Понятие средней величины большинству людей хорошо известно. Обычно среднюю величину воспринимают как отражение общего в значениях признака у множества единиц. Таковы, например, средний возраст жителя страны, средний размер семьи в районе, средний размер прибыли предприятия.

Действительно, средняя величина - это обобщающая оценка признака у множества объектов, которая отражает его характерное значение. Характерное значение фиксирует типическую величину признака, в котором находит выражение своеобразие данной группы объектов и ее отличие от значений признака у других групп.

Например, средняя заработная плата работников в разных видах деятельности в 2015 г. в России составила, тыс. руб. :

• сельское хозяйство - 19,5;
• добыча полезных ископаемых - 63,7;
• обрабатывающие производства - 31,8;
• строительство - 29,9.

В разном уровне оплаты, т.е. в разной средней заработной плате работника, проявляются особенности организации труда в разных видах деятельности и в конечном счете - общественное признание того или иного труда.

В приведенном примере даны средние, которые рассчитаны по группам, состоящим из объектов одного вида деятельности и которые в этом смысле могут быть названы однородными. Подобные средние называются групповыми. Они интересны тем, что связаны с конкретными объектами и условиями их существования. Когда производится расчет групповых средних, то при одинаковых, например, условиях труда происходит взаимное погашение влияния случайных причин на заработную плату. В то же время при расчете групповой средней усиливается влияние особых, специфических условий, поскольку они действуют постоянно и в одном направлении. В групповой средней отражаются особенности однородных объектов и погашается случайность. Именно но этим причинам групповые средние находят широкое практическое применение.

Когда речь заходит об общей средней но множеству, включающему несколько однородных групп, то при ее расчете погашается действие не только случайных, но и групповых особенностей. Так, общая средняя заработная плата занятого в экономике страны в 2015 г. составила 34 тыс. руб. В ней не отражаются особенности оплаты труда в разных видах деятельности, а показывается лишь общий уровень оплаты труда занятых в ЭКОНОМИКС.

Сравним среднюю заработную плату работников разных видов деятельности в 2010 и 2015 гг. в экономике РФ (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Средняя заработная плата в разных видах деятельности и ее изменения,

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 7.7.

В темпах изменения средних по видам деятельности, т.е. в групповых средних, проявляются частные закономерности изменения заработной платы: в интервале от 1,41 до 1,82 раза. Сравнивая изменение общей средней, устанавливаем общую закономерность изменения уровня заработной платы в экономике страны: увеличение в 1,62 раза.

Всесторонний анализ предполагает совместное использование общих и групповых средних: это позволяет характеризовать общие закономерности развития и особенности их проявления в конкретных условиях.

Расчет средней выполняется в два этапа. На первом этапе производится обобщение индивидуальных значений изучаемого признаках, у множества, состоящего из п единиц: {х-}. На втором этапе полученный результат распределяется между множеством этих п единиц: {х,} + п - х.

При обобщении значений признака у п объектов множества {х,} происходит взаимное погашение влияния случайных причин и усиливается действия неслучайных систематических факторов. При распределении обобщенного значения признака между п единицами множества {х; -} п определяется средняя типическая его величина х у одной абстрактной единицы. В результате имеем либо групповую среднюю по группе однородных объектов: {х; }-н п = х, либо общую среднюю для всего изучаемого множества {х,} -г- п = х.

Для расчета средних существуют несколько способов, которые отличаются порядком обобщения и распределения.

Средняя арифметическая обобщает индивидуальные значения x f суммированием, а равномерное распределение - делением суммы дг, на число

единиц, участвующих в расчете:

Частое использование арифметической средней объясняется ее особыми свойствами, которые делают ее расчет более простым, а результат - легко проверяемым.

Сумма отклонений значений признака от арифметической средней равна нулю:

Если значения признака х, изменить на число Л, то арифметическая

средняя изменится на это же число:

Если значения признака х, увеличить в А раз, то арифметическая средняя увеличится в А раз:

Если значения признака Xj уменьшить в А раз, то арифметическая средняя также уменьшится в

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда расчет выполняется по значениям признака, который связан с изучаемым признаком обратной зависимостью, т.е. при условии, что V определяется по значениям признака

Например, показатель выработки продукции на работника:

Показатель трудоемкости единицы продукции:

Показатели выработки и трудоемкости находятся в обратной зависимости: . Поэтому при расчете средней выработки по значениям трудоемкости следует применять гармоническую среднюю

Средняя квадратическая применяется в случаях, когда при обобщении значений признака А/, необходимо избежать нулевого результата, так как квадратов рассчитывают среднюю: , а из полученной

средней извлекают квадратный корень:

Наиболее часто квадратическая средняя применяется при расчете показателей вариации и оценок различий структур множества.

Средняя геометрическая обобщает значения признака путем расчета

их произведения: , а из результата извлекается

корень п -й степени:

Наиболее логически оправдано применение геометрической средней при расчете из цепных темпов роста среднего темпа роста:

Разный порядок расчета средних объясняет разные значения результата. Свойство мажорантности средних величин устанавливает зависимость величины средней от показателя ее степени: чем выше показатель степени средней, тем больше ее значение. Каждая из рассмотренных средних представляет собой разновидность степенной средней (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Формы средних величин

Форма средней	Расчетная формула	Показатель степени средней (с)
Квадратическая
Арифметическая
Геометрическая
Гармоническая

В качестве иллюстрации свойства мажорантности выполним по данным о численности населения федеральных округов РФ расчет разных средних (табл. 6.3).

Приведенный пример подтверждает, что с увеличением степени средней: от наименьшей - для гармонической, до наибольшей - для квадратической, величина средней увеличивается. Свойство мажорантности средних можно представить в виде неравенств: V

Из свойства мажорантности следует вывод о том, что выбор способа расчета средней не может быть произвольным. Он должен основываться на смысловом содержании исходных данных и на условиях применения конкретной формы средней.

Известно, что геометрическая средняя используется для обобщения темпов роста, а квадратическая - в тех случаях, когда сумма значений признака равна нулю. Поэтому наиболее востребованными практикой являются арифметическая и гармоническая формы средних.

По особым правилам проводится расчет средних из абсолютных и относительных значений изучаемых характеристик. Рассмотрим особенности расчета средних на примере данных но федеральным округам РФ за 2014 г. (табл. 6.4).

В табл. 6.4 использованы следующие признаки и их обозначения.

Численность занятых в экономике федерального округа, млн человек Р,.

Численность занятых в процентах от численности всего населения федерального округа, % - С,.

Приходится оборота розничной торговли за год в среднем на одного жителя федерального округа, тыс. руб. - Т г

Приходится инвестиций в среднем на одного занятого в экономике федерального округа, тыс. руб. - R r

Таблица 63

Расчет средней численности населения федеральных округов РФ с применением различных средних

Федеральный	Численность населения
Центральный
Северо-Западный
Северо-Кавказский
Приволжский
Уральский

Федеральный	Численность населения на 01.01.2016
Сибирский
Дальневосточный
Крымский
				И 196 529 418,1
Квадратическая средняя (см. формулу (6.1))
Арифметическая средняя (см. формулу (6.2))
Геометрическая средняя (см. формулу (6.3))
Гармоническая средняя (см. формулу (6.4))

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

Особенность абсолютных значений признака в том, что они непосредственно относятся к единице совокупности и определяют ее абсолютные размеры. Например, для федерального округа как единицы множества абсолютными значениями будут численность населения, численность занятых, стоимость произведенной продукции, стоимость основного капитала, прибыль от реализации продукции и т.п. Приведенные признаки относятся непосредственно к федеральному округу, называются первичными и по их значениям можно определить размеры каждого изучаемого объекта. При обработке абсолютных значений этих признаков точно учитывается размер каждой единицы и поэтому нет никаких ограничений для обобщения их значений путем непосредственного суммирования. Средняя, при расчете которой обрабатываются значения единственного признака, называется простой. Например, простая средняя применяется для расчета средней численности занятых в экономике одного федерального округа (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Расчет средних значений экономических показателей по федеральным

округам РФ, 2014 г.

Федеральный округ	Численность занятых в экономике, млн чел.	Численность занятых, % численности всего населения	Приходится оборота розничной торговли за год в среднем на одного жителя, тыс. руб.	Приходится инвестиций в среднем на одного занятого в экономике, тыс. руб.
Центральный
Северо-Запад! i ы й
Се всро - Ка в казс к и й
Приволжский
Уральский
Сибирский
Дальневосточный
Среднее значение

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

Примечание : знак «х» означает, что данная ячейка не подлежит заполнению.

Расчет выполняется по следующей формуле:

В экономике федерального округа в среднем за 2014 г. было занято 8,5 млн человек.

Средние из относительных значений определяются но более сложной схеме. Особенность относительных значений в том, что они не связаны непосредственно с размерами изучаемых единиц, а без этого учета подсчет точной средней обычно невозможен. В подобных случаях в расчет должны включаться дополнительные значения характеристик, которые отражают абсолютные размеры каждой из изучаемых единиц. В расчете средней помимо изучаемой участвует дополнительная характеристика или вес , поэтому средняя называется взвешенной. При расчете взвешенной средней в качестве веса всегда выступает абсолютная характеристика или первичный признак. Вес позволяет учесть абсолютные размеры каждой единицы и обеспечивает расчет точного значения средней.

В приведенном примере характеристики С, Г, и являются относительными, поэтому прямое суммирование их значений недопустимо. Для определения схемы расчета их средних значений установим порядок расчета их индивидуальных значений.

Расчет процента занятых от численности всего населения выполняется но следующей формуле: В расчетной формуле

неизвестна по условию задачи численность населения. Для определения

ее значения выразим численность населения через численность занятых Р, и известные значения процента занятых от численности всего населения С,:

или

Чтобы определить численность населения в млн человек, необходимо разделить численность занятых в экономике Р, на их долю в численности всего населения С,. Поэтому необходимо значения С, перевести из процентов в доли единицы:

Рассчитаем неизвестное значение численности населения в дополнительной расчетной графе (табл. 6.5, гр. 2).

При известных значениях численности занятых Р, и численности всего

населения расчет процента занятых в буквенной форме имеет вид

Общая средняя С рассчитывается по той же схеме, что и индивидуальные значения характеристики С,-. Разница лишь в том, что при расчете общей средней С используются итоговые значения сравниваемых признаков: численности занятых, млн человек и численности всего населения, млн человек То есть расчет общей средней С но восьми

федеральным округам выполняется по формуле

Расчет средних значений относительных характеристик по экономике РФ в 2014 г.

Таблица 6.5

Федеральный округ	Среднегодовая численность занятых в экономике, млн чел.	Численность % от численности всего населения	Численность всего населения, млн чел.	Приходится оборота розничной торговли за год в среднем на одного жителя, тыс. ov6.	Оборот розничной торговли за год, млрд руб.	Приходится инвестиций в среднем на одного занятого, тыс. руб.	Инвестиции в экономику за год, млрд руб.
			Р г 100%		р г т г т%
Центральный
Северо-Западный
Северо-Кавказский
Приволжский
Уральский
Сибирский
Дальневосточный
Средняя арифметическая
Средняя гармоническая

Составлено и рассчитано по: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

В Экономикс России в 2014 г. доля занятого населения составляла в среднем 47,2% численности всего населения. Расчет выполнен по гармонической средней взвешенной , в которой весом выступил первичный признак P t - численность занятых в экономике.

Аналогичные рассуждения лежат в основе расчета средних значений двух других относительных характеристик: средней стоимости оборота розничной торговли на одного жителя, Т тыс. руб., и средней стоимости инвестиций на одного занятого, R тыс. руб.

Индивидуальные значения стоимости оборота розничной торговли на одного жителя, тыс. руб., рассчитываются как результат сравнения оборота розничной торговли за год, млрд руб., с численностью всего населения, млн человек:

По условию задачи неизвестна стоимость оборота розничной торговли. Поэтому выразим неизвестные значения оборота розничной торговли через известные значения численности всего населения и заданные в условии задачи значения Т г Искомый оборот розничной торговли (товарооборот) есть произведение численности всего населения и величины товарооборота на одного жителя:

Величина оборота розничной торговли измеряется в млрд руб., так как при его расчете численность жителей в млн человек умножаем на товарооборот на одного жителя в тыс. руб.

Определим неизвестные значения оборота розничной торговли за год в гр. 5 табл. 6.5.

Расчет общего среднего значения оборота розничной торговли на одного жителя, тыс. руб., Т , выполним по итоговым значениям суммы оборота

розничной торговли, млрд руб., , и суммарной численности всего

населения, млн чел., . Расчетная формула имеет вид

В 2014 г. на одного жителя в Российской Федерации приходилось в среднем 181,5 тыс. руб. оборота розничной торговли. При расчете использована арифметическая взвешенная средняя, а весом выступают абсолютные значения общей численности населения:

Для расчета стоимости инвестиций на одного занятого необходимо стоимость инвестиций, млрд руб., сравнить с численностью занятых в экономике, млн человек:

По условию неизвестна стоимость инвестиций, поэтому для расчета ее значений следует выразить инвестиции через известные значения численности занятых Pj и через заданные в условии задачи величины инвестиций на одного занятого /?,:

Подсчет неизвестного значения общей суммы инвестиций выполним в гр. 7 табл. 6.5.

Рассчитанные значения общей суммы инвестиций позволяют определять индивидуальные значения инвестиций на одного занятого по формуле

Для РФ в целом среднее значение инвестиций в расчете на одного занятого К рассчитаем как отношение суммы инвестиций за год?/? Р к сумме численности занятых

В 2014 г. инвестиции в расчете на одного занятого составили в среднем 198,8 тыс. руб. При расчете использована средняя арифметическая взвешенная, весом являются абсолютные значения численности занятых.

Завершающим этапом расчета средних является проверка правильности результата. Логическая проверка основана на анализе схемы расчета индивидуальных значений характеристики и на определении смысла признака- веса. Счетный контроль устанавливает, находится ли средняя в интервале от минимального до максимального значения изучаемого признака. Если выполняется условие X mjn то расчет средней выполнен верно. Если данное условие не выполняется, то в расчете допущены ошибки, которые необходимо выявить и исправить.

В нашем примере (см. табл. 6.5) для всех значений рассчитанных средних данное условие выполняется:

простая арифметическая Р = 8,5, 3,3 Р

взвешенная гармоническая С = 47,2 , 36,3 С 53,2;

взвешенная арифметическая Т = 181,5, 134,7 Т

взвешенная арифметическая R = 198,8, 142,9 R 383,3 .

Это означает, что в определении средних значений не допущено расчетных ошибок, а использование взвешенных средних для расчета средних из относительных величин позволило учесть размеры изучаемых единиц - федеральных округов РФ.

Подводя итог, напомним основные правила построения средних величин.

По абсолютным значениям признака допустим расчет простой средней. Как правило, в большинстве случаев применяется арифметическая средняя. Например, расчет Р.

По относительным значениям расчет выполняется но взвешенной средней, в которой весом являются абсолютные значения первичного признака, связанного по смыслу с изучаемым признаком. Например, расчет С, Т и R.

В качестве веса используются значения признака, по отношению к которому рассчитаны относительные значения вторичного признака. Вес может отображаться весьма просто, как, например, при расчете С и R, где в качестве веса использована численность занятых Р г Но он может иметь и сложное отображение, как, например, при расчете Г, у которого весом

была численность всего населения. Каким бы образом ни отображался

признак-вес, он всегда должен представлять собой абсолютную оценку изучаемого объекта.

Выбор формы средней в большинстве случаев ограничен арифметической или гармонической, так как квадратическая и геометрическая применяются лишь в строго определенных случаях.

Арифметическая форма средней применяется в тех случаях, когда в условии поставленной задачи отсутствуют значения признака, который связан с изучаемым признаком прямой зависимостью, т.е. когда в расчетной формуле индивидуальных значений отсутствуют сведения о ее числителе. Примером могут быть расчеты Р, Т и R.

Если в расчетной формуле отсутствуют данные о знаменателе отношения, то используется гармоническая средняя. В этом случае изучаемый признак связан с неизвестным признаком обратной зависимостью, как, например, при расчете С.

Правильно выполненные расчеты позволяют получить точные средние значения, которые отражают характерную величину признака и представляют интерес при решении аналитических и прогнозных задач.

• См.: Россия в цифрах. 2016. Табл. 7.7.

Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.

В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):

Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.

Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.

Формула для расчета коэффициента вариации.

Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»

Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.

Решение

1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).

Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

29 000/50 = 580 руб.

Дисперсию вклада найдем по формуле:

23 400/50 = 468

Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :

2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.

3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.

5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04

6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.

7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.

Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.

Решение

1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).

В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).

Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:

Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:

Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.

2) Дисперсию найдем по следующей формуле:

σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.

4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%

Реферат

Средние величины и показатели вариации

1.Сущность средних в статистике

2.Виды средних величин и способы их расчёта

3.Основные показатели вариации и их значение в статистике

1. Сущность средних величин в статистике

В процессе изучения массовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость в обобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит от общих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают на одинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачей колеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобы характеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислить среднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателе найдут отражение общие для ткачей условия производства.

Таким образом, исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.

Таким образом, средней величиной в статистике является обобщённая, количественна характеристика признака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места и времени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразных факторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняя величина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится к единице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочего данного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой период времени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Она характеризует производительность труда данной совокупности, но относится к одному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальные различия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака, обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения в средней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистической совокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённого признака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняя является важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формой обобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными, лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутая выше производительность труда, совокупность рабочих, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшим методом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин, который широко применяется в экономической науке. Многие категории экономической науки определяются с использованием понятия средней.

Основным условием правильного применения средней величины является однородность статистической совокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такая совокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому же типу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам, может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностей проявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемого явления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности, т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своё научное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представления о действительности, но и искажающими её. Для формирования однородных статистических совокупностей производится соответствующая группировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупности могут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждой из них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой (частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).

2. Виды средних величин

Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением.

2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:

1) Простая средняя арифметическая , которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:

Х - средняя величина статистической совокупности,

x i - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

n i - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

X- средняя арифметическая взвешенная,

х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная.

2.2 Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).

Данная средняя рассчитывается по следующим формулам:

1.) Среднегармоническая простая:

Х - средняя гармоническая простая,

n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднегармоническая взвешенная:

Х - средняя гармоническая взвешенная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.

2.3 Средняя агрегатная

Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:

X - средняя агрегатная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.

2.4 Средняя геометрическая

Общая теория статистики: конспект лекции Коник Нина Владимировна

ЛЕКЦИЯ №5. Средние величины и показатели вариации

1. Средние величины и общие принципы их исчисления

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков не был взят, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника. Тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя выступает как «обезличенная» величина, которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Таким образом, средняя отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того чтобы средняя отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.

Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя таким образом сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней предполагает выполнение следующих требований:

1) качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Исчисление средней для разнокачественных (разнотипных) явлений противоречит самой сущности средней, так как развитие таких явлений подчиняется разным, а не общим закономерностям и причинам. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

2) исключение влияния на исчисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда исчисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;

3) при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить их средним значением, то сумма или произведение в этом случае не изменят определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, и в связи с этим в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является действенным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, изыскания скрытых и неиспользуемых резервов развития экономики.

В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин Майкл

Глава 24 Прострация от экстраполяции Использовать средние показатели цены/прибыли – глупо Чтобы средние исторические показатели были полезны, данные, на основе которых они вычисляются, должны происходить из той же совокупности. В ином случае – если данные происходят из

Из книги История экономических учений: конспект лекций автора Елисеева Елена Леонидовна

ЛЕКЦИЯ № 15. Экономическое развитие Руси в средние века 1. Причины и последствия феодальной раздробленности. Рост феодального землевладения Период политической раздробленности наступил в XII – XV вв. Это закономерный исторический этап в развитии феодализма. Одной из

автора Щербина Лидия Владимировна

23. Средние величины и общие принципы их исчисления Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количе–ства индивидуальных

Из книги Общая теория статистики автора Щербина Лидия Владимировна

26. Показатели вариации Вариационными называют ряды распределени построенные по количественному признаку. Значени количественных признаков у отдельных единиц сов купности непостоянны, более или менее различают между собой. Такое различие в величине признака н сит

Из книги Общая теория статистики автора Щербина Лидия Владимировна

54. Средние показатели динамики С течением времени изменяются не только уров–ни явлений, но и показатели их динамики – абсолют–ные приросты и темпы развития. Поэтому для обоб–щающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и

автора Коник Нина Владимировна

ЛЕКЦИЯ № 4. Статистические величины и показатели 1. Назначение и виды статистических показателей и величин Природа и содержание статистических показателей соответствуют тем экономическим и социальным явлениям и процессам, которые их отражают. Все экономические и

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

1. Средние величины и общие принципы их исчисления Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

3. Показатели вариации Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

3. Средние показатели динамики С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития. Поэтому для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и

Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья

59. Относительные и средние величины Экономический анализ начинается по своей сути с исчисления величины относительной. Относительные величины незаменимы при анализе явлений динамики. Понятно, что эти явления можно выразить и в абсолютных величинах, но доходчивость,

Из книги Теория статистики автора

31. Структурные средние величины. Мода и медиана Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант.Модой называется

Из книги Искусство коммуникации в сетевом маркетинге автора Пиз Алан

Правило № 5: улучшай свои средние показатели Работая в страховом бизнесе, я понимал, что каждый раз, снимая трубку и разговаривая с любым клиентом, зарабатываю 30 долларов. Однако пятеро клиентов на каждые десять звонков казались мне не самым лучшим показателем, поскольку

автора Бурханова Инесса Викторовна

ЛЕКЦИЯ № 7. Средние величины 1. Общая характеристика В целях анализа и получения статистических выводов по результатом сводки и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные величины.Задача средних величин – охарактеризовать все единицы

Из книги Теория статистики: конспект лекций автора Бурханова Инесса Викторовна

3. Структурные средние величины. Мода и медиана Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется

Из книги Теория статистики: конспект лекций автора Бурханова Инесса Викторовна

ЛЕКЦИЯ № 8. Показатели вариации 1. Понятие вариации Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным

Из книги Результативность. Секреты эффективного поведения автора Стюарт-Котце Робин

Средние показатели поведенческого профиля индивидуума Усредненные показатели всегда скрывают различия.Предыдущие графики показывают среднее поведение команд продавцов и средний уровень поведенческих ожиданий и ценностей группы клиентов. На рис. 14.5 стиль продаж

1. Сущность и значение средних величин

2. Виды средних величин

2.1. Степенные средние

2.2. Структурные средние

3. Понятие и показатели вариации

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего (изменяющегося) признака в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Отличительной особенностью средних величин является то, что в них сглаживаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности, в результате чего появляется возможность охарактеризовать общие черты и свойства массовых экономических явлений. Вместе с тем средние показатели иногда приводят к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа, так как они игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Принципы применения средних величин:

1. Для расчета средних величин должны быть использованы массовые данные. В средней величине, рассчитанной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных)колебания в величине признака, вызванные случайными причинами сглаживаются и проявляется типичный размер признака для всей совокупности.

2. Средние величины рассчитываются по однородным совокупностям. Для получения однородной совокупности необходима группировка данных, поэтому расчет средней величины должен сочетаться с методом группировки. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, они выражают наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех групп общая средняя величина, характеризующая явление в целом. Она определяется как среднее значение из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.

На практике безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов, поэтому часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям (например, средняя ЗП по Брянской области)

3. Общие средние величины должны подкрепляться групповыми средними, характеризующими части совокупности. Это обусловлено тем, что за средними показателями скрываются особенности различных частей изучаемой совокупности (например, средняя ЗП в каждом районе Брянской области).

4. Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности. В случае больших отклонений между крайними значениями и средним необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности, следовательно, их необходимо исключить из анализа, так как они оказывают влияние на размер средней величины (например, многие данные по Москве существенно отличаются от общероссийских).

Средние величины делятся на два класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных рассчитываются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным, а взвешаная средняя рассчитывается по сгруппированным данным, представленным в виде интервальных или дискретных рядов распределения.

Виды степенных средних.

Формулы расчета степенных средних величин смори в раздатке.

Средняя арифметическая простая применяется, когда количество вариантов по конкретному признаку встречается по одному или одинаковому числу раз.

Пример 1 . Имеются след данные о ЗП рабочих участка за сентябрь. Вычислить среднюю ЗП рабочих участка за сентябрь.

Решение: что требуется усреднить, то и признак – Х; f=1 (частота) для каждого значения признака, так как ничего не повторяется. Каждое значение признака (ЗП) встречается только один раз, поэтому применим формулу средней арифметической простой: x ср =(11700+11208+…+10870)/10=11366,5 руб.

Средняя арифметическая взвешаная применяется при условии повторения признака неодинаковое число раз.

Пример 2. Имеется распределение рабочих участка по величине ЗП за сентябрь.

Решение: Х – заработная плата; число рабочих – частота признака – f. Так как имеются повторяющиеся с разной частотой значения признака, применим формулу средней арифметической взвешенной: x ср =(10250*2+10750*6+11125*15+11575*7)/(2+6+15+7)=11097 руб.

Расчет средних величин по результатам группировки.

Часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде – когда для каждого значения осредняемого Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (пример 2). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признака Х по каждой группе, а лишь интервал его изменения (пример 3). В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если от интервалов перейти к их серединам. Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле: =(∑ i *f i)/∑f i , i =x min +((x max -x min)/2), где x max – верхняя граница, x min – нижняя граница. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).

Расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвевающего показателя (частоты). Часто величины f i – частоты повторения признака х – в исходных данных либо отсутствуют, либо не совсем очевидны.

Пример 3 : имеются след данные:

Определить среднюю себестоимость изделия.

Решение: себестоимость единицы – Х, частота повторений – если с определением серединного интервала сложностей не возникает i =x min +((x max -x min)/2); 1 =110+ =112,5; 2 =115+ =117,5; 3 =122,5; 4 =127,5, то при выборе взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака «Число предприятий»; умножения себестоимости одного изделия на число предприятий экономического смысла не имеет, тогда как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину–общую сумму затрат. Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует взять объем продукции (четвертый столбец – f).

Тогда средняя себестоимость изделия будет равна: = . = =123,15 руб.

Средняя гармоническая – величина, обратная средней арифметической. Средняя гармоническая простая рассчитывается, если имеются похожие объекты различные по какому либо признаку.

Пример 4: два автомобиля работают на одной марке бензина. Первый автомобиль имеет удельный расход 0,05 л/км, второй 0,08 л/км. Определить средний удельный расход бензина по двум автомобилям.

Решение: = .

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается в случае, если по условию дано произведение признака на частоту (x*f).

Пример 5 : определить среднюю продолжительность рабочего дня на предприятии по данным таблицы.

Решение: признак – средняя фактическая продолжительность, третий столбец – x*f. = .

Средняя геометрическая: применяется в основном простая для определения среднего коэффициента роста.

Годы	Производство продукции, тыс. руб.	Коэффициенты роста, цепные
		-
		1,081
		1,05

Решение: для 2009 КР не будет (не с чем сравнивать); для 2010: 400/370=1,081; для 2011: 420/400=1,05. Условные обозначения: x – третий столбец. =

Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков, а также в технике и, например, при сооружении трубопроводов.

Пример 7: подача жидкого топлива для технологического процесса осуществляется в цехе тремя трубопроводами с диаметром 2, 5 и 6 см. При капитальном ремонте здания цеха эти трубопроводы будут заменены на три новых, одинакового диаметра при сохранении их общей пропускной способности. Определить средний диаметр трубы (диаметр новой трубы).

Решение: определяющий показатель пропускной способности труб – их радиус. = . Д=2 ч=4,66 см.

Резюме: значения степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при разных показателях степени, не одинаковы. Чем выше степень средней, тем больше величина самой средней – правило мажорантности средних.

Мода – числовое значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Может определяться по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда распределения.

Расчет моды по несгруппированным данным

Пример 8: известно, что семь сотрудников отдела кадров имеет след стаж работы, лет: 5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.

Решение: ранжируем исходные данные: 2,2,2,3,4,4,5. Так как чаще всего встречается стаж работы два года, он является модальным.

Расчет моды по дискретному ряду распределения:

Особенности применения моды для дискретного ряда:

1. Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то этот вариационный ряд не имеет моды

2. Если два соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то мода рассчитывается как среднее арифметическое из этих вариантов

3. Если два не соседних варианта имеют одинаковую наибольшую частоту, то вариационный ряд называется бимодальным

4. Если таких вариантов более двух, то ряд полимодальный

Пример 9: имеется ряд распределения рабочих по выработке деталей:

Определить моду.

Решение: вводим условные обозначения: выработка – признак, частота – число рабочих. Поскольку наибольшее число рабочих (5 человек) имеют выработку 20 деталей, мода равна 20.

Расчет моды по интервальному ряду распределения

Для интервальных рядов распределения мода рассчитывается по формуле: , где i – величина модального интервала, fм – частота модального интервала, fм-1 – частота интервала предшествующего модальному, fм+1 – частота интервала след за модальным.

Пример 10: имеются предприятия региона, распределенные на группы по стоимости основных производственных фондов. Определить моду.

Решение: признак – группы ОПФ, число предприятий – частота повторений признака. Модальный интервал 18-20, так как для него характерно наибольшая частота (10 предприятий). млн. руб.. Вывод: предприятие, имеющее величину ОПФ в размере 18,8 млн. руб., представляют собой наибольшую группу в общем объеме рассматриваемых предприятий.

На практике мода иногда используется вместо средней арифметической или вместе с ней, например, при определении наиболее ходовых размеров одежды и обуви, что учитывается при планировании их производства.

Медиана – это величина признака, которое делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Рассчитывается по несгруппированным данным, а также для дискретного и интервального ряда.

Расчет медианы по несгруппированным данным

В начале для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочение). Если ряд состоит из нечетного количества вариантов, место медианы определяется по формуле: , где n – количество единиц совокупности. Для четного ряда медиана рассчитывается как средняя арифметическая простая из двух значений, находящихся в середине ряда.

Пример 11: по условию примера 8 найти медиану.

Решение: проведем ранжирование исходных данных: 2 2 2 3 4 4 5. Ряд нечетный, потому что семь элементов, поэтому место медианы. Медианный стаж 3 года, то есть половина работников имеют стаж менее трех лет, другая половина – более трех лет.

Расчет медианы по дискретному и интервальному ряду распределения:

Алгоритм нахождения медианы для дискретного ряда (медианного интервала для интервального ряда):

1. Определяем общую сумму и полусумму частот

2. Для каждого значения признака (интервала) определяем сумму накопленных частот

3. Медианным будет то значение признака (тот интервал), для которого сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит их полусумму.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле . где Sм-1 – сумма частот накопленная до начала медианного интервала, fм – частота медианного интервала.

Пример 12: по данным примера 9 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 15.полусумма – 7,5

2. Смотри в таблице (третий столбец)

3. Медианой является то значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые будет равно или превысит полусумму (11>7,5)

Вывод: таким образом, медиана равна 20 деталей (первый столбец), то есть половина рабочих имеют выработку более 20 деталей, другая половина менее 20 деталей.

Пример 13: по данным примера 10 найти медиану.

Решение:

1. Определяем сумму частот – 25, полусумма – 12,5

2. Смотри третий столбец примера 10

3. Медиана находится в том интервале, в котором сумма накопленных частот впервые будет равна или превысит полусумму (18>12,5)

Таким образом, медианный интервал 18-20. Применим формулу: млн. руб.

Медиана всегда лежит в медианном интервале!

Вывод: половина предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18,9 млн. руб., остальные – более 18,9 млн. руб.

Медиана используется при распределении семей по величине дохода, при проектировании оптимального положения остановок общественного транспорта, складских помещений и т.д.

Мода и медиана имеют преимущество перед средней арифметической для ряда распределения с открытыми интервалами.

Для исследования колеблемости средней величины в статистике возникает необходимость изучения признаков вариации ее измерения.

Вариация – это несовпадение уровней одного и того же признака у разных объектов, принадлежащих одной совокупности (например, вариация оценок по дисциплине ЭПП в группе 11-ПИ).

Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда, как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы, нельзя говорить. Что они подвержены вариации (например, рост отдельного человека, меняющийся в течение жизни. Изучение изменчивости роста, который. Допустим, к году составляет 0,8 метра, а к 20 годам 1,79 метра, путем расчета среднего роста будет некорректным, так как в начале жизни рост был небольшой в силу естественных причин).

Не следует путать с вариацией изменения размера признака по одной и той же единице совокупности, наблюдаемой в разные моменты или периоды времени. Такое изменение называется изменение во времени или динамикой явления и исследуется с помощью специальных методов.

Задачи исследования вариации в статистике

1. Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов в свою очередь подверженных изменчивости, то есть оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям

2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, то есть меру типичности, рассчитанной для этого явления статистической величины (прежде всего средней)

3. Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе. Одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов является высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов

Вариация измеряется при помощи абсолютных показателей (размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия) и относительных показателей (коэффициент вариации).

Размах вариации определяется как разница между максимальным и минимальным значением признака: R=Xmax-Xmin.

Пример 14 . Определить средний размер страховых выплатах за год по договорам страхования от несчастных случаев. Проанализировать вариацию данных.

Х=(5*11+6*17+7*23+8*30+9*18)/99=7,3 тыс. руб

R=9-5=4 тыс. руб.

Среднее линейное отклонение точнее характеризует колеблемость и представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Рассчитывается как простое (для дискретных рядов), так и взвешенное (для интервальных).

где Xi - значение варианта;

X - среднее значение признака;

Fi – частота повторения призака;

n - число вариантов.

d= (I(5-7,3)*11+(6-7,3)*17+(7-7,3)*23+(8-7,3)*30+(9-7,3)*18I)/99=1,07 тыс. руб.

Дисперсия – среднее квадратическое отклонение в квадрате.

Среднее квадратическое отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Т.о. страховые выплаты отклонялись от их среднего размера в среднем на 1,25 тыс. руб.

Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый показатель колеблемости относительно среднего значения, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

V=1,25/7,3*100%=17,1% (совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной).

Рисуем этот столбец сами, расчет тоже производим сами

П - произведение

Мода всегда лежит в модальном интервале

Facebook

Twitter

Вконтакте

Google+

Отчетность за сотрудников