с полуосью острый угол, то для нахождения единичного нормального вектора используем формулу:

Запишем функцию плоскости :

и найдём частные производные 1-го порядка :

Таким образом:

Убедимся, что его длина действительно равна единице:
, ч.т.п. На чертеже он выглядит коротеньким, но что поделать – такой уж наклон плоскости.

Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода :

Теперь используем формулу , где – проекция поверхности «сигма» на плоскость . Напоминаю, что интеграл 1-го рода можно вычислить ещё двумя способами, но во избежание путаницы (опять же) лучше пойти привычным путём:

Осталось разрулить двойной интеграл . Найдём прямую, по которой по пересекаются плоскости и :

и изобразим проекцию на двумерном чертеже (не ленимся!!!):

Очевидно, что с порядком обхода я уже определился чуть ранее:

Продолжаем:

Повторные интегралы удобнее вычислить по порядку. Сначала внутренний:

затем внешний:

Готово. Обратите внимание на рациональную технику вычисления и оформления.

Для лучшего понимания задачи продолжим вкладывать в решение гидродинамический смысл. Что означает полученный результат ? Он означает, что за единицу времени через треугольник в направлении вектора прошло 26 единиц жидкости. Кстати, это не значит, что она движется ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО в данном направлении. Вполне возможно, что здесь «водоворот»: попробуйте поподставлять в функцию различные точки треугольника , и если окажется, что векторы поля торчат из него в разные стороны, то дело обстоит именно так.

Оставшиеся три интеграла, благо, проще:

2) Найдём поток векторного поля через ориентированный треугольник . Единичный вектор нормали тут очевиден: или . Вычислим скалярное произведение:

и перейдём к поверхностному интегралу 1-го рода

Так как поверхность лежит непосредственно в плоскости , то формула
сильно упрощается – ведь «зет» и её производные равны нулю. Двойной интеграл возьмём по тем же пределам интегрирования:

Отрицательное значение означает, что за единицу времени через треугольник по итогу прошло 9 единиц жидкости против вектора (то есть, поступило внутрь пирамиды). Любопытные читатели могут снова поподставлять точки треугольника в функцию и проанализировать характер течения.

3) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник . Внешняя нормаль здесь тоже как на ладони: или . Скалярное произведение:

и стандартный переход:

Отчетность за сотрудников