Григорий является владельцем 2 заводов. Владельцы двух заводов

Источник задания: Решение 2454. Досрочное ЕГЭ 2015 Математика. Ответ

Задание 19. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение.

Введем обозначения: - время работы 1-го завода; - время работы второго завода. На первом заводе в неделю рабочие работают часов в неделю и за каждый час получают 500 рублей. На втором заводе рабочие работают часов в неделю и также за каждый час получают по 500 рублей. Получаем уравнение

или в виде

Из условия задачи известно, что на первом заводе каждый час производится товара, а на втором - . Необходимо, чтобы в сумме они давали максимальный объем произведенного товара, т.е.

Учитывая, что

получаем функцию

у которой нужно найти наибольшее значение.

ОДЗ функции соответствует неравенству

Но так как величина времени работы не может быть меньше 0, то окончательно имеем

Для нахождения экстремумов функции, нужно найти ее производную и приравнять результат нулю, получим.

Задание 19 (Досрочный ЕГЭ 2015)

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе - 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x 2 часов, а значит производят x единиц товара.

За эту работу рабочие на первом заводе получат всего 250x 2 рублей.

На втором заводе рабочие трудятся y 2 часов и соответственно производят y единиц товара. Всего рабочие второго завода получат 200y 2 рублей.

Так как Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда, то

250x 2 +200y 2 =900000.

При этом за неделю будет произведено x+y единиц товара.

Значит, нужно найти максимальное значение функции f = x+y.

$$200y^2 = 900000 - 250x^2,$$

$$y=\sqrt{4500-1,25x^2}.$$

Тогда $$f= x+ \sqrt{4500-1,25x^2}.$$

Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:

$$f"=1+\frac{-1,25\cdot2x}{2\sqrt{4500-1,25x^2}} = 1-\frac{1,25x}{\sqrt{4500-1,25x^2}}.$$

$$\sqrt{4500-1,25x^2} - 1,25x=0,$$

$$4500-1,25x^2=1,5625x^2,$$

$$2,8125x^2=4500,$$

$$x=40,~ y = \sqrt{4500-1,25\cdot 1600} = 50.$$

$$f_{max}=40+50=90.$$

Задание 19 (Типовые варианты - 2015)

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x 2 часов, а значит производят 2x единиц товара. А на втором заводе рабочие трудятся y 2 часов и соответственно производят 5y единиц товара.

Так как Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то

При этом сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда будет равна

$$f=500(x^2+y^2).$$

Чтобы найти наименьшую сумму, которую придется еженедельно тратить на оплату труда, нужно исследовать функцию f на минимум.

Из первого уравнения выразим y:

$$y=(580-2x)/5.$$

Подставим это выражение в функцию f:

$$f=500(x^2+(580-2x)/5)=500x^2+20(580-2x)^2.$$

$$f=580x^2-46400x+6728000.$$

Исследуем эту функцию на минимум. Для этого найдем ее производную:

$$f"=1160x-46400,$$

$$1160x-46400=0,$$

x=40 - точка минимума.

Находим соответствующий y:

$$y=(580-80)/5=100.$$

Значит наименьшая сумма, которую придется еженедельно тратить на зарплату рабочим равна

$$500(40^2+100^2)=5800000.$$

Ответ: 5800000.

Задание 19 (Статград, 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение

Рассмотрим сначала, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 2 года.

Пусть каждый год погашается X рублей. Тогда за 2 года всего банку будет уплачено 2X рублей.

С другой стороны, после наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.

После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - X и на эту сумму будет снова начислено 10%.

За 2 год долг составит уже (76461 - X)*1,1 и эта сумма и будет выплачена во второй раз.

Так как долг был выплачен 2 равными платежами, то получаем уравнение:

X+(76461 - X)*1,1 = 2X,

Всего за 2 года банку будет уплачено 2*40051 = 80102 рублей.

Теперь найдем, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 3 года.

Пусть каждый год погашается Y рублей. Тогда за 3 года всего банку будет уплачено 3Y рублей.

После наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.

После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - Y и на эту сумму будет снова начислено 10%.

За 2 год долг составит уже (76461 - Y)*1,1.

После второй выплаты банку Y рублей, останется сумма (76461 - Y)*1,1 - Y, на которую будет начислено 10%.

За 3 год долг составит уже ((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1. Эта сумму и будет последним 3 платежом.

Так как долг был выплачен 3 равными платежами, то получаем уравнение:

2Y+((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1 = 3Y,

3,31Y = 92517,81,

Всего за 3 года банку будет уплачено 3*27951 = 83853 рублей.

83853 - 80102 = 3751 рубль - искомая разница.

То есть, если погашать кредит 3 равными платежами, то придется заплатиь на 3751 рубль больше, чем если погашать этот кредит 2 равными платежами.

Задачи этого типа появились в ЕГЭ относительно недавно, но застали врасплох как учеников, так и многих учителей. А всё потому что решаются они с помощью производной — инструмента, совершенно непривычного для второй части экзамена.

Задача 17. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

В приведённом условии есть важный момент, после осознания которого у вас вообще не будет проблем с решением подобных задач. Дело в том, что величина $t$, указанная для первого завода и для второго — это не одно и то же число ! Другими словами, суммарное время рабочих на первом и другом заводе будет разным.

Для решения введём новые переменные: ${{a}^{2}}$ — суммарное время рабочих на первом заводе, ${{b}^{2}}$ — суммарное время на втором. С учётом производительности получим:

$\begin{align}& {{a}^{2}}\to 3a \\& {{b}^{2}}\to 4b \\\end{align}$

Таким образом, затратив суммарно ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ часов времени, мы получим $3a+4b$ единиц продукции в неделю. Всё остальное — элементарная математика, подробно описанная в видеоуроке:

В прошлый раз мы рассматривали довольно «противные» задачи, связанные с вычислением времени в задачах про кредиты. Но это было очень просто по сравнению с тем, что мы будем рассматривать сегодня, а именно экономическую задачу 17 про производительность труда, в которой требуется применять производную. Эти задачи появились в ЕГЭ по математике относительно недавно, и те, кто уже с ними столкнулся, оценили, что, во-первых, условие таких задач довольно длинное, а, во-вторых, в каждой из таких задач есть неприятная зацепка, на которой «прогорели» очень многие ученики.

Думаю, вы уже догадались, что речь идет о той самой задачи 17, когда у Григория есть два завода, и еще указана производительность труда, и требуется оценить, какое наибольшее количество продукции можно произвести на этих двух заводах, если распределить нагрузку оптимально. Но на самом деле, в этих задачах 17 нет ничего сложного, даже чуть проще, чем многие задачи на кредиты. Поэтому сейчас мы рассмотрим одно из таких заданий, внимательно пробежимся по каждому пункту и посмотрим, как именно должно выглядеть идеальное ее решение.

Задача № 1

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Шаг первый: вводим переменные

Прежде всего, перед тем как переходить к непосредственному решению задачи 17 из ЕГЭ по математике, попытаться что-то посчитать, составить какие-то формулы, поймите одну простую вещь: величина ${{t}^{2}}$, данная и в первом, и во втором предложении, никак не связаны друг с другом. Коэффициент $t$ нам дан исключительно для того, чтобы сравнить производительность на разных заводах при одинаковом расходе времени. Думаю, это сравнение абсолютно очевидно: на первом производительность составляет $3t$, а на втором — $4t$, т.е. чуть побольше. На практике это означает следующее: давайте распишем, что происходит на каждом из них.

На первом заводе у нас расходуется ${{a}^{2}}$ времени (после замены) и производится $3a$ единиц продукции. На втором — ${{b}^{2}}$ времени и $4b$ продукции.

А теперь давайте сложим расходы времени и суммарный выпуск продукта.

Получим, что суммарный расход времени составляет ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$, а суммарный расход продукции — $3a+4b$. При этом еще раз обращаю ваше внимание: никто не говорил, что ${{a}^{2}}$ и ${{b}^{2}}$ должны быть равны. Ключевое слово здесь «если» и в первом, и во втором случае. Именно поэтому мы так смело меняем коэффициенты $t$ на $a$ в первом случае и на $b$ во втором случае.

Давайте посмотрим, что у нас получилось. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ — это суммарный расход времени. Поскольку Григорий платит рабочему 500 рублей за каждый час работы, то всего он сможет заплатить такую сумму:

Вот и первое уравнение.

На самом деле, основная сложность этой задачи 17 про производительность труда — вовсе не составление уравнения. Она состоит в том, что нужно понять, что на первом и на втором заводе время разное. Именно поэтому для первого мы везде заменили $t$ на $a$, а для второго — $t$ на $b$. В итоге как вы сейчас увидите, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными, которое легко упрощается — одна неизвестная легко выражается через другую. И поэтому вся функция, выражающая количество произведенного товара, на самом деле зависит от одной-единственной переменной, в нашем случае это будет переменная $a$.

Далее, я думаю, все понятно: у нас есть функция, отрезок, на котором эта функция рассматривается, а все, что нам требуется найти — это наибольшее значение этой функции на данном отрезке. Вообщем, классическая задача для применения производных, в нашем случае новая задача 17 из ЕГЭ по математике.

Суммарный выпуск продукции ($S$) равен:

Вот теперь задача и проявилась: имея ограничение на $a$ и $b$, нам нужно добиться того, чтобы $S$ принимала свое максимальное значение. Для начала давайте немножко поработаем с уравнением: $$

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10000\]

Отсюда выразим $b$:

\[{{b}^{2}}=10000-{{a}^{2}}\]

Конечно, тут следовало бы перед выражением поставить $\pm $, однако у нас речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным, поэтому мы берем положительное значение. Итого суммарный объем выпускаемого товара может быть выписан как функция от одной-единственной переменной $a$:

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции на всей области определения, а совершенно очевидно, что величину $a$, т.е. количество товара, выпущенного на первом заводе, увеличивать до бесконечности нельзя, просто потому что корень имеет конкретную область определения — величина, стоящая под корнем, не должна быть отрицательной. Давайте запишем это:

\[{{a}^{2}}\le 10000\]

\[\left| a \right|\le 100\]

Итого мы получили классическую задачу из первой части ЕГЭ по математике: у нас есть функция, есть интервал, соответственно, нужно найти максимальное значение этой функции на заданном интервале. Давайте считать производную:

\[{S}"=3+4\cdot \frac{1\cdot \left(10000-{{a}^{2}} \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=3+\frac{4\cdot \left(-2a \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=\]

\[=3-\frac{4a}{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}\]

Решаем полученное уравнение:

Теперь, зная, чему равно $a$, легко найти $b$:

Однако для полного и обоснованного решения необходимо понять знак производной. Давайте начертим числовую прямую и отметим на ней $a=60$ и посмотрим, что происходит при $a>60$:

Например, если взять $a=99$ мы получим следующее:

Если посмотрим на исходное выражение, то очевидно, что $\sqrt{199}<99$, но посчитав его, получаем в ответе отрицательное число.

Отсюда следует, что$a=60$является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает исходное значение. Осталось подставить в $S$ полученное значение $a$ и $b$:

Окончательный ответ: 500 единиц товара.

Нюансы решения

Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина ${{t}^{2}}$, когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.

Величина ${{t}^{2}}$, относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.

Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково — это вообще глупость, потому что в этом случае полученное уравнение оказалось бы намного проще и решалось бы как элементарное линейное: нам бы не потребовалось никаких производных, никаких доказательств, что мы получили точку максимума — мы просто бы разделили зарплату между рабочими первого и второго производств пополам.

Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное, поэтому пусть на первом потрачено ${{a}^{2}}$ времени, а на втором — ${{b}^{2}}$. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.

Задача № 2

А в качестве десерта предлагаю решить еще одну такую же задачу 17 из ЕГЭ по математике, однако выкладки в этот раз будут минимальными, по возможности такими, какие и нужно делать на экзамене по математике.

Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $t$ единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $2t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.

Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

Шаг первый: вводим переменные

Если рабочие на первом заводе трудятся ${{x}^{2}}$, то это дает нам $x$ единиц товара. На втором ${{y}^{2}}$ времени дает нам $y$ товаров. Вновь складываем расходы времени — ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ и отдельно складываем объем продукции — $x+2y$. Величина ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ — это суммарный расход времени за неделю.

Шаг второй: составляем и решаем уравнение

Поскольку за каждый час работы платится 500 рублей, то суммарный расход денег за неделю составит:

\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=60500\]

Таким способом, ограничения на ${{x}^{2}}$ и ${{y}^{2}}$ найдены.

Теперь необходимо записать сумму:

\[{{y}^{2}}=60500-{{x}^{2}}\]

Подставляем найденное значение $y$ в нашу формулу и получаем:

Находим производную этой конструкции:

\[{S}"=1+2\frac{1\left(-2x \right)}{2\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=1-\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

Вновь приравниваем полученное выражение к нулю:

\[\frac{1}{1}=\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

\[\sqrt{60500-{{x}^{2}}}=2x\]

\[{{x}^{2}}=\frac{60500}{5}=121\cdot 100\]

Шаг третий: находим максимальное значение функции

Мы получили критическую точку функции $S$. Теперь необходимо доказать, что это точка максимума. Для этого начертим вновь прямую, отметим на ней полученную точку 110 и возьмем любое число, больше чем 110. Однако для упрощения дальнейших выкладок предлагаю взять не рандомное число как в прошлый раз, а посчитать его с помощью следующего метода. Для начала давайте найдем $y$. Запишем такое выражение:

Очевидно, что 220 больше 110, и если мы поставим его в нашу функцию, то получим число на отмеченном интервале:

Давайте подставим:

${S}"\left(220 \right)=1-\frac{2\cdot 220}{\sqrt{60500-{{220}^{2}}}}=1-\frac{440}{\sqrt{60500-48400}}=$

$=1-\frac{440}{\sqrt{12100}}=1-\frac{440}{110}=1-4=-3$

Следовательно, справа от числа 110 мы получаем отрицательную производную, а слева, естественно, будет положительная.

Итого 110 — точка максимума. Это является строгим обоснованием.

Теперь подставляем в выражение $x$ и $y$, которые мы нашли:

Ответ: 550 единиц товара.

Ключевые моменты решения задач17 на производительность труда из ЕГЭ по математике

Все, что нам нужно знать — это:

Правило вычисления производных сложных функций.
Правила решения несложных уравнений.

Кроме того, хотел бы отметить, что не надо бояться работать с большими числами. Такие выражения, когда у нас появляются пятизначные и более числа, абсолютно типичны для последних задач 17 из ЕГЭ по математике, потому что они реально трудные. Но на самом деле, в этих задачах из ЕГЭ нет ничего трудного. Вам только нужно знать следующее:

${{a}^{2}}\to a$ и ${{b}^{2}}\to 2b$ — как связано затраченное время с объемом выпущенного товара;
$S=a+2b\to \max $ — суммарный объем товара находится по несложной формуле.

Кроме того, необходимо понимать, как связано время, затраченное на первом производстве и на втором, т.е. каковы максимальны ограничения на это время.

Надеюсь, это видео поможет вам построить собственный завод, где вы будете платить рабочим по 30 млн. рублей в неделю, если такой суммы вам окажется недостаточно, заходите на наш сайт, подписывайтесь на паблик ВКонтакте и на канал в YouTube. До новых встреч!

36. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 680

37. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 410 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ: 2050000 р

38. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 100

39. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2+x+7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x2+x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Ответ: 9000 р

40. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Ответ: 21 год

41. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Ответ:

42. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме t 2 Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t 2 Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

Ответ: 1682

43. Зависимость объема Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ: 12,5%

44. Зависимость количества Q (в шт. 0≤Q≤15000 ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+10000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ -3000Q-10000000- tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ: 6000

45. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется t 2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Ответ: 120 кг

46. У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором - 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 30 млн рублей

47. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x 2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q . При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Ответ: 9

48. В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60000 рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и Б стал одинаковым. Найдите m.

Ответ: 4

49. По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 12 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в конце первого и второго года, а также целое число m млн рублей в конце третьего и четвёртого года. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее такое значение m, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Ответ: 4 и 2 млн руб.

50. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивать эту сумму на 8 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Ответ: 12

1. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю
на этих двух заводах?

Решение. Пусть на первом заводе работают часов, а не втором часов. Тогда за неделю будет произведено товара. Заплачено будет 500(х+у) рублей. По условию

500(х+у) =6800000. Итак, нужно найти наибольшее значение функции при условии 500(х+у) =6800000. Выражая из последнего соотношения у через х, получим функцию одной переменной, наибольшее значение которой нужно найти: . Дифференцируя эту функцию и приравнивая результат к 0, получим уравнение

. Решая это уравнение, найдем критическую точку . При переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с (+) на (-). Эта точка принадлежит области определения функции, поэтому в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

. Это ответ.

Другое решение. Пусть на первом заводе работают часов в неделю, а на втором часов. Тогда . (Это окружность). За неделю будет произведено товара. Нужно найти максимум функции на окружности. Максимум достигается в той точке окружности, радиус-вектор которой имеет максимальную величину проекции на направление "целевого вектора" . Иными словами – в точке А пересечения прямой с окружностью . Эта точка легко находится и имеет координаты . Подставляя в выражение , получаем .

Решение . В каждой области рабочие могут отработать 100 . 10=1000 человеко-часов. Пусть в первой области человеко-часов затрачено на добычу алюминия и человеко-часов на добычу никеля. Тогда будет добыто алюминия и никеля. Во второй области затрачено человеко-часов на производство алюминия и человеко-часов на производство никеля. При этом добыто кг алюминия и кг никеля. Выполняется условие .

Всего алюминия в двух областях будет добыто , а никеля . По условию задачи алюминия должно быть в 2 раза больше никеля, то есть . Всего сплава будет . Подставив вместо его выражение через и , получим функцию двух переменных . Нужно найти максимальное значение этой функции при условии . Для нахождения этого максимума используем прием, который был применен ранее при решении задачи 1. Рассмотрим "целевой вектор" . Максимум будет достигаться в точке пересечения прямой с окружностью . Координаты точки пересечения (10,30). При имеем .

Ответ 240

На первый взгляд задача аналогична предыдущей. Однако решается она совсем по-другому.

Решение. Пусть на первом комбинате рабочих изготавливают детали А и рабочих изготавливают детали В. На втором комбинате детали А и В изготавливают, соответственно, и рабочих. Тогда деталей А будет изготовлено , а деталей В . По условию задачи деталей А в 2 раза больше, поэтому

Заметим сразу, что . Поэтому . Всего изделий будет изготовлено столько же, сколько будет изготовлено деталей В, то есть . Подставляя , получим выражение для числа деталей через : . Значение последнего выражения будет наибольшим, если принимает наименьшее из своих возможных значений. Полагая , получим . Это ответ.

4. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x 2 +x+7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px−(0,5x 2 +x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Решение. Прибыль за три года должна быть не менее 75 млн рублей. Значит должно выполняться условие 3[px −(0,5x 2 +x +7)] 75. Или -0,5x 2 +(р-1)x -7 25. Годовая прибыль будет наибольшей, если объем выпуска соответствует вершине параболы, т.е. х=р-1. Тогда прибыль -0,5(р-1) 2 +(р-1) 2 -7=0,5(р-1) 2 -7. Из условия 0,5(р-1) 2 -7 25 находим р 9.

Решение. Пусть на первом поле фермер посадит картофеля и свеклы, а на втором поле картофеля и свеклы. Тогда он соберет ц. картофеля и свеклы. Его выручка от продажи составит

Выручка будет наибольшей, если . Она составит рублей

6 . 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца (то есть каждый месяц долг становится меньше на 1/19 часть накопленного долга).

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30%больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Задач такого типа с разными вариациями заданий много.

Общая идея решения подобных задач

Пусть кредит в сумме взят на месяцев. Первого числа месяца, следующего за датой взятия кредита, долг становится . Пусть - первая выплата. После первой выплаты долг обязан сократиться на , то есть должен стать равным . Из уравнения находим . Проводя такие же рассуждения с новым долгом, находим вторую выплату . Аналогично . И так далее. Последняя выплата должна полностью погашать последний остаток долга, поэтому . Складывая все выплаты, находим

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

Найдите r если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составитне более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.

Решение. Легко проверить, что каждая следующая выплата меньше предыдущей. Поэтому наибольшая выплата – первая, а наименьшая – последняя. Здесь . Поэтому, по условию задачи, имеем систему неравенств