Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

	Узлы	Требования
Больница	Санитары	Пациенты
Производство
Аэропорт	Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации	Пассажиры

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

1. Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
2. Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:

• принимает заявки;
• формирует очередь, если все каналы заняты;
• направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
• дает заявкам отказ (по различным причинам);
• принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
• следит за временем работы системы.

1. Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
2. Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
3. Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

1. Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
2. Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Очередь имеет имя.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

• вставить в хвост;
• взять из начала;
• удалить из списка по истечении времени ожидания.
• пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности.

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
• длина очереди.

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

• количество каналов обслуживания (N );
• продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
• количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
• вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
• структура обслуживающей системы.

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S i – время обслуживания i -го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• мощностью источника требований;
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди.

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);

Очевидно, что Р обсл + P отк =1.

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D i – задержка в очереди требования i ;

W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.

Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

• абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
• относительная пропускная способность системы –

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:

.

В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания , а системы - систем массового обслуживания (СМО) . Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания . Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные .

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований) . Обслуживание заявок, вообще говоря, также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью) . В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания , определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу "первая пришла - первая обслужена", "последняя пришла - первая обслужена" (такой порядок может применяться, например, при извлечении для обслуживания изделий со склада, ибо последние из них оказываются часто более доступными) или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки). Приоритет может быть как абсолютным , когда более важная заявка"вытесняет" из-под обслуживания обычную заявку (например, в случае аварийной ситуации плановые работы ремонтных бригад прерываются до ликвидации аварии), так и относительным , когда более важная заявка получает лишь "лучшее" место в очереди.

Понятие марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс .

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями , если его возможные состояния можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы - марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия , если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система - счетчик в такси. Состояние системы в момент характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент счетчик показывает . Вероятность того, что в момент счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) , зависит от , но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента .

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система - группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент . Вероятность того, что в момент материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент , а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента .

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состояний . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Пример 1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинаете» ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: - оба узла исправны; - первый узел ремонтируется, второй исправен; - второй узел ремонтируется, первый исправен; - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 1.

Стрелка, направленная, например, из в , означает переход системы в момент отказа первого узла, из в - переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из в и из в . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из в ) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из в ) можно пренебречь.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей - понятием потока событий.

Потоки событий

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным , если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: . Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик. Обращаем внимание на то, что в последнем случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно отличаться друг от друга, но среднее их число будет постоянно и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия , если для любых двух непересекающихся участков времени и - число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным , если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским ), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью , равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е. . Рассмотрим на оси времени (рис. 1) простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.

Можно показать, что для простейшего потока число т событий (точек), попадающих на произвольный участок времени , распределено по закону Пуассона

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: .

В частности, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события , равна

Найдем распределение интервала времени между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с (2) вероятность того, что на участке времени длиной не появится ни одного из последующих событий, равна

а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины , есть

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения (рис. 3), т.е.

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4), называется показательным (или экспоненциальным ). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины

и обратно по величине интенсивности потока .

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка : он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка .

Другими словами, для интервала времени между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" - основного свойства простейшего потока.

Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на

(Заметим, что эта приближенная формула, получаемая заменой функции лишь двумя первыми членами ее разложения в ряд по степеням , тем точнее, чем меньше ).

Рассматриваемая система массового обслуживания (СМО) представляет собой механизм, в котором при помощи специально разработанного для этого комплекса приборов, происходит удовлетворение разнообразных требований, поступающих в данную систему. Ключевым свойством этой системы является количественный параметр числа работающих (обслуживающих) приборов. Оно может колебаться от одного до бесконечности.

В соответствии с тем, имеется ли возможность ожидания обслуживания или нет, различают системы:

СМО, где не нашлось ни одного инструмента (прибора) для удовлетворения требования, поступившего в данный момент времени. В этом случае такое требование теряется;

Система массового обслуживания с ожиданием, которая содержит в себе такой накопитель требований, который способен принять их все, образуя при этом очередь;

Система с ограниченным по емкости накопителем, где эта ограниченность и определяет величину очереди требований, подлежащих удовлетворению. Здесь теряются те требования, которые не могут вместиться в накопитель.

Во всех СМО, выбор требования и его обслуживание производится на основе дисциплины обслуживания. В качестве примера таких моделей обслуживания могут быть:

FCFS/FIFO - система, в которой первое в очереди требование удовлетворяется первым;

LCFS/LIFO - СМО, где первым обслуживается последнее в очереди требование;

Модель random - система удовлетворения требований на основе случайного выбора.

Как правило, такая система имеет очень сложное строение.

Любая система массового обслуживания описывается с помощью следующих понятий и категорий:

Требование — формирование и предъявление запроса на обслуживание;

Входящий поток — все заявки на удовлетворение требований, поступающие в систему;

Время обслуживания — временной интервал, необходимый для полного обслуживания поступившей заявки;

Математическая модель — выраженная в математической форме и с помощью математического аппарата модель данной СМО.

Являясь сложным по структуре феноменом, система массового обслуживания представляет собой предмет теории вероятностей. В рамках этой обширной области выделяется несколько концепций, каждая из которых, это достаточно автономная теория массового обслуживания. В этих теориях, как правило, используется методология

Основоположником одной из самых первых современных СМО является А. Я. Хинчин, который обосновал концепцию потока однородных событий. Затем датский телеграфист, а впоследствии - ученый Агнер Эрланг, разработал свою концепцию (на примере работы телефонистов, ожидающих запроса на удовлетворение соединения), в которой уже выделил СМО с ожиданием и без ожидания.

Построение современных технологий массового обслуживания осуществляется преимущественно Есть также системы, исследование которых ведется но такой подход довольно сложен. К СМО относятся и те системы, которые можно исследовать при помощи методов статистики - статистического моделирования и статистического анализа.

Каждая такая система массового обслуживания априори предполагает, что имеются некоторые стандартные пути, по которым проходят заявки субъектов на удовлетворение. Эти заявки проходят через так называемые каналы обслуживания, которые многообразны по своему назначению и характеристикам. Заявки приходят преимущественно хаотично по времени, их много, поэтому устанавливать логические и причинные связи между ними чрезвычайно сложно. Научный вывод, на этом основании, состоит в том, что СМО, в своем подавляющем большинстве, функционируют на принципах случайности.

Расчет показателœей эффективности открытой одноканальной СМО с отказами. Расчет показателœей эффективности открытой многоканальной СМО с отказами. Расчет показателœей эффективности многоканальной СМО с ограничением на длину очереди. Расчет показателœей эффективности многоканальной СМО ожиданием.

1. Потоки заявок в СМО

2. Законы обслуживания

3. Критерии качества работы СМО

4.

5. Параметры моделœей очередей. При анализе систем массового

6. I. Модель А – модель одноканальной системы массового об­служивания с Пуассоновским входным потоком заявок и Экспоненциальным временем обслуживания.

7. II. Модель В – многоканальная система обслуживания.

8. III. Модель С – модель с постоянным временем обслуживания.

9. IV. Модель D – модель с ограниченной популяцией.

Потоки заявок в СМО

Потоки заявок бывают входные и выходные. Входной поток заявок - ϶ᴛᴏ временная последовательность событий на входе СМО, для которой появление события (заявки) подчиняется вероятностным (или детерминированным) законам. В случае если требования на обслуживание приходят в соответствие, с каким – либо графиком (к примеру, автомобили приезжают на АЗС каждые 3 минуты) то такой поток подчиняется детерминированным (определœенным) законам. Но, как правило, поступление заявок подчиняется случайным законам. Для описания случайных законов в теории массового обслуживания вводится в рассмотрение модель потоков событий. Потоком событий принято называть последовательность событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени . В качестве событий могут фигурировать поступление заявок на вход СМО (на вход блока очереди), появление заявок на входе прибора обслуживания (на выходе блока очереди) и появление обслуженных заявок на выходе СМО.
Потоки событий обладают различными свойствами, которые позволяют различать различные типы потоков. Прежде всœего, потоки бывают однородными инœеоднородными. Однородные потоки – такие потоки, в которых поток требований обладает одинаковыми свойствами: имеют приоритет первым пришел – первым обслужен, обрабатываемые требования имеют одинаковые физические свойства. Неоднородные потоки – такие потоки, в которых требования обладают неодинаковыми свойствами: требования удовлетворяются по принципу приоритетности (пример, карта прерываний в ЭВМ), обрабатываемые требования имеют различные физические свойства. Схематично неоднородный поток событий должна быть изображен следующим образом
Соответственно можно использовать несколько моделœей СМО для обслуживания неоднородных потоков: одноканальная СМО с дисциплиной очереди, учитывающей приоритеты неоднородных заявок, и многоканальная СМО с индивидуальным каналом для каждого типа заявок. Регулярным потоком принято называть поток, в котором события следуют одно за другим через одинаковые промежутки времени. В случае если обозначить через – моменты появления событий, причем , а через интервалы между событиями, то для регулярного потока Рекуррентный поток соответственно определяется как поток, для которого всœе функции распределœения интервалов между заявками совпадают, то есть Физически рекуррентный поток представляет собой такую последовательность событий, для которой всœе интервалы между событиями как бы "ведут себя" одинаково, ᴛ.ᴇ. подчиняются одному и тому же закону распределœения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно исследовать только один какой-нибудь интервал и получить статистические характеристики, которые будут справедливы для всœех остальных интервалов. Для характеристики потоков очень часто вводят в рассмотрение вероятность распределœения числа событий в заданном интервале времени , которая определяется следующим образом: где – число событий, появляющихся на интервале . Поток без последействия характеризуется тем свойством, что для двух непересекающихся интервалов времени и , где , , , вероятность появления числа событий на втором интервале не зависит от числа появления событий на первом интервале.
Отсутствие последействия означает отсутствие вероятностной зависимости последующего течения процесса от предыдущего. В случае если имеется одноканальная СМО с временем обслуживания , то при потоке заявок без последействия на входе системы выходной поток будет с последействием, так как заявки на выходе СМО не появляются чаще чем интервал . В регулярном потоке, в котором события следуют друг за другом через определœенные промежутки времени, имеется самое жесткое последействие. Потоком с ограниченным последействием принято называть такой поток, для которого интервалы между событиями независимы. Поток принято называть стационарным, в случае если вероятность появления какого-то числа событий на интервале времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени. Важно заметить, что для стационарного потока событий среднее число событий в единицу времени постоянно. Ординарным потоком принято называть такой поток, для которого вероятность попадания на данный малый отрезок времени dt двух и более требований пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного требования. Поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности называют пуассоновским (простейшим). Этот поток занимает центральное место среди всœего многообразия потоков, так же как случайные величины или процессы с нормальным законом распределœения в прикладной теории вероятности. Пуассоновский поток описывается следующей формулой: , где – вероятность появления событий за время , – интенсивность потока. Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются за единицу времени. Для пуассоновского потока интервалы времени между заявками распределœены по экспоненциальному закону Потоком с ограниченным последействием, для которого интервалы времени между заявками распределœены по нормальному закону, принято называть нормальным потоком.

Законы обслуживания

Режим обслуживания (время обслуживания), так же как и режим поступления заявок, должна быть либо постоянным, либо случайным. Во многих случаях время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределœению. Вероятность того, что обслуживание закончится до момента t, равна: где – плотность потока заявок Откуда плотность распределœения времени обслуживания Дальнейшим обобщением экспоненциального закона обслуживания может служить закон распределœения Эрланга, когда каждый интервал обслуживания подчиняется закону: где – интенсивность исходного пуассоновского потока, k – порядок потока Эрланга.

Критерии качества работы СМО

Эффективность работы СМО оценивается различными показателями исходя из цепи и типа СМО. Наибольшее распространение получили следующие:

Абсолютная пропускная способность СМО с отказами (производительность системы) – среднее число требований, которые может обработать система.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа требований, обработанных системой, к среднему числу требований, поступивших на вход СМО.

Средняя длительность простоя системы.

Для СМО с очередью добавляются такие характеристики: Длина очереди, которая зависит от ряда факторов: от того, когда и сколько требований поступило в систему, сколько времени затрачено на обслуживание требований, которые поступили. Длина очереди является случайной величиной. От длины очереди зависит эффективность работы системы массового обслуживания.

Для СМО с ограниченным ожиданием в очереди важны всœе перечисленные характеристики, а для систем с неограниченным ожиданием абсолютная и относительная пропускная способности СМО теряют смысл.

На рис. 1 приведены системы обслуживания различной кон­фигурации.

Параметры моделœей очередей. При анализе систем массового обслуживания используются технические и экономические харак­теристики.

Наиболее часто используются следующие Технические характери­стики:

1) среднее время, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ клиент проводит в системе обслужи­вания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6) вероятность определœенного числа клиентов в системе.

Среди Экономических характеристик наибольший интерес пред­ставляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

Модели систем массового обслуживания . Учитывая зависимость отсо­четания приведенных выше характеристик могут рассматривать­ся различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

А) пуассоновское распределœение вероятностей поступления заявок;

Б) стандартное поведение клиентов;

В) правило обслуживания FIFO (первым пришел - первым об­служен);

Г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А - модель одноканальной системы массового об­служивания М/М/1 с Пуассоновским входным потоком заявок и Экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу ʼʼпервым пришел - пер­вым обслуженʼʼ (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, од­нако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, не­изменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределœением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным рас­пределœением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть λ – число заявок в единицу времени;

μ – число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

n – число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнени­ями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/1:

Среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

Среднее число клиентов в очереди;

Среднее время ожидания клиента в очереди;

Характеристика загруженности системы (доля време­ни, в течение которого система занята обслуживанием);

Вероятность отсутствия заявок в системе;

Вероятность того, что в системе находится бо­лее чем K заявок.

II. Модель В - многоканальная система обслуживания M/M/S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два ка­нала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслужи­вания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращают­ся в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется Пуассоновскому закону, а время обслуживания -Экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и всœе каналы обслу­живания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно ис­пользовать соответствующее программное обеспечение.

Время нахождения заявки в очереди;

Время нахождения заявки в системе.

III. Модель С - модель с постоянным временем обслуживания M/D/1.

Некоторые системы имеют Постоянное, а не экспоненциально распределœенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, к примеру, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С С постоянным темпом обслуживания значения величин Lq и Wq Вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, име­ющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

Средняя длина очереди;

- среднее время ожидания в очереди;

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D - модель с ограниченной популяцией.

В случае если число потенциальных клиентов системы обслуживания Ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая за­дача может возникнуть, к примеру, в случае если речь идет об обслужива­нии оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотрен­ными ранее в том, что существует Взаимозависимостьмежду длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е - модель с ограниченной очередью. Модель от­личается от предыдущих тем, что число мест в очереди Ограни­чено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда всœе ка­налы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т. е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать Модель с отказами, в случае если количество мест в очере­ди сократить до нуля.

Основные показатели эффективности работы СМО - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Основные показатели эффективности работы СМО" 2017, 2018.

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы массо-вого обслуживания (СМО), т.е. такие системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов.

В качествепримеров СМО в финансово-экономи-ческой сфере можно привести системы, представляющие собой: банки различных типов, страховые организа-ции, налоговые инспекции, ау-диторские службы, различные системы связи (в том числе те-лефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, предприятия массового питания, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

Такие сис-темы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обра-ботки информации, транспортные системы, автоматизирован-ные производственные участки, поточные линии также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

В торговле выполняется множество операций в процессе движе-ния товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются: погрузка и выгрузка товаров, пере-возка, упаковка, фасовка, хранение, выкладка, продажа и т. д. Для торговой деятельности характерны массовое поступление товаров, денег, массовое обслу-живание покупателей и т. п., а также выполнение соответствующих операций, которые носят случайный характер. Все это создает не-равномерность в работе торговых организаций и предприятий, порождает недогрузки, простои и перегрузки. Много времени отни-мают очереди, например, у покупателей в магазинах, водителей ав-томашин на товарных базах, ожидающих разгрузки или погрузки.

В связи с этим возникают задачи анализа работы, например тор-гового отдела, торгового предприятия или секции, для оценки их деятельности, выявления недостатков, резервов и принятия в конеч-ном итоге мер, направленных на увеличение ее эффективности. Кроме того, возникают задачи, связанные с созданием и внедре-нием более экономичных способов выполнения операций в пределах секции, отдела, торгового предприятия, овощной базы, управления торговли и т. п. Следовательно, в организа-ции торговли методы теории массового обслуживания позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность про-давцов, частоту завоза товаров и другие параметры.

Другим ха-рактерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организа-ций, и задача теории массового обслуживания сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом по-ступающих на базу требований на обслуживание и числом об-служивающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы мини-мальными. Теория массового обслуживания может найти при-менение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку - как требование.

Основные характеристики СМО

СМО включаетследующие элементы : источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований (обслуженных заявок).

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы, в основном, не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных причин. После обслуживания заявки канал освобожден и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к не-равномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же дру-гие интервалы времени при свободных каналах на входе CMО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к про-стаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь, либо по какой-то причине невоз-можности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Схема СМО изображена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Схема системы массового обслуживания

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами обслуживания . Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы), линии связи, автомашины и т.д.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производи-тельности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

СМО явля-ется предметом изучения теории массового обслуживания .

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомен-даций по рациональному построению СМО, рациональной ор-ганизации их работы и регулированию потока заявок для обес-печения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффек-тивности функционирования СМО от ее организации (пара-метров).

В качестве характеристик эффективности функционирова-ния СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО - от-ношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу посту-пивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслужи-ванием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок :

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожи-дания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедлен-но будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО — потребитель" , где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, при-носимый СМО в единицу времени, и т.п.).

Случайный характер потока заявок и длительности их об-служивания порождает в СМО случайный процесс . Поскольку моменты времени T i и интервалы времени поступле-ния заявок T , продолжительность операций обслуживания Т обс , про-стоя в очереди T оч , длина очереди l оч — случайные величины, то характеристики состояния систем массового обслуживания носят вероятностный характер. Поэтому для решения задач теории массового обслужива-ния необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. постро-ить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значи-тельно упрощается, если протекающий в ней случайный про-цесс является марковским . Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воз-действием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были (простейшими) пуассоновскими .

Простейший поток обладает тремя основными свойствами : ординарности, стационарности и отсутствия последействия.

Ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления 2-х и более требований. На-пример, достаточно малой является вероятность того, что в магазине самообслуживания одно-временно выйдут из строя несколько кассовых аппаратов.

Стационарным называется поток, для которого математиче-ское ожидание числа требований, поступающих в систему в едини-цу времени (обозначим λ ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества тре-бований в течение заданного промежутка времени ?T зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента T , не определяет того, сколько требований поступит в систему за время (T + ?T) . Например, если в кассовом аппарате в данный момент произо-шел обрыв кассовой ленты и он устранен кассиром, то это не влияет на воз-можность нового обрыва на данной кассе в следующий момент и тем более на вероятность возникновения обрыва на других кассовых аппаратах.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона , т. е. вероятность по-ступления за время T ровно k требований задается формулой

, (5.1)

где λ — интенсивность потока заявок , т. е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени,

, (5.2)

где τ — среднее значение интервала времени между двумя со-седними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заяв-ками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания то-же можно считать распределенным экспоненциально:

, (5.4)

где ν — интенсивность движения очереди , т. е. среднее число зая-вок, приходящих на обслуживание в единицу времени,

где Т оч - среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в кана-ле, где длительность обслуживания Т обс является случайной величи-ной и подчиняется во многих случаях показательному закону рас-пределения с плотностью

, (5.6)

где μ — интенсивность потока обслуживания , т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

. (5.7)

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λ и μ , является интенсивность нагрузки, которая показывает степень согласования указанных потоков зая-вок:

Перечисленные показатели k, τ, λ, l оч, Т оч, ν, Т обс, μ, ρ, Р k являются наиболее общими для СМО.

Отчетность