ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

1.2 Моделирование систем массового обслуживания

1.3 Графы состояний СМО

1.4 Случайные процессы

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1 Уравнения Колмогорова

2.2 Процессы «рождения – гибели»

2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов

3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

Глава I . Постановка задач массового обслуживание

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.

Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.

операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.

Для СМО с отказами :

Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:

Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности , так и характеристики ожидания.

В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.

Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.

Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует . Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.

Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.

Рассмотрим примеры некоторых СМО.

2.5.1. Многоканальная СМО с отказами

Пример 2.5 . Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.

Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.

Описание состояний:

Все инспекторы свободны;

Занят один инспектор;

Заняты два инспектора;

Заняты три инспектора.

Граф состояний системы приведен на рис. 2.11 .

Рис. 2.11.

На графе: - интенсивность потока грузовых автомобилей; - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.

Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.

Решение

Искомая часть вероятности - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем , используя зависимости (2.2).

Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать относительной пропускной способностью :

Пример 2.6 . Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - . Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.

Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.

Решение

Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.

Поток донесений с интенсивностью можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания . Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.

Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.

Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:

Отношение называют приведенной интенсивностью потока заявок . Физический смысл ее следующий: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

В примере .

В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть . Тогда:

Так как вероятность отказа в обработке донесений составляет более 34 % (), то необходимо увеличить личный состав группы. Увеличим состав группы в два раза, то есть СМО будет иметь теперь шесть каналов, и рассчитаем :

Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.

2.5.2. Многоканальная СМО с ожиданием

Пример 2.7 . На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).

Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.

Решение

Абсолютная пропускная способность , т. е. все, что подходит к переправе, тут же практически переправляется.

Среднее число работающих переправочных средств:

Коэффициенты использования и простоя переправы:

Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.

Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: .

Курсовая работа

«Имитационное моделирование системы массового обслуживания»

по курсу «Исследование операций»

Введение

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО используются:

– Абсолютная пропускная способность системы (А

Q

– вероятность отказа обслуживания заявки ();

k );

– среднее число заявок в очереди ();

СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования.

1. Основные характеристики CМОи показатели их эффективности

1.1 Понятие марковского случайного процесса

Пусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно.

Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При анализе процессов работы СМО удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками. Пример графа состояний приведен на рис. 1.

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: .

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и число событий, попадающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

1.2 Уравнения Колмогорова

Все переходы в системе из состояния в состояние происходят под некоторым потоком событий. Пусть система находится в некотором состоянии , из которого возможен переход в состояние , тогда можно считать, что на систему воздействует простейший поток с интенсивностью , переводящий ее из состояния в . Как только появляется первое событие потока, происходит ее переход . Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки, соответствующей переходу, указывается интенсивность . Такой размеченный граф состояний позволяет построить математическую модель процесса, т.е. найти вероятности всех состояний как функции времени. Для них составляются дифференциальные уравнения, называемые уравнениями Колмогорова.

Правило составлений уравнений Колмогорова: В левой части каждого из уравнений стоит производная по времени от вероятности данного состояния. В правой части стоит сумма произведений всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния.

Например, для графа состояний, приведенного на рис. 1, уравнения Колмогорова имеют вид:

Т.к. в правой части системы каждое слагаемое входит 1 раз со знаком и 1 раз со знаком , то, складывая все уравнений, получим, что

,

,

Следовательно, одно из уравнений системы можно отбросить и заменить уравнением (1.2.1).

Чтобы получить конкретное решение надо знать начальные условия, т.е. значения вероятностей в начальный момент времени.

1.3 Финальные вероятности и граф состояний СМО

При достаточно большом времени протекания процессов в системе (при ) могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов м. перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е.

Смысл финальных вероятностей состоит в том, что они равны среднему относительному времени нахождения системы в данном состоянии.

Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны нулю, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания нулю их правых частей.

Графы состояний, используемые в моделях систем массового обслуживания, называются схемой гибели и размножения. Такое название обусловлено тем, что эта схема используется в биологических задачах, связанных с изучением численности популяции. Его особенность состоит в том, что все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим (рис 2).

Рис. 2. Граф состояний в моделях СМО

Предположим, что все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие. По графу, представленному на рис. 2, составим уравнения для финальных вероятностей системы. Они имеют вид:

Получается система из ( n +1) уравнения, которая решается методом исключения. Этот метод заключается в том, что последовательно все вероятности системы выражаются через вероятность .

,

.

Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, находим , затем находим остальные вероятности состояний СМО.

1.4 Показатели эффективности СМО

Цель моделирования СМО состоит в том, чтобы рассчитать показатели эффективности системы через ее характеристики. В качестве показателей эффективности СМО используются:

– абсолютная пропускная способность системы (А ), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– относительная пропускная способность (Q ), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа (), т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

– среднее число занятых каналов (k );

– среднее число заявок в СМО ();

– среднее время пребывания заявки в системе ();

– среднее число заявок в очереди () – длина очереди;

– среднее число заявок в системе ();

– среднее время пребывания заявки в очереди ();

– среднее время пребывания заявки в системе ()

– степень загрузки канала (), т.е. вероятность того, что канал занят;

– среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– среднее время ожидания обслуживания;

– вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания, среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

(1.4.1)

Формулы (1.4.1) и (1.4.2) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее, т.е. оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .

Формулы для вычисления показателей эффективности приведены в таб. 1.

Таблица 1.

Показатели	Одноканальная СМО с ограниченной очередью	Многоканальная СМО с ограниченной очередью
Финальные вероятности
Вероятность
Абсолютная пропускная способность
Относительная пропускная способность
Среднее число заявок в
Среднее число заявок под обслуживанием
Среднее число заявок в системе

1.5 Основные понятия имитационного моделирования

Основная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов.

Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статический эксперимент.

Из теории функций случайных величин известно, что для моделирования случайной величины с любой непрерывной и монотонно возрастающей функцией распределения достаточно уметь моделировать случайную величину , равномерно распределенную на отрезке . Получив реализацию случайной величины , можно найти соответствующую ей реализацию случайной величины , так как они связаны равенством

Предположим, что в некоторой системе массового обслуживания время обслуживания одной заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром , где – интенсивность потока обслуживания. Тогда функция распределения времени обслуживания имеет вид

Пусть - реализация случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , а – соответствующая ей реализация случайного времени обслуживания одной заявки. Тогда, согласно (1.5.1)

1.6 Построение имитационных моделей

Первый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.

Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы.

Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию очередной заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на 1. Аналогично длина очереди уменьшается на 1, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.

Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д.

Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы.

При компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия.

Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием.

Поскольку основной целью является получение данных наблюдений с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно:

1) увеличить длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования изучаемой системы. В этом случае не только увеличивается вероятность достижения системой стационарного режима функционирования, но и возрастает число используемых псевдослучайных чисел, что также положительно влияет на качество получаемых результатов.

2) при фиксированной длительности времени Т имитационного моделирования провести N вычислительных экспериментов, называемых еще прогонами модели, с различными наборами псевдослучайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Все прогоны начинаются при одном и том же начальном состоянии моделируемой системы, но с использованием различных наборов псевдослучайных чисел. Преимуществом этого метода является независимость получаемых наблюдений , показателей эффективности системы. Если число N модели достаточно велико, то границы симметричного доверительного интервала для параметра определяются следующим образом:

, , т.е. , где

Исправленная дисперсия, ,

N – число прогонов программы, – надежность, .

2. Аналитическое моделирование СМО

2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова

Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с ограниченной очередью равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.

Данная система имеет 7 состояний, обозначим их:

S 0 – система свободная, нет заявок;

S 1 – 1 заявка на обслуживании, очередь пуста;

S 2 – 2 заявки на обслуживании, очередь пуста;

S 3 – 2 заявки на обслуживании, 1 заявка в очереди;

S 4 – 2 заявки на обслуживании, 2 заявки в очереди;

S 5 – 2 заявки на обслуживании, 3 заявки в очереди;

S 6 – 2 заявки на обслуживании, 4 заявки в очереди;

Вероятности прихода системы в состояния S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 соответственно равны Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 .

Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим.

Рис. 3. Граф состояний двухканальной СМО

Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова:

Чтобы решить данную систему зададим начальные условия:

Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).

Метод Эйлера

где- в нашем случае, это правые части уравнений Колмогорова, n=6.

Выберем шаг по времени . Предположим , где Т – это время, за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов . Последовательно N раз вычисляя по формуле (1) получим зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис. 4.

Значения вероятностей СМО при равны:

Рис. 4. Зависимости вероятностей состояний системы от времени

P 0

P 5

P 4

P 3

P 2

P 1

2.2 Финальные вероятности системы

При достаточно большом времени протекания процессов в системе () могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е.

Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО.

Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).

Получим финальные вероятности системы:

Сравнение вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при , с финальными вероятностями показывает, что ошибки равны:

Т.е. достаточно малы. Это подтверждает правильность полученных результатов.

2.3 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям

Найдем показатели эффективности системы массового обслуживания.

Сначала вычислим приведенную интенсивность потока заявок:

1) Вероятность отказав обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди), это соответствует состоянию системы S 6 . Т.к. вероятность прихода системы в состояние S 6 равна Р 6 , то

4) Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди, равна сумме произведений числа заявок в очереди на вероятность соответствующего состояния.

5) Среднее время пребывания заявки в очередиопределяется формулой Литтла:

3. Имитационное моделирование СМО

3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)

Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с максимальной длиной очереди равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.

Для имитации СМО воспользуемся одним из методов статистического моделирования – имитационным моделированием. Будем использовать пошаговый подход. Суть этого подхода в том, что состояния системы рассматриваются в последующие моменты времени, шаг между которыми является достаточно малым, чтобы за его время произошло не более одного события.

Выберем шаг по времени (). Он должен быть много меньше среднего времени поступления заявки () и среднего времени ее обслуживания (), т.е.

Где (3.1.1)

Исходя из условия (3.1.1) определим шаг по времени .

Время поступления заявки в СМО и время ее обслуживания являются случайными величинами. Поэтому, при имитационном моделировании СМО их вычисление производится с помощью случайных чисел.

Рассмотрим поступление заявки в СМО. Вероятность того, что на интервале в СМО поступит заявка, равна: . Сгенерируем случайное число , и, если , то будем считать, что заявка на данном шаге в систему поступила, если , то не поступила.

В программе это осуществляет isRequested () . Интервал времени примем постоянным и равным 0,0001, тогда отношение будет равно 10000. Если заявка поступила, то она принимает значение «истина», в противном случае значение «ложь».

bool isRequested()

double r = R. NextDouble();

if (r < (timeStep * lambda))

Рассмотрим теперь обслуживание заявки в СМО. Время обслуживания заявки в системе определяется выражением , где – случайное число. В программе время обслуживания определяется с помощью функции GetServiceTime () .

double GetServiceTime()

double r = R. NextDouble();

return (-1/mu*Math. Log (1-r, Math.E));

Алгоритм метода имитационного моделирования можно сформулировать следующим образом. Время работы СМО (Т ) разбивается на шаги по времени dt , на каждом из них выполняется ряд действий. Вначале определяются состояния системы (занятость каналов, длина очереди), затем, с помощью функции isRequested () , определяется, поступила ли на данном шаге заявка или нет.

Если поступила, и, при этом имеются свободные каналы, то с помощью функции GetServiceTime () генерируем время обработки заявки и ставим ее на обслуживание. Если все каналы заняты, а длина очереди меньше 4, то помещаем заявку в очередь, если же длина очереди равна 4, то заявке будет отказано в обслуживании.

В случае, когда на данном шаге заявка не поступала, а канал обслуживания освободился, проверяем, есть ли очередь. Если есть, то из очереди заявку ставим на обслуживание в свободный канал. После проделанных операций время обслуживания для занятых каналов уменьшаем на величину шага dt .

По истечении времени Т , т.е., после моделирования работы СМО, вычисляются показатели эффективности работы системы и результаты выводятся на экран.

3.2 Блок-схема программы

Блок-схема программы, реализующей описанный алгоритм, приведена на рис. 5.

Рис. 5. Блок-схема программы

Распишем некоторые блоки более подробно.

Блок 1. Задание начальных значений параметров.

Random R; // Генератор случайных чисел

public uint maxQueueLength; // Максимальная длина очереди

public uint channelCount; // Число каналов в системе

public double lambda; // Интенсивность потока поступления заявок

public double mu; // Интенсивность потока обслуживания заявок

public double timeStep; // Шагповремени

public double timeOfFinishProcessingReq; // Время окончания обслуживания заявки во всех каналах

public double timeInQueue; // Время пребывания СМО в состояниях с очередью

public double processingTime; // Времяработысистемы

public double totalProcessingTime; // Суммарноевремяобслуживаниязаявок

public uint requestEntryCount; // Числопоступившихзаявок

public uint declinedRequestCount; // Числоотказанныхзаявок

public uint acceptedRequestCount; // Числообслуженныхзаявок

uint queueLength; // Длина очереди //

Тип, описывающий состояния СМО

enum SysCondition {S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6};

SysCondition currentSystemCondition; // Текущее состояние системы

Задание состояний системы. Выделим у данной 2-х канальной системы 7 различных состояний: S 0 , S 1 . S 6 . СМО находится в состоянии S 0 , когда система свободна; S 1 – хотя бы один канал свободен; в состоянии S 2 , когда все каналы заняты, и есть место в очереди; в состоянии S 6 – все каналы заняты, и очередь достигла максимальной длины (queueLength = 4).

Определяем текущее состояние системы с помощью функции GetCondition()

SysCondition GetCondition()

SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0;

int busyChannelCount = 0;

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

{p_currentCondit ++;}

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Изменение времени пребывания СМО в состояниях с длиной очереди 1, 2,3,4. Это реализуется следующим программным кодом:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (queueLength > 1)

{timeInQueue += timeStep;}

Присутствует такая операция, как помещение заявки на обслуживание в свободный канал. Просматриваются, начиная с первого, все каналы, когда выполняется условие timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (канал свободен), в него подается заявка, т.е. генерируется время окончания обслуживания заявки.

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] <= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Обслуживаниезаявоквканалахмоделируетсякодом:

for (int i = 0; i < channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Алгоритм метода имитационного моделирования реализован на языке программирования C#.

3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования

Наиболее важными являются такие показатели, как:

1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди). Для нахождения вероятности отказа разделим время пребывания СМО в состоянии с очередью 4 на общее время работы системы.

2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой.

3) Абсолютная пропускная способность– это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

4) Длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди. Длина очереди равна сумме произведений числа человек в очереди на вероятность соответствующего состояния. Вероятности состояний найдем как отношение времени нахождения СМО в этом состоянии к общему времени работы системы.

5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла

6) Среднее число занятых каналовопределяется следующим образом:

7) Процент заявок, которым было отказано в обслуживании, находится по формуле

8) Процент обслуженных заявок находится по формуле

3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования

Т.к. показатели эффективности получаются в результате моделирования СМО в течение конечного времени, они содержат случайную компоненту. Поэтому, для получения более надежных результатов нужно провести их статистическую обработку. С этой целью оценим доверительный интервал для них по результатам 20 прогонов программы.

Величина попадает в доверительный интервал, если выполняется неравенство

, где

математическое ожидание (среднее значение), находится по формуле

Исправленная дисперсия,

,

N =20 – число прогонов,

– надежность. При и N =20 .

Результат работы программы представлен на рис. 6.

Рис. 6. Вид программы

Для удобства сравнения результатов, полученных различными методами моделирования, представим их в виде таблицы.

Таблица 2.

Показатели эффективности СМО	Результаты аналитического моделирования	Результаты имитационного моделирования (послед. шаг)	Результаты имитационного моделирования
			Нижняя граница доверительного интервала	Верхняя граница доверительного интервала
Вероятность отказа		0,174698253017626	0,158495148639101	0,246483801571923
Относительная пропускная способность		0,825301746982374	0,753516198428077	0,841504851360899
Абсолютная пропускная способность		3,96144838551539	3,61687775245477	4,03922328653232
Средняя длина очереди		1,68655313447018	1,62655862750852	2,10148609204869
Среднее время пребывания заявки в очереди	0,4242558575	0,351365236347954	0,338866380730942	0,437809602510145
Среднее число занятых каналов		1,9807241927577	1,80843887622738	2,01961164326616

Из табл. 2 видно, что результаты, полученные при аналитическом моделировании СМО, попадают в доверительный интервал, полученный по результатам имитационного моделирования. Т.е., результаты, полученные разными методами, согласуются.

Заключение

В данной работе рассмотрены основные методы моделирования СМО и расчета показателей их эффективности.

Проведено моделирование двухканальной СМО с максимальной длиной очереди равной 4 с помощью уравнений Колмогорова, а также, найдены финальные вероятности состояний системы. Рассчитаны показатели ее эффективности.

Проведено имитационное моделирование работы такой СМО. На языке программирования C# составлена программа, имитирующая ее работу. Проведена серия расчетов, по результатам которых найдены значения показателей эффективности системы и выполнена их статистическая обработка.

Полученные при имитационном моделировании результаты согласуются с результатами аналитического моделирования.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.

2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 435 с.

3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 447 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с.

5. Ивницкий В.Л. Теория сетей массового обслуживания. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с.

6. Исследование операций в экономике/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004. – 407 с.

7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ИД «Вильямс», 2005. – 902 с.

8. Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. – Минск: Дизайн ПРО, 1997. – 288 с.

Четвериков С. Ю. , Попов М.А.

Россия, Институт экономики и предпринимательства (г. Москва)

Теория систем массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, исследующую числовые характеристики явлений, протекающих в экономике. К ним можно отнести функционирование телефонного узла, центров бытового обслуживания, кассовых аппаратов в супермаркете и т.д.

Математическими моделями таких объектов служат системы массового обслуживания (СМО), описываемые следующим образом: в систему поступают требования (заявки на обслуживание), каждое из которых обслуживается некоторое время и затем покидает систему. Однако в силу ограничений на ресурсы (число обслуживающих кассовых аппаратов, скорости обслуживания и т.п.) система способна обслуживать одновременно только определенное число требований. Математические модели в этом случае призваны решать задачи вычисления числовых показателей качества функционирования СМО.

При построении моделей СМО принципиально выделяют две системы: детерминированную и стохастическую, которые собственно определяют тип математической модели.

Рассмотрим простейшую детерминированную систему, состоящую из п одинаковых приборов, в которую требования поступают через детерминированные (постоянные) промежутки времени, а время, обслуживания каждого требования также постоянно. Очевидно, что если требования поступают через промежутки

а время обслуживания каждого требования павно

то необходимое и достаточное условие нормального функционирования системы заключается в выполнении неравенства

В противном случае с течением времени требования будут накапливаться в системе.

Параметры X и ц имеют простой физический смысл:

X - среднее число поступающих за единицу времени требований или интенсивность входящего потока;

ц - среднее число требований, которое способен обслужить за единицу времени каждый прибор, или интенсивность обслуживания требований одним прибором;

/7ц - среднее число требований, которое способны обслужить п приборов, или интенсивность обслуживания требовании всей системой.

Таким образом, условие (1) означает, что интенсивность входящего потока не должна превышать интенсивности обслуживания требований всей системой. Рассмотрим величину

Так называемую загрузку системы.

Тогда неравенство (1) можно переписать в виде:

В этом случае загрузку можно интерпретировать как среднюю долю времени, в течение которого приборы заняты обслуживанием требований, а величину 1 - р - как среднюю долю времени, в течение которого приборы простаивают.

Наконец, еще одно замечание к функционированию системы с детерминированными характеристиками:

если в начальный момент времени система свободна и выполнено условие (2), то каждое поступающее в систему требование сразу же становится на обслуживающий прибор;

в случае р

наконец, если р > 1, то за единицу времени очередь в среднем увеличивается на Мр-1).

В реальных системах массового обслуживания существенную роль играют элементы случайности:

во-первых, времена между поступлениями требований не являются детерминированными;

во-вторых, не являются детерминированными времена обслуживания требований.

Кроме того, элементы случайности могут появляться из-за других причин, например, отказов элементов систем массового обслуживания.

Оказывается, элементы случайности существенно влияют на качество функционировании систем обслуживания. Так, если загрузка р = 1, то, в отличие от детерминированных систем, в стохастических системах очередь с течением времени в среднем стремится к бесконечности. Очереди в стохастических системах образуются даже в случае р

Рассмотрим формализованное описание СМО. Основными параметрами СМО являются:

входящий поток требований;

структура системы;

временные характеристики обслуживания требований;

дисциплина обслуживания.

Рассмотрим эти параметры.

Входящий поток характеризуется случайными моментами поступления требований в простую систему, а для сложных систем - и типами поступающих в эти моменты требований.

При задании случайного потока обычно предполагается, что входящий поток является рекуррентным и, наиболее часто пуассоновским.

Сделаем несколько замечаний о корректности описания поступающих в реальные системы потоков требований пуассоновским и рекуррентным. Очевидно, что уже свойство отсутствия последействия в реальных системах выполняется крайне редко, поскольку у обладающего таким свойством потока за любой сколь угодно малый промежуток времени может поступить сколь угодно большое число требований с отличной от нуля (хотя и чрезвычайно малой) вероятностью. Однако практика показывает, что описание входящего потока пуассоновским в большинстве случаев с достаточной степенью точности правомерно. Дополнительным математическим подтверждением этого факта служит теорема Хинчина, которая говорит, что объединение большого числа "редких" потоков при весьма слабых ограничениях дает пуассоновский поток.

Второе свойство пуассоновского потока - стационарность - также не выдергивает критики. В самом деле, интенсивность входящего потока, как правило, зависит от времени суток, года и т.п. Если сохранить свойства отсутствия последействия и ординарности, то получается нестационарный пуассоновский поток. В ряде случаев удается разработать математические модели расчета экономических систем с таким входящим потоком, однако получаемые при этом формулы очень громоздки и трудны для практического применения. По этой причине в расчетах ограничиваются некоторым временным интервалом, на котором интенсивность входящего потока мало меняется.

Если отказаться только от свойства ординарности, то получается неординарный пуассоновский поток, у которого моменты поступления требований образуют обычный пуассоновский поток, но в каждый такой момент приходит случайное число требований. Большинство результатов, справедливых для систем с пуассоновским потоком, практически без изменений переносится на системы с неординарным пуассоновским потоком.

Для задания структуры СМО необходимо перечислить все элементы, имеющиеся в системе, и указать, требования каких типов или даже на каких фазах обслуживания может обслуживать каждый элемент. При этом отдельный элемент может обслуживать требования нескольких типов и, наоборот, требования одного типа могут обслуживаться на нескольких элемента. В дальнейшем будем предполагать, что в СМО имеется один или несколько одинаковых элементов и каждое требование может обслуживаться на любом из них. Системы такого типа называются однолинейными (один элемент) или многолинейными (несколько элементов).

В системах обслуживания могут быть элементы для ожидания требованиями начала обслуживания. Если таких элементов бесконечно много, то говорят о системах с ожиданием, если их число конечно - о системах с конечным числом мест ожидания, если же они вообще отсутствуют (требование, заставшее в момент поступления в систему все элементы занятыми, теряется; пример - обычные телефонные системы) - о системах с потерями.

Временные характеристики обслуживания требований также представляют собой сложный объект для формализованного описания. Обычно предполагается, что времена обслуживания всех требований независимые между собой и являются одинаково распределенными случайными величинами. Если в СМО поступают требования нескольких типов, распределение времени обслуживания может зависеть от типа требования.

Дисциплина обслуживания заключается в правиле постановки требований в очередь и порядке выбора их из очереди на обслуживание, распределении элементов между требованиями, а в многофазных системах - и между фазами обслуживания. Будем предполагать, что в системе реализована простейшая дисциплина - обслуживание требование в порядке поступления (FIFO). В многолинейных системах образуется общая очередь ко всем элементам, и находящийся первый в очереди требование поступает на любой освободившийся элемент.

Тем не менее, в СМО используются и более сложные дисциплины обслуживания. Простейшими примерами таких дисциплин являются инверсионный (обратный) порядок обслуживания (LIFO), при котором обслуживается требование, поступившее в систему последним.

Дисциплина равномерного разделения элементов системы, при которой каждое из п находящихся в системе требований обслуживается с одинаковой скоростью 1/п. Иногда в момент поступления требования в систему становится известно время его обслуживания (работа, которую предстоит совершить). Тогда можно использовать дисциплины, зависящие от остаточных времен обслуживания требований. В частности, дисциплина обслуживания первым требования с минимальным остаточным временем обслуживания позволяет получить минимальную длину очереди в любой момент времени. Применение сложных дисциплин обслуживания очень часто позволяет без каких- либо дополнительных затрат существенно улучшить качество функционирования СМО.

Особый класс СМО представляют собой приоритетные системы, в которые поступают потоки требований нескольких приоритетов, и требования более высоких приоритетов имеют преимущество перед требованиями более низких приоритетов, т.е. обслуживаются раньше. Приоритеты могут быть относительными, когда требования более высокого приоритета не прерывают обслуживания находящихся на элементах требований более низких приоритетов, и абсолютные, когда такое прерывание происходит.

В случае абсолютных приоритетов также возможны различные модификации: недообслуженные требования с прерванным обслуживанием покидают системы (системы с выбыванием), продолжают обслуживаться после того, как все требования более высоких приоритетов покинут систему (системы с дообслуживанием), обслуживаются заново.

К дисциплинам обслуживания следует отнести и такие факторы, как подготовительный этап перед началом обслуживания очередного требования или после того, как в свободную систему поступило требование, этап переключения элемента на обслуживание требований другого типа, обслуживание требований ненадежными элементами системы и т.п. Наконец, может быть ограничено время пребывания требования в системе или время ожидания начала обслуживания.

Опишем теперь те характеристики СМО, которые представляют интерес для пользователя. Иногда на практике их называют вероятностно-временными характеристиками. Наиболее важными из них являются длина очереди (т.е. число ожидающих начала обслуживания требований) и время ожидания начала обслуживания требования. Поскольку и длина очереди, и время ожидания начала обслуживания - случайные величины, то, естественно, они описываются своими распределениями. Кроме того, распределения длины очереди и времени ожидания зависят от текущего момента времени.

В системах с потерями или конечным числом мест ожидания к важнейшим характеристикам относится также вероятность потери требования. Иногда наряду с длиной очереди рассматривают общее число требований в системе, а наряду с временем ожидания начала обслуживания - время пребывания требования в системе.

В системах с потерями или конечным числом мест ожидания, а также в системах с ожиданием и загрузкой р

Нахождению стационарных характеристик посвящено большинство работ по теории массового обслуживания, хотя и нестационарные характеристики исследованы достаточно подробно.

Литература

• 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.
• 2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.T.I. М.: Мир,
• 1984.
• 3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
• 4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1965.

Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

	Узлы	Требования
Больница	Санитары	Пациенты
Производство
Аэропорт	Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации	Пассажиры

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

1. Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
2. Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:

• принимает заявки;
• формирует очередь, если все каналы заняты;
• направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
• дает заявкам отказ (по различным причинам);
• принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
• следит за временем работы системы.

1. Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
2. Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
3. Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

1. Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
2. Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Очередь имеет имя.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

• вставить в хвост;
• взять из начала;
• удалить из списка по истечении времени ожидания.
• пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности.

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
• длина очереди.

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

• количество каналов обслуживания (N );
• продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
• количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
• вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
• структура обслуживающей системы.

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S i – время обслуживания i -го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• мощностью источника требований;
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди.

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);

Очевидно, что Р обсл + P отк =1.

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D i – задержка в очереди требования i ;

W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.

Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

• абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
• относительная пропускная способность системы –

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:

.

В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Закрытие ИП