Решение задач на "сплавы", "смеси", "растворы"

Задачи, связанные с понятием “концентрация” и “процентное содержание”, являются традиционно трудными для обучающихся. В них речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, объем которых х и у , то получившаяся смесь будет иметь объем х + у . Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.

В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение объема чистого вещества к объему всего раствора называется объемной концентрацией . (Содержание чистого вещества в единице объема). Концентрация, выраженная в процентах, называется процентным содержанием . При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить уравнение или систему. В работе приведены решения нескольких задач, а также предложены задачи для самостоятельного решения. Для удобства к задачам прилагаются ответы.

1. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1: 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2: 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17: 27?

Решение: Пусть взято х частей первого сплава и у частей второго. В х частях первого сплава содержится частей первого металла и частей второго. В y частях второго сплава содержится частей первого металла и частей второго.

Составим таблицу:

	В частях	1 металл	2 металл
1 сплав	х частей	частей	частей
2 сплав	у частей	частей	частей
3 сплав	44 части	17 частей	27 частей

Из таблицы видно, что можно получить три уравнения. 1) х + у = 44 , 2)

3) . Решив систему из двух уравнений, получим ответ.

Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

2. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.

Решение:

		1 случай		2 случай
	масса	Zn (%)	Zn (кг)	Zn (%)	Zn (кг)
1 сплав	2кг	х %	0,02 х кг	у %	0,02 у кг
2 сплав	3кг	у %	0,03 у кг	х %	0,03 х кг
3 сплав	5кг	45%	2,25 кг	60%	3 кг
4 сплав	10кг	50%	5 кг	55%	5,5 кг

По таблице составим систему уравнений
прибавим к первому уравнению второе, получим

Ответ: 40% и 65%.

Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

		1случай		2 случай		3 случай
	масса	Cu (%)	Cu (кг)	масса	Cu (кг)	масса	Cu (кг)
1 сплав	1 кг	n%	0,01n кг	х кг	0,01n кг	у кг	0,01n у кг
2 сплав	1 кг	m%	0,01m кг	у кг	0,01m у кг	х кг	0,01m х кг
3 сплав	2 кг	65%	1,3 кг	7 кг	60% или 4,2 кг

, найти надо значение выражения 0,01n у + 0,01m х . Представим его в виде 0,01(n у + m х ). Решим систему уравнений.

. Умножим первое уравнение на третье и вычтем второе.

Ответ: 4,9 кг.

4. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1: 2, а во втором 2: 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Решение: Пусть в первом слитке содержится х кг золота и 2х кг меди. Тогда масса всего слитка 3х кг. Пусть во втором слитке содержится 2у кг золота и 3у кг меди. Тогда масса всего слитка 5у кг. Составим таблицу:

		1 случай			2 случай
	Масса всего сплава	Масса части сплава	Золото (кг)	Медь (кг)	Масса части сплава	Золото (кг)	Медь (кг)
1 сплав	3х кг	х кг			2х кг
2 сплав	5у кг				2,5у кг	у кг	1,5 у кг
3 сплав			2х				(2у + 1) кг

По данным таблицы составим систему уравнений

Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

5. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?

Решение: Заметим, что во втором слитке нет меди, а если его сплавить с первым, в котором есть медь, то процент меди в новом сплаве будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке, значит масса первого слитка равна массе второго. Пусть их масса будет х .

Если сплавить второй слиток, в котором есть никель, с третьим слитком, в котором никеля нет, то процент никеля в новом сплаве будет в 3 раза меньше, чем он был во втором слитке. Значит второй слиток по массе в 2 раза больше второго. Значит его масса будет 2х . Занесем данные в таблицу:

Ответ: 7%

6. В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу:

Если к раствору кислоты добавить чистую воду, то изменится концентрация кислоты, а количество кислоты не меняется. На этом основании составим систему уравнений:

Ответ: 68%.

7. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных слитках.

Решение: Процентное содержание золота в новых получившихся слитках2 кг, 3 кг и 5 кг будет равно процентному содержанию золота в слитке, который получится если просто сплавить исходные слитки массой 2 кг, 3 кг и 5 кг в десятикилограммовый кусок. Тогда золото входит в каждый новый слиток в отношении 2: 3: 5 . Значит нужно Каждый исходный слиток разделить на части пропорциональные этим числам. Всего частей 10. Получим 2: 10 * 2 = 0,4; 2: 10 * 3 = 0,6; 2: 10 * 5 = 1 и т.д. Представим этот результат в виде таблицы.

Задачи для самостоятельного решения

8. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2: 1, 3: 1, 5: 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг.

9. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг, 5,5 кг, 2,75 кг.

10. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4: 1, 1: 1, 1: 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2: 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 6,4 кг, 3,2 кг, 14,4 кг.

11. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1: 1, 1: 5, 5: 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2: 1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.

12. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг, 7 кг.

13. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?

14. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.

15. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота?
Ответ: 15 кг.

16. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.

17. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы?
Ответ: 3: 2.

18. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.
Ответ: 5%.

19. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.

20. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.

21. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
Ответ: на 4%.

22. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
Ответ: 60 кг.

23. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет веса меди. Сколько килограммов серебра в данном сплаве?
Ответ: 0,25 кг.

24. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40% . Сколько нужно взять каждого из этих сортов металлолома, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%.
Ответ: 40 т и 100 т.

25. Кусок сплава меди с оловом весом 2 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?
Ответ: 1,5 кг.

26. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
Ответ: 441 г.

27. Сплав из меди и цинка весом в 24 кг при погружении в воду потерял в своем весе Определить количество меди и цинка в этом сплаве, если известно, что медь теряет в воде своего веса, а цинк своего веса.
Ответ: 17 кг и 7 кг.

28. Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5: 11?
Ответ: 1 кг, 7 кг.

29. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2: 3, а другая в отношении 3: 7. По сколько ведер надо взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3: 5?
Ответ: 9 ведер из первой и 3 ведра из второй.

30. Два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй 600 г безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определить вес первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором.
Ответ: 4 кг и 6 кг.

31. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, содержание меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.
Ответ: 20% и 60%.

32. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве?
Ответ: 108 г цинка и 184 г свинца.

33. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом?
Ответ: 20 литров.

34. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1: 2, а во втором 2: 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

35. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде?
Ответ: 72%.

36. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках?
Ответ: 40% и 100%.

37. Из колбы в пробирку отлили раствора соли. Раствор в пробирке выпаривали, пока процентное содержание соли в нем не увеличилось в два раза. Получившийся раствор вернули в колбу, что увеличило процентное содержание соли в находившемся в колбе растворе на 2 %. Какое процентное содержание соли было в растворе первоначально?
Ответ: 10%.

Литература:

Шарыгин И.Ф. “Математика для поступающих в ВУЗы”. Москва, Дрофа, 2000 г.
Сканави М.И. “2500 задач по математике для поступающих вВУЗы”. Москва, Оникс, 2003 г.
Черкасов О., Якушев А. “Математика”. Москва, Айрис, 2000 г.
Белоносов В.С., Фокин М.В. “Задачи вступительных экзаменов по математике.” Новосибирск, издательство НГУ, 1995 г.

Прототип Задания B14 (№99576 )

Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава . Ответ дайте в килограммах.

Решение

Пусть x (кг) - масса первого сплава, тогда (x+3) (кг) - масса второго сплава.

Так как первый сплав содержит 10% меди, то в нем 0,1x (кг) меди. Во втором сплаве - 0,4(x+3) (кг) меди.

Масса полученного сплава равна x+x+3 = 2x+3 (кг).

Так как из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди, то составим и решим уравнение:

0,1x+0,4(x+3) = 0,3(2x+3),

0,1x+0,4x+1,2 = 0,6x+0,9,

0,6x-0,5x = 1,2-0,9,

Тогда масса третьего сплава равна 2*3+3 = 6+3 = 9.

Прототип Задания B14 (№99575 )

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение

x+y = 200. (уравнение 1)

В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 30% никеля, т.е. 0,3y (кг) никеля. Третий сплав содержит 25% никеля, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) никеля. Получаем уравнение:

x+3y = 500. (уравнение 2)

x+3y - (x+y) = 500 - 200,

x = 200 - 150 = 50.

Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 100 кг.

Ответ: 100.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй – 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?

Решение

Пусть x (кг) - масса первого раствора, y (кг) - масса второго раствора. Тогда масса третьего раствора равна

x+y = 200. (уравнение 1)

В первом растворе содержится 10 % соли, т.е. 0,1x (кг) соли, а во втором растворе - 30% соли, т.е. 0,3y (кг) соли. Третий раствор содержит 25% соли, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) соли. Получаем уравнение:

Умножим последнее уравнение на 10, получим:

x+3y = 500. (уравнение 2)

Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:

x+3y - (x+y) = 500 - 200,

x = 200 - 150 = 50.

Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого раствора меньше массы второго раствора на 100 кг.

Ответ: 100.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?

Решение

Пусть x (кг) - масса первого сплава, y (кг) - масса второго сплава. Тогда масса третьего сплава равна

x+y = 225. (уравнение 1)

В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 35% никеля, т.е. 0,35y (кг) никеля. Третий сплав содержит 30% никеля, т.е. 0,3*225 = 67,5 (кг) никеля. Получаем уравнение:

0,1x+0,35y = 67,5.

Умножим последнее уравнение на 10, получим:

x+3,5y = 675. (уравнение 2)

Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:

x+3,5y - (x+y) = 675 - 225,

x = 225 - 180 = 45.

Тогда y-x = 180 - 45 = 135 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 135 кг.

Ответ: 135.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из А в В занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-1 (км/ч).

Путь на подъеме занял 6-1 = 5 часов. Составим уравнение:

x = 5 (км/ч) - скорость туриста на спуске.

Задание B14 (ЕГЭ 2014 )

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 38 км. Путь из А в В занял у туриста 8 часов, из которых 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске , если она больше скорости на подъёме на 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-5 (км/ч).

Путь на подъеме занял 8-6 = 2 часа. Составим уравнение:

x = 6 (км/ч) - скорость туриста на спуске.

Прототип задания B14 (№ 99574 )

Решение:

Вот так выглядит краткое условие в рисунке:

Пусть в сосуде изначально было л некоторого вещества.

Составляем пропорцию:

Откуда л.

После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему л.

Составим очередную пропорцию:

Откуда процент некоторого вещества в сосуде есть

Задача 2.

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть – вес первого раствора.

В нем некоторого вещества:

Второго вещества по весу взяли столько же, – . В нем того же некоторого вещества, что и в первом:

Тогда в смешанном растворе будет по весу некоторого вещества.

Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:

Концентрация раствора: %.

Задача 3.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию кг – масса второго сплава.

В первом сплаве кг никеля, во втором – кг никеля.

Тогда в новом сплаве кг никеля.

Стало быть,

Значит, масса второго сплава – кг, что на кг больше массы первого сплава.

Задача 4.

Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть вес первого расвора литров. В нем согласно условию л кислоты.

Пусть вес второго раствора литров. В нем согласно условию л кислоты.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом л и кислоты в нем будет .

Составим пропорцию:

Рассмотрим второй случай.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л 50%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом л и кислоты в нем будет .

Составим пропорцию:

Итак, нам предстоит решить систему уравнений:

Вычитая строки, получаем:

Задача 5.

Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй - 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

Ситуация 1.

Пусть % – концентрация кислоты в первом растворе, % – концентрация кислоты во втором растворе.

Ситуация 2.

Пусть вес каждого смешиваемого раствора – кг.

Итак, нам предстоит работать с системой уравнений:

Складывая уравнения системы, получаем:

Тогда в первом растворе содержится кг кислоты.

Задача 6.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм - 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Решение:

Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:

Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?

«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!

Начнем с изюма .

Обозначим за кг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – кг.

Переходим к винограду .

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за кг массу винограда.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма) .

Ответ: 380.

Задача 7.

В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 1%, а в 2010 году - на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение:

1) 1% (то есть сотая часть) от 40000 жителей – это 400 человек.

Значит, в 2009 годы число жителей составило человек.

2) Найдем 9% от 40400 жителей: (человек).

Итак, в 2010 году в квартале стало проживать человек.

Ответ: 44036.

Задача 8.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

1) Пусть в понедельник акции компании подорожали на %, а до повышения цены стоимость акций обозначим за .

Итак, в понедельник цена акций будет составлять % по отношению к стоимости акций до повышения.

Поэтому новая цена акций на понедельник: .

2) Вторник. Цена акций будет составлять % по отношению к стоимости акций в понедельник.

Поэтому новая цена акций на вторник: .

3) Что мы имеем? На открытие торгов в понедельнки стоимость акций – , во вторник стоимость акций – при этом последняя стоимость акций составляет % от стоимости на открытие торгов.

Перед нами пропорция:

Откуда получаем, что %.

Задача 9.

Шесть рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки?

Решение:

Согласно условию цена 6 рубашек составляет 98% по отношению к цене куртки.

А значит, 1 рубашка составляет % по отношению к цене куртки.

Стало быть, 9 рубашек составляют % по отношению к цене куртки.

То есть 9 рубашек дороже куртки на 47 %.

Задачу, аналогичную задаче №9, можно посмотреть и в видеоформате:

Задача 10.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Пусть зарплата мужа – рублей, жены – , стипендия дочери – .

Тогда общий доход семьи –

Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, то есть стала бы , то общий доход семьи увеличился бы на рублей.

То есть, согласно условию, рублей составляет % от общего дохода семьи (до повышения зарплаты мужа).

Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, то есть стала бы , то общий доход семьи уменьшился бы на рублей, что соответствует, согласно условию, 2% от первоначального общего дохода семьи. Значит, стипендия дочери () составляет 4% от дохода семьи.

Выясним, наконец , сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены:

Задача 11.

Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей - 55000 рублей, Гриша - 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

Решение:

Найдем процент уставного капитала Андрея:

А так как проценты уставного капитала Димы и Гриши % и % соответственно, то уставной процент Коли – %.

А значит, от прибыли в 1000000 рублей он получит рублей.

Ответ: 305000.

Задача 12.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20700 рублей, через два года был продан за 16767 рублей.

Решение:

Пусть цена холодильника ежегодно уменьшаетя на процентов.

Тогда через год после выставления на продажу он будет стоить рублей.