До появления сетевых методов планирование работ, проек­тов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Определяются оценки продол­жительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внима­ние, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план поз­воляет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффектив­ном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель - графическое изображение плана выпол­нения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображе­ние планируемого комплекса работ в виде графа. Граф - схе­ма, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных сис­темой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая - конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конеч­ной. Сетевой график - это ориентированный граф без конту­ров. В сетевом моделировании имеются два основных элемен­та - работа и событие.

Работа - это активный процесс, требующий затрат ресур­сов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата.

Фиктивная работа - это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.

Событие - это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.

Путь - это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь - это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критически­ми. Все остальные работы являются некритическими (нена­пряженными) и обладают резервами времени, которые позво­ляют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правила.

1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее преды­дущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с мень­шим номером и входить в событие с большим номером.

2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся про­межуточное событие и фиктивная работа (рис. 30.1).

3. В сети не должно быть тупиков, т. е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 30.2).

4. В сети не должно быть промежуточных событий, кото­рым не предшествует хотя бы одна работа (рис. 30.3).

5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоя­щих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 30.4). Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исход­ного события, которому дается номер 1. Из исходного собы­тия 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на остав­шейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на остав­шейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до заверша­ющего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 30.5.

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оцен­кам специалистов. В первом случае временные оценки являют­ся детерминированными (однозначными), во втором - стохас­тическими (вероятностными).

Рассмотрим в качестве примера программу создания но­вого бытового прибора, пользующегося спросом у населения. Необходимые данные приведены в табл. 30.1.

На основании данных таблицы построим сетевой график создания прибора с учетом вышеизложенных рекомендаций (рис. 30.6).

Сетевые графики (сетевые) модели являются мощным и гибким организационным инструментом менеджмента. Они позволяют осуществлять календарное планирование работ, оптимизацию использования ресурсов, сокращать продолжительность выполнения работ в зависимости от их стоимости или же увеличивать продолжительность исходя из бюджетных ограничений, организовывать оперативный менеджмент в ходе реализации деятельности. Сетевые графики занимают важнейшее место в современном проектном менеджменте.

Сетевой график представляет собой ориентированный граф (геометрическую фигуру, состоящую из вершин и направленных стрелок), изображающий все необходимые для достижения цели операции в их технологической взаимосвязи.

Основными понятиями сетевой модели являются:

• работа;
• событие;
• путь.

Работа - это трудовой процесс, требующий затрат времени и ресурсов. В модели работа изображается в виде сплошной стрелки (дуги графа), над которой стоит цифра, показывающая ее продолжительность. Работа идентифицируется номерами начального и конечного события. Иногда в более сложных сетевых моделях допускается нанесение (сверху или снизу от стрелки) и других условных изображений, таких как наименование работы, ее стоимость, объем, исполнителя, продолжительности, количества ресурсов. С другой стороны, иногда используются модели без каких-либо числовых показателей и обозначений. Такая сеть называется структурной сетевой моделью , или топологией .

Рис. 4.1.

В понятие "работа" включается "процесс ожидания" , т.е. процесс, не требующий затрат труда, но требующий затрат времени. Обычно ожидание изображают в виде пунктирной стрелки, над которой указывают продолжительность ожидания ( рис. 4.1 а, б).

Понятие работы учитывает "зависимость" между двумя или несколькими событиями, не требующую затрат времени, ресурсов, но показывающую логическую связь работ, например, что начало одной или нескольких работ зависит от результатов другой работы. На графике зависимость (или как часто ее не совсем правильно называют "фиктивная работа") показывается в виде пунктирной стрелки без указания времени.

Зависимость используется в сетевых графиках не только как технологическая или организационная связь, но и как элемент, необходимый для выполнения определенных правил построения сетевых графиков.

Событие - это результат выполнения одной или нескольких работ, позволяющий начинать другую работу. В сетевых моделях событие изображается, как правило, в виде кружка.

События не являются процессами и не имеют длительности, т.е. совершаются мгновенно. Поэтому каждое событие, включаемое в график, должно быть полно, точно и всесторонне определено (с точки зрения логической связи работ), его формулировка должна включать в себя результат всех непосредственно предшествующих ему работ.

Событие, стоящее в начале сетевого графика, в которое не входит ни одной работы, называется исходным событием . Событие, стоящее в конце сетевого графика, из которого не выходит ни одной работы, называется завершающим событием .

События делятся на простые и сложные. Простые события - это те, в которые входит одна работа. Сложные события - это те, в которых соединяются две или более работ.

Рис. 4.2.

Событие может являться частным результатом отдельной работы или же суммарным результатом нескольких работ. Событие может совершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие. Последующие работы могут начаться только после того, как произойдет это событие. Отсюда двойственный характер событий (кроме исходного и завершающего): для всех непосредственно предшествующих событию работ оно является конечным, а для всех непосредственно следующих за ним - начальным ( рис. 4.2).

Путь - это непрерывная последовательность стрелок, начиная от исходного события сетевой модели и заканчивая завершающим. Длина пути определяется продолжительностью работ, лежащих на этом пути.

При сравнении продолжительности путей выявляется путь, длина которого (суммарная продолжительность работ на этом пути) имеет наибольшую величину по сравнению с длиной любого другого пути. Такой путь называется критическим. Критический путь определяет общую продолжительность работ. Пример выявления критического пути изображен на рис. 4.3 . Изображенный на рисунке сетевой график имеет пять путей.

Рис. 4.3.

При контроле работ, выполняемых по сетевому графику, главное внимание концентрируется на работах критического пути, так как именно от них зависит выполнение всех работ в установленный срок. Совершенно естественно, что для сокращения общей продолжительности работ надо искать возможности ускорения работ, лежащих на критическом пути.

Работы, лежащие на критическом пути, являются потенциально "узкими местами". Поэтому внимание руководителя должно сосредоточиваться именно на этих работах. А так как критический путь имеет самую большую продолжительность по сравнению с другими путями, то эти последние имеют запас времени, что дает возможность оперативно маневрировать ресурсами или снижать стоимость выполнения работ за счет увеличения их продолжительности.

Как показывает практика, чем больше работ включает сетевой график, тем меньше удельный вес работ, лежащих на критическом пути. Например, в модели со 100 работами на критическом пути будут находиться 10-12% от общего количества работ; при 1000 работ - 7-8%; при 5000 работ - 3-4%.

Правила построения сетевых моделей

Единой принятой последовательности составления сетевого графика нет. Поэтому строить графики можно по-разному - от начала и до окончания, а также и наоборот - от конца к началу. Более логичным и правильным следует признать метод построения графиков от исходного события до завершающего, т.е. слева направо, так как при таком построении четко понимается технология выполнения моделируемых работ. Этот метод получил наибольшее признание.

Поэтому в качестве первого правила последовательности отображения работ следует указать, что сетевые графики следует строить от начала к окончанию, т.е. слева направо.

Правило изображения стрелок. Стрелки, изображающие работы, ожидания или зависимости, могут иметь различный наклон и длину, но должны, как правило, идти слева направо. Стрелки в сетевом графике не должны отклоняться влево от оси ординат. И конечно, следует иметь в виду, что стрелки направляются всегда от предшествующих событий к последующим, от событий с меньшими номерами к событиям с большими номерами.

Правило пересечения стрелок. Пересечения стрелок допустимы, но чем меньше пересечений, тем график более продуман и нагляден.

Изложенные три правила можно рассматривать как предварительные. Теперь перейдем к основным правилам построения сетевых графиков.

Правило обозначения работ. В практике зачастую встречаются случаи, когда две и более работ выходят из одного и того же события, выполняются параллельно и заканчиваются одним и тем же событием.

Например, одновременно начинается проектирование двух вариантов конструкции новой машины. После их разработки проводится сопоставление и выбор лучшего варианта.

Но правильное изображение этих работ на сетевом графике не должно выводить две работы из одного события и завершать их одним тем же событием. При таком изображении обе работы получают одно и то же обозначение, а это недопустимо, так как при расчете сети невозможно будет определить параметры этих работ, да и всего сетевого графика ( рис. 4.4 а).

В сетевом графике между двумя смежными событиями может проходить только одна стрелка. Обычно для распараллеливания работ вводят дополнительное событие, что показано на рис. 4.4 б.

Рис. 4.4.

Правило расчленения и запараллеливания работ. Во многих процессах позволяется начинать следующую работу, не ожидая полного окончания предшествующей. В этом случае производится "расчленение" предшествующей работы.

Рис. 4.5.

На графике вводится дополнительное событие в том месте предшествующей работы, где может начаться новая. Пример этого приведен на рис. 4.5 . Предстоящая работа предполагает необходимость корректировать рабочие чертежи (работа "а", продолжительность 30 дней) и изготовить испытательный стенд (работа "б", продолжительность 25 дней). Если эти работы изобразить последовательно, то общая продолжительность составит 55 дней, как это изображено на рис. 4.5 а, между работами. После составления сетевого графика и анализа взаимосвязи предполагается, что работу "б" можно начать после выполнения половины работы "а", т.е. через 15 дней. Закончить работу "б" можно только после полного окончания работы "а". Исходя из этого можно построить новый сетевой график, изображенный на рис. 4.5 б. Из него видно, что общая продолжительность работ теперь составляет 42 дня, т.е. мы получили выигрыш во времени на 13 дней.

Правило запрещения замкнутых контуров (циклов или петель). При построении сети недопустимо строить замкнутые контуры, т.е. пути, в которых некоторые события соединяются сами с собой. Нельзя допустить, чтобы в сети возник случай, когда один и тот же путь ведет к тому же событию, из которого он первоначально вышел. Различные случаи замкнутых контуров изображены на рис. 4.6 а, б.

Рис. 4.6.

Если такое замыкание произошло, то это означает, что имеются ошибки в технологии или в составлении графика.

Правило запрещения "тупиков". В сетевом графике не должно быть тупиков - событий, из которых не выходит ни одной работы, за исключением завершающего события (в многоцелевых графиках завершающих событий несколько, но это особый случай).

Правило запрещения "хвостовых" событий. В сетевом графике не должно быть хвостовых событий, т.е. событий, в которые не входит ни одной работы, если это событие не является начальным.

Правила запрещения "тупиков" и "хвостовых" событий проиллюстрированы на рис. 4.7 .

Рис. 4.7.

Правила изображения дифференцированно-зависимых работ. В практике построения сетевых графиков постоянно встречаются случаи, когда одна группа работ зависит от другой группы, а одна или несколько работ имеют дополнительные зависимости или ограничения. Обычно для решения этой проблемы вводят дополнительные события, как это показано на

1 Теоретическое введение

Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис.1):

· – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

· – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

· – резерв события i, т. е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Рис.1. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1) для исходного события И ;

2) для всех остальных событий I

https://pandia.ru/text/78/183/images/image007_88.gif" width="39" height="28">, входящим в событие i; – длительность работы (k, i) (рис.2).

https://pandia.ru/text/78/183/images/image002_149.gif" width="44" height="29"> рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события З ;

2) для всех остальных событий

,

где минимум берется по всем работам , выходящим из события i; – длительность работы (k, i) (рис.3).

Рис.3. Расчет позднего срока свершения события i

Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

· – ранний срок начала работы;

· – ранний срок окончания работы;

· – поздний срок окончания работы;

· – поздний срок начала работы;

· – полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;

· – свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими . Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Для проведения анализа временных параметров сетевой модели используют график привязки , который отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси – отрезки, соответствующие длительностям работ (раннее начало и раннее окончание работ). График привязки можно построить на основе данных о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа может выполняться только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы .

Задача №1

Компания разрабатывает строительный проект. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в табл.1. Постройте сетевую модель проекта, определите критические пути модели и проанализируйте, как влияет на ход выполнения проекта задержка работы D на 4 недели.

Таблица 1

Исходные данные задачи №1

Название	Непосредственно предшествующие операции	Длительность,

Решение

Построим сетевую модель и рассчитаем временные параметры событий (рис.3). При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

· необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

· достаточное условие – нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.

Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели (см. рис.8.3) и могут быть критическими. Проверим достаточное условие критичности для работ (1,2) и (1,3)

Путь , начинающийся с работы (1,3) не является критическим, т. к. как минимум одна из его работ (1,3,) не является критической. Работа (1,3) имеет ненулевой полный резерв, а значит может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ.

Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь длительностью недель. За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т. к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом.

Работа D или (2,5) не является критической, ее полный резерв равен 3-м неделям. Это означает, что при задержке работы в пределах 3-х недель срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому если согласно условию работа D задержится на 4 недели, то весь проект закончится на 1 неделю позже.

Рис.3. Сетевой график задачи №1

Задача №2

По данным о кодах и длительностях работ в днях (табл.2) постройте график привязки сетевой модели, определите критические пути и их длительность. Определите свободные и полные резервы каждой работы, отметьте на графике привязки свободные резервы работ.

Таблица 2

Исходные данные задачи №2

При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей критической работы. Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (). Кроме того, следует учесть, что критический путь является полным , т. е. соединяет исходное и завершающее события сети. Поэтому на графике привязки первая из работ критического пути всегда начинается в исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ сети в завершающем событии.

Из вышеприведенных соображений следует способ определения критического пути на графике привязки (все найденные работы выписываются последовательно справа налево ):

1) найти на графике привязки и выписать работу (i, j), которая заканчивается позже всех остальных. Это будет последняя работа критического пути (ее конечное событие иметь номер завершающего события сети);

2) из всех работ сети (k, i), конечное событие которых i совпадает с начальным событием i работы (i, j), найденной в п.1), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (i, j);

3) из всех работ сети (l, k), конечное событие которых k совпадает с начальным событием k работы (k, i), найденной в п.2), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе (k, i);

4) продолжать п.3) до тех пор, пока не будет найдена исходная работа сети, т. е. начинающаяся в нулевой момент времени (ее начальное событие будет иметь номер исходного события сети, например, 1).

Следует заметить, что если в сетевой модели несколько критических путей, то, выполняя вышеописанные действия, можно обнаружить несколько работ, удовлетворяющих сформулированным требованиям. В таком случае необходимо продолжать поиск по каждой из таких работ в отдельности. В сложных сетевых моделях подобные разветвления могут привести к большим затратам времени на поиск критически путей. Тем не менее, такой способ хорош для учебных целей, поскольку дает понимание значения критических работ в сетевой модели и учит "читать" и понимать график привязки.

Решение

I. Поиск критических путей

1) Построим график привязки (рис.4).

Рис.4. График привязки задачи №2

2) Начнем поиск критических путей (справа налево) с работ, завершающих проект. На графике привязки (см. рис.8.4) две работы (6,7) и (3,7), которые заканчиваются позже остальных в завершающем событии №7. Записываем работы, определенные как критические справа налево

4) Найдем критическую работу из примыкает" на графике к началу работы (3,6). Допишем слева найденную критическую работу (2,3) к выражению (2)

5) Найдем критическую работу из примыкает" на графике к началу работы (2,3)..gif" width="252" height="29">.

6) Аналогичный поиск работ критического пути https://pandia.ru/text/78/183/images/image040_18.gif" width="209" height="29">.

В другой форме записи https://pandia.ru/text/78/183/images/image042_17.gif" width="124" height="29 src=">.

7) Для наглядности выделим на графике привязки критические работы жирной линией.

II. Поиск резервов работ

1) Для всех найденных критических работ впишем в табл.3 нулевые значения свободного и полного резервов. Рассмотрим некритические работы, начиная с конца табл.8.3.

Таблица 3

Резервы работ из задачи №2

				Критичность
				Критическая
				Критическая
				Критическая
				Критическая
				Критическая

2) Работа (5,7), согласно графику привязки (см. рис.4) заканчивается в 13-й день, а завершающее событие 7 сети, в которое она входит, наступает лишь в 14-й день. Т. е..gif" width="172" height="29 src=">.

3) Работа (4,6) заканчивается в 8-й день, в то время как последующая работа (6,7) начинается в 10-й день. То есть, работа (4,6) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (6,7), т. е. .

Правило №1

Полный резерв любой работы складывается из собственного свободного резерва и минимального из полных резервов непосредственно следующих работ.

За работой (4,6) следует только критическая работа (6,7) с нулевым полным резервом. Поэтому .

4) Работа (4,5) заканчивается в 12-й день, в этот же день начинается следующая работа (5,7), т. е. любая задержка выполнения работы (4,5) приведет к задержке начала работы (5,7). Это означает, что работа (4,5) не имеет свободного резерва . Но если сдвинуть во времени работу (4,5) на 1 день, то работа (5,7) также сдвинется на 1 день и это не нарушит срок выполнения проекта, т. к. у работы (5,7) есть временной резерв. Таким образом согласно правилу №8.1

5) Работа (1,5) заканчивается в 10-й день, в то время как последующая работа (5,7) начинается в 12-й день. Т. е. работа (1,5) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (5,7), т. е. . Кроме того, поскольку последующая работа (5,7) имеет резерв в 1 день, то, в общем, работу (1,5) можно сдвинуть на 3 дня и это не нарушит сроков проекта (см. рис.8.4), т. е.

6) Работа (1,4) заканчивается во 2-й день, и в этот же день начинаются следущие работы (4,5) и (4,6). Т. е. работа (1,4) не имеет свободного резерва времени . Поскольку после работы (1,4) следуют две работы с различными полными резервами, то согласно правилу №1

7) Работа (1,3) заканчивается в 3-й день, а следующие за ней работы (3,6) и (3,7) начинаются в 5-й день, т. е..gif" width="562" height="41">.

8) Ненулевые свободные резервы работ обозначены на графике привязки фигурными скобками (см. рис.4).

3 Варианты задач для самостоятельного решения

Задача №1

Рассчитайте временные параметры событий и работ сетевых моделей задач №1–4, определите критические пути и их длительность.

Задача №2

Определите критические пути и указанные параметры работ в сетевой модели (рис.3): Rc(1,5), Rп(1,5), Tрн(5,7), Тпн(5,7), Тро(2,6), Тпн(3,6), Тро(4,7), Тпо(1,5), Тпн(1,5).

Рис.3. Сетевая модель задачи №2

Задача №3

Задание из задачи №2 для рис.4: Rc(1,3), Rп(1,2), Тро(3,7), Трн(2,5), Тпн(1,6), Тпо(1,3), Тпн(4,5), Тро(1,4), Тпо(1,2).

Рис.4 Сетевая модель задачи №3

Задача №4

Определите критические пути и указанные параметры работ в сетевой модели, полученной после исправлений в процессе решения задачи №6 (см. рис.8): Tрн(H), Rп(N), Тпн(F), Тпо(A), Rc(A), Тпн(M), Тро(M), Rп(A), Тро(G), Тпн(E), Rc(J), Тпн(G).

Задача №5

Проанализируйте, как повлияет на ход выполнения проекта, представленного на рис.8.3, одновременная задержка следующих работ: (1,5) – на 19 дней, (3,6) – на 3 дня. Аргументируйте свой ответ.

Задача №6*

Проанализируйте, как повлияет на ход выполнения проекта, представленного на рис.8.4, одновременная задержка следующих работ: (1,2) – на 2 дня, (1,3) – на 11 дней, (3,7) –на 3 дня, (5,6) – на 1 день. Аргументируйте свой ответ.

Задачи №7, 8, 9

По данным о кодах и длительностях работ (табл.8.4) постройте график привязки сетевой модели, определите критические пути и их длительность, численные значения свободных и полных резервов каждой работы сведите в таблицу, отметьте на графике привязки свободные резервы работ.

Таблица 4

Исходные данные задач №7, 8, 9

Задача №7	Задача №8	Задача №9

Сетевые графики составляются на начальном этапе планирова­ния. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью оценивается длительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графи­ка рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь . Наконец, проводятся ана­лиз и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетом параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.

1. В сетевой модели не должно быть "тупиковых" событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события. В таких случаях необходимо тщательное изучение взаимосвязей событий и работ для исправления возникшего недоразумения.

2. В сетевом графике не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного). Обнаружив в сети такие события, необходи­мо определить исполнителей предшествующих им работ и вклю­чить эти работы в сеть. В крайнем случае такие события должны быть связаны фиктивными работами с исходным событием.

3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, т.е. путей, соединяющих некоторые события с ними же самими.

4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Нарушение этого условия происходит при изображении парал­лельно выполняемых работ, содержание которых, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться. В этом случае рекомендуется ввести фиктивное событие, при этом одна из параллельных работ замыкается на него. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями.

5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершаю­щее событие. Если в составленной сети это не так (см. Рис. 4.1 А), то добиться желаемого можно путем введения фик­тивных событий и работ, как это показано на Рис. 4.1 Б.

Рис.4.1. Преобразование недопустимых сетевых графиков.

Фиктивные работы и события необходимо вводить и в ряде других случаев. Один из них – отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (Рис. 4.1 В) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А. Это обстоятельство требует введения фик­тивной работы С

Другой случай - неполная зависимость работ. Например, ра­бота С требует для своего начала завершения работ А и Б, но ра­бота Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. То­гда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного собы­тия 3", как показано на Рис. 4.1 Г.

Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания. В отличие от предыдущих случаев здесь фиктивная работа характеризуется протяженностью во времени.

Классический вид сетевого графика – это сеть, вычерченная без масштаба времени. Поэтому сетевой график, хотя и дает четкое представление о порядке следования работ, но недостаточно нагляден для определения тех работ, кото­рые должны выполняться в каждый данный момент времени.

Упорядочение сетевого графика заключается в таком располо­жении событий и работ, при котором для любой работы предшест­вующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием . Другими словами, в упорядоченном сетевом графике все работы-стрелки направле­ны слева направо: от событий с меньшими номерами к событиям с большими номерами. (Это удобнее, но не обязательно).

Для этого существуют различные технологии. Например, рекомендуется разбить условно сетевой график на несколько вертикальных слоев: обвести их пунктирными линиями и обозначить римски­ми цифрами, затем в слоях размещать события, или же дополнять сетевой график линейным, в котором каждая работа изображается параллельным оси времени отрезком, длина которого пропорциональна продолжительности этой работы. По мнению автора, проще нарисовать сетевой график, в котором проекции стрелок-работ на временную ось пропорциональны их длительности, как это сделано на Рисунке 4.2. При этом автоматически определяется время наступления событий.

Одно из важнейших понятий сетевого графика – понятие пути. Путь – любая последовательность работ, в которой конечное собы­тие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике на­зывается критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

Критический путь имеет особое значение в системе СПУ, так как работы этого пути определяют время завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. Для сокращения продолжительности проекта необходимо в пер­вую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

4.4. Временные параметры сетевых графиков

В табл. 4.1 приведены основные временные параметры сете­вых графиков.

Таблица 4.1

Элемент се-ти, характе­ризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначе­ние пара метра
	Ранний срок свершения события	t p (i)
Событие i	Поздний срок свершения события	t п (i)
	Резерв времени события	R(i)
	Продолжительность работы	t(t,j)
	Ранний срок начала работы	t рн (i,j)
	Ранний срок окончания работы	t ро (i,j)
	Поздний срок начала работы	t пн (i,j)
Работа (i,j)	Поздний срок окончания работы	t по (i,j)
	Полный резерв времени работы	R n (i,j)
	Частный резерв времени работы первого вида	R l (i,j)
	Частный резерв времени работы второго вида	R c (i,j)
	или свободный резерв времени работы
	Независимый резерв времени работы	R н (i,j)
	Продолжительность пути	t(L)
Путь L	Продолжительность критического пути	tкр
	Резерв времени пути	R(L)

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий . Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок t p (i) свершения i- го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

гле L п i – любой путь, предшествующий i -му событию, т.е. путь от исходного до i -го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а сле­довательно, несколько предшествующих событий i , то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле

Задержка свершения события i по отношению к своему ранне­му сроку не отразится на сроке свершения завершающего собы­тия (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжитель­ности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i -го собы­тия равен

где l ci - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i -го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следо­вательно, несколько последующих событий j , то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени R(i) i -го события определяется как разность ме­жду поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как лю­бая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно переби­рать все полные пути сетевого графика и определять их дли­ны. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических путей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруд­нено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определе­ния критических путей рекомендуется использовать критические ра­боты.

Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжитель-ности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем R(L) , то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени R п (i, j) работы (i, j ) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при усло­вии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв R п (i, j) определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок.

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резер­ва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва. R i находится по формуле

)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc - работы (i, j ) представляет часть полного резерва време­ни, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее окончания события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположе­нии, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки . R c находится по формуле

Свободным резервом времени можно пользоваться для предот­враще-ния случайностей, которые могут возникнуть в ходе выпол­нения работ. Если планировать выполнение работ по ранним сро­кам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необ­ходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени R H работы (i, j) - часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.

В ряде работ по сетевому планированию резерв времени R H (i, j) на­зывают свободным, а резерв R С (i, j) специального названия не имеет. Использование независимого резерва времени не влияет на ве­личину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей рабо­ты произошло в поздний допустимый срок, а последующие рабо­ты хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (4.3) или (4.4), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина R H (i, j) отрицательна, то этой возможности нет, так как предыду­щая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна на­чаться. Поэтому отрицательное значение R H (i, j) не имеет реаль­ного смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Если частный резерв времени первого вида мо­жет быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени - на увеличение продолжитель­ности данной и предшествующих работ без нарушения резерва вре­мени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и крити­ческие события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i, то

Если на критическом пути лежит конечное событие у, то

Если на критическом пути лежат начальное и конечное собы­тия i и j , но сама работа не принадлежит этому пути, то

Указанные соотношения можно использовать при провер­ке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использовать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.

Бизнес идеи