Транспортная модель (транспортная задача) используют при рассмотрении различных практических ситуаций в логистическом управлении, связанных: с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управление запасами, назначением служащих на рабочее места, оборотом наличного капитала и многими другими. Кроме того, модель можно изменить, чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции. В то же время транспортная модель и ее обобщение представляют собой частные случаи сетевых моделей.

Транспортная задача по существу представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс – методом. Однако специфическая структура условий задачи позволяет использовать более эффективные вычислительные алгоритмы.

Сущность транспортной задачи линейного программирова­ния состоит в наивыгоднейшем прикреплении поставщиков однородного продукта ко многим потребителям этого продук­та. На практике постоянно возникает необходимость решения таких задач, особенно когда количество пунктов отправления и получения грузов увеличивается.

Условие транспортной задачи обычно записывается в виде матрицы, в которой потребители однородного груза размеща­ются по столбцам, а поставщики - по строкам. В последнем столбце матрицы проставляют запас груза, имеющийся у каж­дого поставщика, а в последней строке - потребность в нем потребителей. На пересечении строк со столбцами (в клетках матрицы) записывают размер поставки, а также расстояние пробега по всем возможным маршрутам время доставки гру­за или затраты на перевозку единицы груза по этим маршру­там.

Постановка задачи и ее математическая модель. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у т поставщиков в количестве (), необходимо доставить п потребителям в количестве (). Известно стоимость перевозки единицы груза от го поставщика му потребителю. Необходимо составить план перевозок, имеющий минимальную стоимость. Основное предположение, используемое при построении модели, состоит в том, что величина транспортных расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции. Модель транспортной задачи представлена на рис 7.1.

m

n

Рис. 7.1. Транспортная модель

На рис. 7. 1. изображена транспортная модель в виде сети с т поставщиками некоторого однородного груза и п потребителями этого груза. При этом поставщикам груза и потребителям соответствуют вершины сети. Дуга, соединяющая поставщик груза с потребителем, представляет условный маршрут, по которому перевозится продукция. Количество продукции, производимой поставщиком , обозначено через , а количество продукции, потребляемой потребителем через ; стоимость перевозки единицы продукции из в .

Запишем математическую модель задачи:

1) Объем поставок го поставщика должен равняться ко­личеству имеющегося у него груза:

2) Объем поставок му потребителю должен быть равен его спросу:

3) Запас груза у поставщиков должен равняться суммарно­му спросу потребителей:

4) Размер поставок должен выражаться неотрицательным числом:

5) общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной:

Поставленная в задаче цель может быть достигнута раз­личными методами, например, методом северо-западного угла или методом потенциалов.

Модель транспортной задачи линейного программирования так же может использоваться для планирования ряда операций, не связанных с перевозкой грузов. Так, с ее помощью решаются задачи по оптимизации размещения производства, топливно-энергетического баланса, планов загрузки оборудования распределения сельскохозяйственных культур по участкам раз­личного плодородия и т. п.

Поставленная транспортная задача линейного программирования называется сбалансированной транспортной моделью, так как объем запасов равняется объему заказов. В реальных ситуациях не всегда объем производства равен спросу, однако транспортную модель всегда можно сбалансировать.

В случае превышения запас продукции над потребностью, т. е. если , вводится фиктивный (n+1) – й потребитель с потребностью

а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Аналогично, при , вводится фиктивный (m+1) – й поставщик с запасом груза а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Этими действиями задача сводится к сбалансированной транспортной задаче, из оптимального плана которой, получается оптимальный план исходной задачи.

Модель транспортной задачи представляет собой задачу линейного прогпаммирования и, етественно, ее можно решать с использованием метода последовательного улучшения плана или методом использованием метода последовательного улучшения оценок (симплексным методом). Но в этом случае основная трудность связана с числом переменных задачи . Поэтому специальные алгоритмы, например, такие как метод потенциалов и венгерский метод, оказываются более эффективными.

Алгоритм метода потенциалов, (его называют еще модифицированным распределительным алгоритмом) начинает работу с некоторого опорного плана транспортной задачи (допустимого плана перевозок). Для построения опорного плана обычно используется один из двух методов: метод северо-западного угла или метод минимального элемента. На конкретной задаче рассмотрим метод северо-западного угла. Он позволяет найти некоторый допустимый план перевозок.

Задача. На трех складах () имеется соответственно 140, 180 и 160 единиц однородного груза. Этот груз требуется перевести к пяти потребителям () соответственно в количествах 60, 70, 120, 130, 100 единиц. Стоимость перевозки от складов к потребителям приведена в табл. 7.2. (в правом верхнем углу каждой клетки). Например, сто­имость перевозки единицы груза со склада потребителю равна 2 у. е.

Таблица 7.2

Исходные данные для решения транспортной задачи

Поставщики	Потребители	Запасы продукции
Потребности

Найти допустимый план перевозок.

Для решения задачи на первом этапе составляется система огра­ничений и целевая функция. Система ограничений в общем виде (для задачи) имеет вид:

причем для

Целевая функция затрат на перевозку, значение которой необхо­димо минимизировать при имеющихся ограничениях, выглядит сле­дующим образом:

2 + 3 +4. + 2 + 4 + 2 , (92)

Далее перераспределяются объемы поставок грузов методом «северо-западного угла», т.е. первой заполняется верхняя левая (севе­ро-западная) клетка исходной таблицы. Примем объем перевозки со склада к потребителю максимально возможным из условий задачи и равным 60 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл.7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В таблице 7.3. найдем «северо-западный угол» (теперь это клетка )и укажем максимально возможное значение. Оно рассчитывает­ся следующим образом: со склада уже перевезено 60 ед. груза, поэто­му остаток на этом складе составляет 80 ед. (140-60). Вносим в клетку вместо значение, равное 70 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3. можно исключить из даль­нейшего рассмотрения. Остаток продукции на складе 10 ед. (140 – 60 – 70) припишем потребителю .Таким образом, весь груз со скла­да перевезен потребителям и первая строка табл. 7.3 исключается из дальнейшего рассмотрения.

В нашей табл.7.3 найдем новый «северо-западный угол» (клетка )и укажем в нем максимально воз­можное значение это 110 ед. (120 – 10). Остаток продукции на складе 70 ед. (180 – 110) припишем потребителю . Тем самим потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В оставшейся части табл. № найдем новый «северо-западный угол» (клетка ) и укажем в нем максимально воз­можное значение это 60 ед. (130 – 70). Остаток продукции на складе в количестве 100 ед. припишем потребителю .

Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов изготовления (например, заводов) в пункты доставки (например, склады).

Транспортная модель может применяться при рассмотрении практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением именных графиков, назначением служащих не рабочие места, оборотом наличного капитала.

Транспортная задача может быть сведена к задаче линейного программирования и решена симплекс-методом. Вместе с тем специфика транспортной задачи позволяет решить ее более эффективным методом. Однако, и этот метод по существу воспроизводит шаги симплекс-метода.

Определение транспортной модели

При построении транспортной модели используются:

Заметим, что потребности одного пункта назначения могут удовлетворяться из нескольких исходных пунктов, так же один пункт производства может поставлять товар в несколько пунктов потребления.

Цель построения модели заключается в определении количества продукции, которую следует перевозить из всех исходных пунктов в пункты потребления при минимальных общих транспортных расходах.

Основное предположения транспортной модели состоит в том, что величина расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции.

Рассмотрим графическое представление транспортной модели

Рисунок 6

Транспортная модель такого вида называется сетевой и имеет mисходных пунктов иnпунктов назначения. Исходные пункты и пункты назначения называются вершинами сети или соответствующего графа. Маршрут по которому перевозится продукция называется дугой, количество продукции, производимая вi-ом исходно пункте обозначается. Количество потребляемой продукции вj-ом пункте -. Стоимость перевозки.

Соответствующую математическую модель можно записать в следующем виде:

Iотражает тот факт, что суммарный объем перевозок из некоторого исходного пункта не может превышать произведенного в этом пункте количества продукции.

IIпоказывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворять потребность в спросе на эту продукцию.

Анализ транспортной модели показывает, что суммарный объем производства не должен быть меньше объема потребления.

В том случае, если что суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, транспортная модель называется сбалансированной.

Такая модель является канонической моделью линейного программирования.

Пример транспортной модели

Заводы автомобильной фирмы расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Нью-Орлеане. Центры распределения в Денвере и Майами. Объем производства заводов 1000, 1500 и 1200 автомобилей соответственно. Ожидаемый спрос равен 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимость перевозки одного автомобиля приведена в таблице 10:

Таблица 10

- количество автомобилей, которые перевозят изi-ого пункта вj-ый (i=1,2,3;j=1,2).

Суммарный объем производства автомобилей равен 3700 и равняется суммарному ожидаемому спросу. Следовательно, данная транспортная модель является сбалансированной и ее можно записать в следующем виде:

при ограничениях

Компактный способ записи транспортной модели связан с использованием транспортной таблицы или матрицы, у которой соответствуют исходным пунктам, а столбцы пунктам спроса.

Рассматривается транспортная модель и ее варианты. Такая модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.
Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, однако ее специфическая структура позволяет так модифицировать симплекс-метод, что вычислительные процедуры становятся более эффективными. При разработке метода решения транспортной задачи существенную роль играет теория двойственности.
В классической транспортной задаче рассматриваются перевозки (прямые или с промежуточными пунктами) одного или нескольких видов продукции из исходных пунктов в пункты назначения. Эту задачу можно видоизменить, включив в нее ограничения сверху на пропускные способности транспортных коммуникаций. Задачу о назначениях и задачу управления запасами можно рассматривать как задачи транспортного типа.

Пример . В пунктах отправления А 1 , А 2 , А 3 находится однородный груз в количестве a 1 , а 2 , а 3 , соответственно, который необходимо перевезти в пункты назначения В 1 , В 2 , В 3 , потребность каждого из которых составляет b 1 , b 2 , b 3 . Известно расстояние между пунктами перевозок (оценки).
Определить такой план перевозок, при котором общее количество тонно-километров будет минимальной.
Входные данные согласно варианту приведены в таблице 3.

	1	2	3	Запасы
1	10	15	22	50
2	16	20	11	85
3	18	16	33	52
Потребности	62	81	43

Указание: Составить соответствующую задачу математического программирования, привести ее к закрытому типу и решить методом потенциалов .

Математическая модель транспортной задачи:
F=∑∑c ij x ij , (1)
при условиях:
∑x ij = a i , i = 1,2,…, m, (2)
∑x ij = b j , j = 1,2,…, n, (3)
x ij ≥ 0
Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи. Переменные:
x 11 – количество груза из 1-го склада в 1-й магазин; x 12 – количество груза из 1-го склада в 2-й магазин; x 13 – количество груза из 1-го склада в 3-й магазин; x 21 – количество груза из 2-го склада в 1-й магазин; x 22 – количество груза из 2-го склада в 2-й магазин; x 23 – количество груза из 2-го склада в 3-й магазин; x 31 – количество груза из 3-го склада в 1-й магазин; x 32 – количество груза из 3-го склада в 2-й магазин; x 33 – количество груза из 3-го склада в 3-й магазин
Ограничения по запасам:
x 11 + x 12 + x 13 ≤ 50 (для 1 базы)
x 21 + x 22 + x 23 ≤ 85 (для 2 базы)
x 31 + x 32 + x 33 ≤ 52 (для 3 базы)
Ограничения по потребностям:
x 11 + x 21 + x 31 = 62 (для 1 магазина)
x 12 + x 22 + x 32 = 81 (для 2 магазина)
x 13 + x 23 + x 33 = 43 (для 3 магазина)
Целевая функция: 10x 11 + 15x 12 + 22x 13 + 16x 21 + 20x 22 + 11x 23 + 18x 31 + 16x 32 + 33x 33 → min

Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке

1. При некоторых реальных условиях перевозки груза из определенного пункта A i в пункт назначения B j не могут быть осуществлены. Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт B j является сколь угодно большой величиной М и при этом условии известными методами находят решение транспортной задачи. Такой подход к нахождению решения ТЗ называется запрещением перевозок.
2. В отдельных ТЗ дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из Ai в B j требуется обязательно перевезти a ij единиц груза. Тогда в соответствующую клетку таблицы, находящуюся на пересечении строки A i и столбца B j , записывают указанное число a ij и в дальнейшем считают эту клетку свободной со сколь угодно большой стоимостью перевозки М. Для полученной таким образом новой транспортной задачи находят оптимальный план, который определяет оптимальный план исходной задачи.
3. Иногда требуется найти решение ТЗ, при котором из A i в B j должно быть перевезено не менее заданного количества груза a ij . Для определения оптимального плана такой задачи считают, что запасы Ai и потребности Bj меньше фактических на a ij единиц. После этого находят оптимальный план новой ТЗ, на основании которого и определяют решение исходной задачи.

Модель без дефицита

В соответствии с терминологией транспортной модели поставщики представлены обычным и сверхурочным производством для различных этапов. Потребители задаются спросом соответствующих этапов. Затраты на «транспортировку» единицы продукции от любого поставщика к любому потребителю представляются суммой соответствующих производственных затрат и затрат на хранение единицы продукции.
Матрица полных затрат для эквивалентной транспортной задачи приведена в следующей таблице:
Дополнительный столбец используется для балансировки транспортной задачи, т.е. S = ∑a i - ∑b j . Затраты на единицу продукции в дополнительном столбце равны нулю. Так как дефицит не допускается, то продукцию, выпускаемую на рассматриваемом этапе, нельзя использовать для удовлетворения спроса предыдущих этапов. В таблице это ограничение представлено заштрихованными ячейками, что, в сущности, эквивалентно очень большим затратам на единицу продукции.
Так как задолженность в модели не допускается, то для каждого этапа k в нее необходимо включить ограничение, состоящее в том, что накопленный спрос не должен превышать соответствующего общего объема произведенной продукции, т.е. ∑ (a ri + a ti) ≥ ∑b j , k = 1,2,...,N.
Так как спрос на этапе i должен быть удовлетворен прежде, чем спрос на этапах i+1, i+2,..., N, и поскольку на функцию производственных затрат наложены специальные требования, нет необходимости применять общий алгоритм решения транспортной задачи. Сначала путем последовательного назначения максимально возможных поставок по наиболее дешевым элементам первого столбца удовлетворяется спрос на этапе 1. Затем корректируются значения, которые после этого определяют оставшиеся мощности для различных этапов. Далее рассматривается этап 2, и его спрос удовлетворяется наиболее дешевыми поставками в пределах новых ограничений на производственные мощности. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос этапа N.

Модель с дефицитом

Рассмотрим обобщение описанной выше модели при условии, что допускается дефицит. Предполагается, что задолженный спрос должен быть удовлетворен к концу N-этапного горизонта планирования. Таблицу 1 можно легко модифицировать, чтобы учесть влияние задолженности, введя соответствующие удельные издержки в заблокированные маршруты.
Так, например, если p i – удельные потери от дефицита (т.е. на единицу продукции) в случае, когда продукция требуется на этапе i, а поставляется на этапе i+1, то удельные расходы, соответствующие ячейкам R N,1 и T R ,1 , составляют: {c N + p1 + p 2 + … + p N -1 } и {d N + p1 + p 2 + … + p N -1 }соответственно.
Заметим, что в общем случае описанный выше алгоритм может не привести к оптимальному решению.

Возможны и несколько иные модели транспортной задачи, когда, например,  

Наиболее распространенной частичной моделью принятия решения о местоположении частного бизнеса является модель транспортных издержек Вебера, в которой затраты на перевозку принимаются пропорционально удаленности предприятия от пунктов заготовок и поставок.  

Стандартная модель транспортной задачи (ТЗ)  

Цель игры может быть достигнута при оптимизации маршрутов, т. е. за счет рациональной организации работ . В данном случае следует применить модель транспортной задачи линейного программирования . Используя.данные табл. 4.2-4.4, получаем оптимальный план перевозки с минимумом транспортной работы 14 361 тыс. т-км, отсюда плановая потребность в бензине  

Очевидно, задачу (25.34) - (25.36) можно решить симплексным методом как задачу линейного программирования . Однако если привести определенными приемами коэффициент ау к единице, то данная модель не будет отличаться от модели транспортной задачи, и ее можно будет решить, в частности, методом потенциалов.  

При приеме товара на комиссию к нему прикрепляется товарный ярлык , а на мелкие изделия (часы, бусы, броши и другие аналогичные изделия) - ценники с указанием номера документа , оформляемого при приеме товара, и цены. В перечне товаров, принятых на комиссию, и товарном ярлыке указываются сведения, характеризующие состояние товара (новый, бывший в употреблении, степень износа , основные товарные признаки, недостатки товара). В отношении транспортных средств в эти сведения включаются идентификационный номер, марка, модель транспортного средства, наименование (тип), год выпуска, номера двигателя, шасси (рамы), кузова (прицепа), регистрационного знака транзит, цвет кузова (кабины), пробег по данным спидометра, серия и номер паспорта транспортного средства , а в отношении транспортного средства , ввезенного на , также указываются номер и дата документа, подтверждающего его таможенное оформление в соответствии с законодательством Российской Федерации . Перечень товаров, принятых на комиссию, и товарный ярлык подписываются комиссионером и комитентом.  

Модель транспортной задачи в сетевой постановке будет выглядеть следующим образом.  

Способ сведения такой модели транспортной задачи к закрытой прост и.включается в ведении нового фиктивного потребителя с потребностью, равной разнице между совокупным спросом и предложением. Затраты на доставку груза фиктивному потребителю должны быть постоянными для всех поставщиков.  

КОМПЕНСАЦИЯ ЗА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИЧНОГО АВТОТРАНСПОРТА - возмещение затрат , понесенных работником за использование личного легкового автомобиля или мотоцикла для служебных поездок. Предельные нормы компенсации варьируются в зависимости от модели транспортного средства.  

Задачами открытого типа называют нахождение оптимального варианта размещения производства с учетом транспортного фактора. Открытая модель транспортной задачи может быть приведена к закрытой (см. стр. 140, 141).  

При определении оптимального варианта развития и размещения производства применяют экономико-математические методы и электронно-вычислительные машины , причем могут быть использованы различные модели транспортная задача задача по определению оптимального варианта размещения отрасли и др. Бесспорно, что наиболее целесообразно проводить расчеты второй задачи. Но следует учитывать, что нефтеперерабатывающая и нефтехимическая промышленность - многопродуктовая отрасль, поэтому такие задачи получаются чрезвычайно сложными, и еще не разработаны окончательные методы их решения.  

Более подробной должна быть характеристика транспортных средств . Она должна включать идентификационный номер, марку, модель транспортного средства, наименование (тип), год выпуска, номер двигателя, шасси (рамы) и кузова (прицепа), регистрационного знака транзит, цвет кузова (кабины), данные о пробеге, серию и номер паспорта транспортного средства , а в отношении транспортного средства , ввезенного на территорию Российской Федерации , также указывается номер и дата документа, подтверждающего его таможенное оформление в соответствии с законодательством Российской Федерации.  

Объединенную логистическую цепочку поставок. Объединенная логистическая цепочка поставок за счет использования компетенций TNT позволила усилить увеличить результативность и эффективность инфраструктуры WFP. На практике это означало оптимизацию расположения, управления и оснащения сети складов, обеспечение лучших связей внутри системы таким образом, чтобы помогающая организация могла более быстро реагировать на чрезвычайные потребности. Инициатива позволила осуществить различные проекты помощи WFP в оптимизации его складских мощностей , выбора новых информационных систем управления складами и улучшения управления средствами доставки. Одним из успешных мероприятий инициативы стало внедрение модели транспортных мощностей, которая позволила усовершенствовать маршруты и места расположения перевалочных баз, что улучшило помощь беженцам, возвращавшимся в южный Судан. Проект разрабатывался двумя специалистами по логистике компании TNT свыше шести месяцев, а в результате его осуществления ежемесячная экономия на транспортных затратах составила 300 тыс.  

К задаче транспортировки грузов тесно примыкают и задачи оптимальной маршрутизации. Краткая характеристика их такова. Пусть речь идет о перевозке различных грузов между несколькими пунктами погрузки и разгрузки, причем адреса перевозок указаны заранее. Тогда дело сводится к определению того, куда нужно перебрасывать высвободившиеся вагоны или автомашины, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальны, т. е. чтобы минимизировалось количество холостых рейсов (о решении этих проблем на основе модели транспортной задачи см. стр. 55).  

На основе модели транспортной задачи произведено большое число расчетов плана развития отраслей как по стране в целом, так и по отдельным крупным экономическим районам (Сибири, Казахстану и др.) В частности, такие расчеты по размещению и развитию отраслей проведены по производству цемента, ряда других строительных материалов, многим химическим производствам и т д Большое значение имеет ряд расчетов по топливно-энергетическому балансу , т е. по определению рациональной структуры потребления и производства разных видов топлива, а также районов их распределения. Здесь специального упоминания заслуживает работа по исчислению замыкающих затрат на электроэнергию и топливо, которая была проведена в Энергетическом институте СО АН СССР  

Центр разработки I Avan ue предназначен для перспективного проектирования будущих моделей транспортных средств. В нем объединены подразделения, выполняющие стадии прогнозирования, концептуального проектирования и разработки предварительные наброски, разработку концепций и компоновки будущих автомобилей. Именно здесь автомобиль приобретает свою форму. Архитектура самого здания способствует тесному сотрудничеству и взаимодействию проектных групп друг с другом. Постоянная взаимосвязь инженеров и дизайнеров способствует развитию симбиоза их творчества.  

Для использования в автомобилестроении разработаны специальные химические волокна и текстильные отделочные материалы на их основе. По эксплуатационным показателям они удовлетворяют требованиям не только современных, но и перспективных моделей транспортных средств. В качестве отделочных материалов современных моделей автомобилей наибольшее применение находят полиэфирные велюровые ткани и полиэфирный основовязаный трикотаж, полиамидные ткани, а также полиамидные тафтинговые и полипропиленовые иглопробивные ковровые изделия. Большим спросом пользуются и текстильные материалы (в основном полиамидные и полиэфирные) с полимерными покрытиями.  

Формаль ю-математич. особенности модели транспортной задачи, позволяющие применить к ее решению Р. м. л. п. (более простой, чем, напр., симплексный метод), относятся к характеру ограничений, наложенных на значения переменных. Эти особенности заключаются в следующем а) ограничения носят двухсторонний характер, напр., в транспортной задаче - по наличию грузов в пунктах отправления и по потребности в них в пунктах назначения в

Одной из типичных задач линейного программирования является так называемая транспортная задача. Она возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость последних была минимальной, а в других – более важным является выигрыш времени. Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости , а вторая – транспортная задача по критерию времени .

Первая задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом.

Пусть в p пунктахотправления находится соответственноa 1 , a 2 , a 3 …a p единиц однородного груза, который должен быть доставленq потребителямв количествах b 1 , b 2 , b 3 …b q единиц.Заданы стоимостиc ik перевозок единицы груза изi - го пункта отправленияk –му пункту потребления.

Обозначим x ik ³ 0 (i = 1, 2…p; k = 1, 2…q)количество единиц груза, перевозимого из i -госкладаk -му потребителю; тогда переменныеx ik должны удовлетворятьследующим ограничительным условиям:

1) (i = 1, 2 …p);

2) (k = 1, 2…q);

3) x ik ³ 0

Суммарные затраты на перевозки будут равны

L = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + …+ c pq x pq .

Следовательно, требуется найтиpq переменных x ik , удовлетворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию.

§ Пример

В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 тонн горючего. Складам №1, 2, и 3 требуется соответственно 60, 70 и 110 тонн горючего. Стоимость перевозки одной тонны горючего из пункта А на склады №1, 2 и 3 соответственно 6, 10 и 4 гривны за тонну горючего, а из пункта В – 12, 2 и 8 гривен. Составить оптимальный план перевозок горючего, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.

Решение.

Обозначим:

x11 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №1;

x12 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №2;

x13 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №3;

x21 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №1;

x22 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №2;

x23 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №3;

c 11 = 6 – стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №1;

с 12 = 10 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №2;

с 13 = 4 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №3;

с 21 = 12 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта В на склад №1;

с 22 = 2 – стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта В на склад №2;

с 23 = 8 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №3.

Тогда линейная функция, отражающая общую сумму транспортных расходов, имеет вид

L = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 .

Составляем ограничивающие условия:

x 11 ³ 0, x 12 ³ 0, x 13 ³ 0, x 21 ³ 0, x 22 ³ 0, x 23 ³ 0.

x 11 + x 12 + x 13 = 150 --- уравнение, отображающее, что в пункте А находится 150 единиц горючего;

x 21 + x 22 + x 23 = 90 --- уравнение, отображающее, что в пункте B находится 90 единиц горючего;

x 11 + x 21 = 60 --- уравнение, отображающее, что на склад №1 из пунктов А и В требуется 60 единиц горючего;

x 12 + x 22 = 70 --- уравнение, отображающее, что на склад №2 из пунктов А и В требуется 70 единиц горючего;

x 13 + x 23 = 110 --- уравнение, отображающее, что на склад №3 из пунктов А и В требуется 110 единиц горючего;

Решение задачи заключается в необходимости минимизировать линейную функцию L при ограничивающих условиях.

Решим транспортную задачу используя MATHCAD.

Задаем ценовые параметры

Формируем линейную функцию

Задаем произвольные начальные условия

Блок решения

Записываем ограничивающие условия

Задаем оператор минимизации линейной формы

Находим оптимальной решение

Минимальная сумма транспортных расходов

Варианты индивидуальных контрольных заданий №6 (кратно 4)

1. На двух складах А и В находится по 90 тонн горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты №1, 2, 3 соответственно стоят 1, 3 и 5 гривен. Перевозка одной тонны горючего со склада В в те же пункты стоит соответственно 2, 4 и 5 гривен. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.

2. В резерве трех железнодорожных станций А, В и С находятся соответственно 60, 80 и 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту №1 необходимо 40 вагонов, №2 – 60 вагонов, №3 – 80 вагонов и №4 – 60 вагонов. Стоимость перегона одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равна 1, 2, 3 и 4 гривны. Стоимость перегона одного вагона со станции В в указанные пункты соответственно равна 4, 3, 2 и 0 гривен. Стоимость перегона одного вагона со станции С в указанные пункты соответственно равна 0, 2, 2 и 1 гривны.

3. Завод имеет три цеха А, В и С и четыре склада №1, №2, №3, №4. Цех А производит 30 тысяч штук изделий, цех В – 40 тысяч штук изделий, цех С – 20 тысяч штук изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад №1 – 20 тысяч штук изделий, склад №2 – 30 тысяч штук изделий, склад №3 – 30 тысяч штук изделий, склад №4 – 10 тысяч штук изделий. Стоимость перевозки из цеха А соответственно в склады №1, 2, 3, 4 за одну тысячу изделий соответственно равна 20, 30, 20 и 40 гривен; стоимость перевозки из цеха В соответственно в склады №1, 2, 3, 4 равна 30, 20, 50 и 10 гривен за одну тысячу изделий; а стоимость перевозки одной тысячи изделий из цеха С в склады №1, 2, 3, 4 соответственно равна 40, 30, 20 и 60 гривен. Составить такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тысяч изделий был бы наименьшим.

4. На трех складах А, В и С находится сортовое зерно соответственно 10, 15 и 25 тонн, которое надо доставить в четыре пункта: пункту №1 – 5 тонн, пункту №2 – 10 тонн, пункту №3 – 20 тонн и пункту №4 – 15 тонн. Стоимость доставки одной тонны со склада А в указанные пункты соответственно равна 8 000, 3 000, 5 000, 2 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада В в указанные пункты соответственно равна 4 000, 1 000, 6 000, 7 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада С в указанные пункты соответственно равна 1 000, 9 000, 4 000, 3 000 гривен. Составить оптимальный план перевозки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок.

Литература

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 402 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

6. Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.

7. Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 224 с.

Frisch R. Editorial. Econometrica. – 1933. – № 1. – P. 2.

Более подробно смотри Приложение A.

Подробнее об автокорреляции см. в разделе 4.

Отчетность