Критерий Сэвиджа был предложен Леонард Джимми Сэвиджем в 1954 году.
Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений
элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.
Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения используются различные критерии, задача которых - найти наилучшее решение максимизирующее возможную прибыль и минимизирующее возможный убыток.
Критерий заключается в следующем:
- Строится матрица стратегий (платёжная матрица). Столбцы соответствуют возможным исходам. Строки соответствуют выбираемым стратегиям. В ячейки записывается ожидаемый результат при данном исходе и при данной выбранной стратегии.
- Строится матрица сожаления (матрица рисков). В ячейках матрицы величина сожаления - разница между максимальным результатом при данном исходе (максимальном числе в данном столбце) и результатом при выбранной стратегии. Сожаление показывает величину, теряемую при принятии неверного решения.
- Минимаксное решение соответствует стратегии, при которой максимальное сожаление минимально. Для этого для каждой стратегии (в каждой строке) ищут максимальную величину сожаления. И выбирают то решение (строку), максимальное сожаление которого минимально.
Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т.д.
Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max [-405.75, -270.5, -135.25, -143.25] = -135.25 млн.руб. и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 млн.руб.
Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:
1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,
2) по критерию Вальда - 20 станков,
3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,
4) по критерию Сэвиджа - 40 станков.
Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.
Существует обширная литература по теории игр и статистических решений.
37. Методы принятия инвестиционно-финансовых решений в условиях определенности.
Это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов. Рассмотрим две возможные ситуации:
а) Имеется два возможных варианта. В данном случае аналитик должен выбрать (или рекомендовать к выбору) один из двух возможных вариантов. Последовательность действий следующая:
Определяется критерий, по которому будет делаться выбор;
Методом «прямого счета» исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;
Возможны различные методы решения этой задачи. Как правило, они подразделяются на две группы:
Методы, основанные на дисконтированных оценках;
Методы, основанные на учетных оценках.
Первая группа методов основывается на следующей идее. Денежные доходы, поступающие на предприятие в различные моменты времени, не должны суммироваться непосредственно; можно суммировать лишь элементы приведенного потока. Если обозначить F1,F2,....,Fn коэффициент дисконтирования прогнозируемый денежный поток по годам, то i-й элемент приведенного денежного потока Рi рассчитывается по формуле:
P i = F i / (1+ r) i
где r- коэфициент дисконтирования.
Назначение коэффициента дисконтирования состоит во временной упорядоченности будущих денежных поступлений (доходов) и приведении их к текущему моменту времени. Экономический смысл этого представления в следующем: значимость прогнозируемой величины денежных поступлений через i лет (Fi) с позиции текущего момента будет меньше или равна Pi. Это означает так же, что для инвестора сумма Pi в данный момент времени и сумма Fi через i лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку будущих доходов, ожидаемых к поступлению в течении ряда лет. В этом случае коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой инвестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.
Итак последовательность действий аналитика такова (расчеты выполняются для каждого альтернативного варианта):
Рассчитывается величина требуемых инвестиций (экспертная оценка), IC;
Устанавливается значение коэффициента дисконтирования, r;
Определяются элементы приведенного потока, Pi;
Рассчитывается чистый приведенный эффект (NPV) по формуле: NPV=E*Pi-IC
Сравниваются значения NPV;
Предпочтение отдается тому варианту, который имеет больший NPV (отрицательное значение NPV свидетельствует об экономической нецелесообразности данного варианта).
Вторая группа методов продолжает использование в расчетах прогнозных значений F. Один из самых простых методов этой группы - расчет срока окупаемости инвестиции.Последовательность действий аналитика в этом случае такова:
Расчитывается величина требуемых инвестиций, IC;
Оценивается прибыль (денежные поступления) по годам, Fi;
Выбирается тот вариант, кумулятивная прибыль по которому за меньшее число лет окупит сделанные инвестиции.
б) Число альтернативных вариантов больше двух. Процедурная сторона анализа существенно усложняется из-за множественности вариантов, техника «прямого счета» в этом случае практически не применима. Наиболее удобный вычислительный аппарат - методы оптимального программирования (в данном случае этот термин означает «планирование»). Этих методов много (линейное, нелинейное, динамическое и пр.), но на практике в экономических исследованиях относительную известность получило лишь линейное программирование. В частности рассмотрим транспортную задачу как пример выбора оптимального варианта из набора альтернативных. Суть задачи состоит в следующем.
Имеется n пунктов производства некоторой продукции (а1,а2,...,аn) и k пунктов ее потребления (b1,b2,....,bk), где ai - объем выпуска продукции i - го пункта производства, bj - объем потребления j - го пункта потребления. Рассматривается наиболее простая, так называемая “закрытая задача ”, когда суммарные объемы производства и потребления равны. Пусть cij - затраты на перевозку единицы продукции. Требуется найти наиболее рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, минимизирующую суммарные затраты по транспортировке продукции. Очевидно, что число альтернативных вариантов здесь может быть очень большим, что исключает применение метода “ прямого счета ”. Итак необходимо решить следующую задачу:
ΣΣCg Xg→ min
Σ Xg = bj Σ Xg = bj Xg→ 0
Известны различные способы решения этой задачи -распределительный метод потенциалов и др. Как правило для расчетов применяется ЭВМ.
При проведении анализа в условиях определенности могут успешно применяться методы машинной имитации, предполагающие множественные расчеты на ЭВМ. В этом случае строится имитационная модель объекта или процесса (компьютерная программа), содержащая b-е число факторов и переменных, значения которых в разных комбинациях подвергается варьированию. Таким образом машинная имитация - это эксперимент, но не в реальных, а в искусственных условиях. По результатам этого эксперимента отбирается один или несколько вариантов, являющихся базовыми для принятия окончательного решения на основе дополнительных формальных и неформальных критериев.
Критерий минимума ожидаемых сожалений
является обобшением критерия минимакса
сожалений Сэвиджа, используемого для
решения задачи принятия решений в
условиях неопределенности. Согласно
данному критерию, вычисляется матрица
сожалений и затем для каждого действия
вычисляется ожидаемое сожаление.
Оптимальное действие соответствует
минимальному значению ожидаемого
сожаления. Обозначим вектор сожалений,
соответствующих
-ому действию,
.
Ожидаемое сожаление для
-ого действия есть математическое
ожидание сожалений, соответствующих
этому действию, т.е.
Критерий оптимальности можно записать
следующим образом. Действие
является оптимальным, если для любого
выполняется неравенство
или.
Используем данный критерий в задаче с вложением денег. Ожидаемые сожаления (см. матрицу сожалений в описании критерия минимакса сожалений Сэвиджа) имеют вид:
Минимальное значение ожидаемого
сожаления -
.
Следовательно, оптимальное действие -
покупка облигаций (
).
Определение функции полезности
Вернемся к критерию максимума ожидаемых полезностей, так как он имеет наибольшее распространение при решении задач принятия решений. Матрица (таблица) полезности содержит полезности (доходы), выраженные в терминах денег. Однако ожидаемые денежные значения не всегда являются наилучшим критерием в задачах принятия решений. Значение денег изменяется в различных ситуациях и для различных лиц, принимающих решение. В общем, значение денег не является линейной функцией от количества денег. В каждой ситуации аналитик должен определять полезности денег для лица, принимающего решение и выбирать альтернативный курс акций, который соответствует наибольшей ожидаемой полезности в большей степени, чем наибольшему ожидаемому денежному значению.
Люди осуществляют страховые выплаты для того, чтобы избежать возможности финансовых потерь в результате нежелательных событий. Однако полезности различных событий не могут быть пропорциональны их денежным последствиям. Если потери относительно большие, человек предпочитает осуществить соответствующую выплату. Если субъект считает, что потери незначительные, то маловероятно, что он будет осуществлять соответствующую выплату.
Субъекты различаются в их отношении к риску, и эти различия влияют на их выбор. Поэтому они должны принимать одинаковые решения относительно воспринимаемого риска в аналогичных ситуациях. Это не означает, что субъекты оценивают одинаковое количество риска в аналогичных ситуациях. Более того, из-за финансовой стабильности некоторого субъекта, два субъекта в одной и той же ситуации могут реагировать различно, но их поведение должно быть рационально.
Ожидаемое денежное вознаграждение, соответствующее различным решениям, может быть неприемлемым по следующим двум важным причинам:
1. Денежная единица, например, рубль, не всегда точно выражает персональное значение последствия. Это то, что движет некоторых людей играть в лотерею за 1 руб.
2. Ожидаемые денежные значения могут не совсем адекватно отражать нежелание рисковать. Например, предположим, что имеется выбор между получением 10 руб. за ничего не делание или за участие в игре. Результат игры зависит от подбрасывания симметричной монеты. Если выпадает орел, то игрок получает 1000 руб. Однако, если выпадает решка, игрок теряет 950 руб. Первая альтернатива имеет ожидаемое вознаграждение 10 руб., вторая - 0.5x1000 + 0.5x(- 950) = 25 руб. Очевидно, что второй выбор был бы более предпочтительным, если бы критерием был бы ожидаемое денежное вознаграждение. В то же время, субъект может предпочесть гарантированные 10 руб., чтобы избежать риска потери 950 руб.
Рассмотрим известный Санкт-Петербургский
парадокс Бернулли. Парадокс состоит в
следующем: симметричную монету,
вероятности выпадания орла и решки
которой равны 1/2, бросают до тех пор,
пока не появится орел. Игрок получает
долларов, если первое выпадение орла
произойдет на
-ом испытании. Вероятность этого события
равна вероятности последовательного
выпадения решек в первых n-1 испытаниях
и появления орла на
-ом испытании, которая равна
.
Таким образом, игрок может получить 2
доллара с вероятностью 1/2, 4 доллара с
вероятностью 1/4, 8 доллара с вероятностью
1/8 и т.д. Следовательно среднее (ожидаемое)
значение выигрыша равно
и эта сумма бесконечна. Отсюда следует,
что за участие в игре можно заплатить
какую угодно сумму. Однако никто не
будет в этом случае руководствоваться
средним денежныим выигрышем. Бернулли
предложил считать не действительную
денежную стоимость исходов, а внутреннюю
стоимость их денежных значений. Разумно
предположить, что для многих субъектов
внутрення стоимость денег увеличивается
с ростом суммы денег, но в уменьшающейся
степени. Такой функцией, например,
является логарифм. Так, если полезность
долларов равна
,
то среднее значение полезности равно,
что является конечным числом.
Почему некоторые люди покупают страховку, а некоторые нет? Процесс принятия решений включает среди прочих психологические и экономические факторы. Концепция полезности - это попытка измерить полезность денег для лица, принимающего решение. Она позволяет объяснить, почему, например, некоторые люди покупают билет лотереи за 1 руб., чтобы выиграть 1 миллион рублей. Для таких людей 1000000x1 руб. меньше, чем 1000000 руб. Для этих людей шанс выиграть 1000000 руб. значит больше, чем 1 руб., чтобы играть. Поэтому для того, чтобы принять осознанное решение, учитывающее отношение лица, принимающего решение, к риску, нужно перевести денежную матрицу доходов в матрицу полезностей. Главный вопрос: как измерить функцию полезности для конкретного лица, принимающего решение?
Рассмотрим пример задачи принятия решений относительно инвестиций.
Прежде всего, что означает полезность 12?
a) Назначим 100 единиц полезности и ноль единиц полезности наибольшим и наименьшим доходам, выраженным в рублях, соответственно в таблице доходов. Для рассматриваемого числового примера, мы назначим 100 единиц значению 15, и 0 - значению 2.
b) Попросим ЛПР выбрать между следующими сценариями:
1) Получить 12 руб. за ничего не делание (называемые определенный эквивалент, разница между определенным эквивалентом лица, принимающего решение, и ожидаемого денежного значения называется плата за риск.).
2) Играть следующую игру: выиграть 15 руб.
с вероятностью
ИЛИ выиграть 2 руб. с вероятностью
,
где
- некоторое число от 0 до 1.
Изменяя значение
и повторяя аналогичный вопрос, найдется
значение
,
при котором ЛПР не может выбрать из двух
сценариев один из-за их "одинаковости"
с его точки зрения. Скажем
.
c) Теперь полезность за 12 руб. равна 0.58x100 + (1-0.58)x0 = 58.
d) Повторяя эту процедуру для всех элементов таблицы доходов, получим матрицу полезностей.
С точки зрения отношения лица, принимающего решение, можно выделить три типа поведения:
1. Если вознаграждение за риск положительное, то ЛПР готов идти на риск и называется ищущим риска . Очевидно, что некоторые люди в большей степени готовы идти на риск, чем другие: чем больше вознаграждение за риск, тем больше готовность идти на него.
2. Если вознаграждение за риск отрицательное, то ЛПР готов избежать риска и называется нерасположенным рисковать .
3. Если вознаграждение за риск нулевое, то ЛПР называется, нейтральным к риску .
Типичные графики зависимости полезности от вознаграждения или дохода для рассмотренных видов отношений к риску показаны на рисунке.
Дерево решений является одним из методов науки управления.
Дерево решений – схематичное представление проблемы принятия решений. Оно используется для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов.
Таблица 1 Дерево принятия решений
Используя дерево решений, руководитель может рассчитать результат каждой альтернативы и выбрать наилучшую последовательность действий. Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата на вероятность и последующим суммированием таких же произведений, находящихся правее на дереве решений.
Как и платежная матрица, дерево решений дает руководителю возможность учесть различные направления действий, соотнести с ними финансовые результаты, скорректировать их в соответствии с приписанной им вероятностью, а затем сравнить альтернативы. Концепция ожидаемого значения является неотъемлемой частью метода дерева решений.
Методом дерева решений можно пользоваться в ситуациях, подобных описанной выше, в связи с рассмотрением платежной матрицы. В этом случае предполагается что данные о результатах, вероятности и т.п. не влияют на все последующие решения, Однако дерево решений можно построить под более сложную ситуацию, когда результаты одного решения влияют на последующие решения.
Дерево решений можно строить под сложные ситуации, когда результаты одного решения влияют на последующие решения. Таким образом, дерево решений – это полезный инструмент для принятия последовательных решений.
Критерий Вальда (максимина, минимакса)
Критерий Вальда, более известный как критерий маскимина (для максимизируемого критерия) или минимакса (для минимизируемого), ориентирован на выбор наиболее трудной ситуации, на пессимистическое развитие событий. Оправдан в условиях конкуренции, наличия активного противодействия, когда возможность возникновения той или иной ситуации определяется не только или не столько природой, сколько действиями людей. В соответствии с ним оптимальным признается вариант, у которого значение полезности является наилучшим из наихудших возможных.
Примеры
1. Таблица решений
При использовании критерия Вальда (в данном случае - минимакса) определим гарантированные значения полезности для каждого варианта:
U 1 = min = 0.56
U 2 = min = 0.42
U 3 = min = 0.56
Подученные результаты показывают, что в смысле критерия Вальда лучшими являются варианты 1 и 3. Для их дальнейшего более тонкого сравнения необходимо привлечь дополнительную информацию или использовать другой критерий.
Таблица решений
| Вариант УР | S 1 | S 2 | S 3 | e ij |
| a 1 | ||||
| а 2 | ||||
| а 3 | ||||
| а 4 |
а – действия
S – условия
е - эффект
Выбор делаем только на множестве Парето-оптимальных вариантов.
Вариант а 2 дает лучший гарантированный результат.
1) max min е ij максимизация минимальной прибыли
Если е ij – доходы
2) max min е ij минимизация максимальных потерь
Если е ij – потери
Критерий минимального сожаления Севиджа
Севидж ввел понятие «сожаления». Критерий Сэвиджа ориентирован на минимизацию сожаления, или потерь ЛПР от принятия решения. Сожаление для i–й альтернативы в j–й ситуации рассматривается как разница между лучшим значением показателя качества среди всех альтернатив в данной ситуации и значением этого показателя для i–й альтернативы в той же ситуации. Лучшей в смысле рассматриваемого критерия признается альтернатива с минимальным сожалением. Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, ориентирован на выбор в качестве лучшей альтернативы так называемого пессимистического варианта.
Примеры
1. Таблица решений
Из таблицы видно, что предпочтительным является вариант 2.
2. Таблица сожалений
| S 1 | S 2 | S 3 | ||
| a 1 | ||||
| а 2 | ||||
| а 3 |
а – действия
S – условия
Выбираем min из max-ма сожалений (а 2).
Критерий Бернулли-Лапласа (недостаточной определенности)
Критерий Бернулли-Лапласа, или критерий недостаточного обоснования, исходит из предположения о равной вероятности ситуаций S j . В соответствии с этим критерием лучшим является вариант a i , для которого среднее значение полезности åU ij /m максимально на множестве рассматриваемых вариантов.
Метод недостаточного обоснования заключается в том, что нет достойного обоснования для оценки каждого сценария.
u(a i)=1/m*∑ e ij
m- минимум ущерба
Пример
Таблица решений
Применяя критерий Бернулли-Лапласа, вычислим значения полезностей исходов каждого варианта в предположении равной вероятности ситуаций. Для первого варианта получим значение 0,603, для второго – 0,687, для третьего – 0,66. Следовательно, лучшим следует признать вариант 2.
Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности
2.10.Критерий Сэвиджа
Критерий Сэвиджа несколько отличается от всех остальных, рассматриваемых в данной книге. Оценка альтернатив производится не по исходной матрице, а по так называемой "матрице сожалений" или, как ее еще называют в некоторых источниках, "матрице рисков" .
Для произвольной альтернативы и конкретного состояния природы величина "сожаления" равна разнице между тем, что обеспечивает данная альтернатива, и тем, сколько максимально можно выиграть при данном состоянии. С экономической точки зрения величину "сожаления" можно трактовать как недополученный выигрыш (или упущенную выгоду) по сравнению с максимально возможным при данном состоянии природы.
Рассмотрим, каким образом следует выбирать наилучшую альтернативу, руководствуясь критерием Сэвиджа.
Порядок применения критерия Сэвиджа
1. Для каждого состояния природы j (столбца матрицы) определим максимальное значение выигрыша y j :
y j = max (x ij )
2. Для каждой клетки исходной матрицы X найдем разность между максимальным выигрышем r j для данного состояния природы и исходом в рассматриваемой ячейке x ij :
r ij = y j - x ij
Из полученных значений составим новую матрицу R - "матрицу сожалений" или, как ее еще можно назвать, матрицу недополученных выигрышей.
3. Для каждой альтернативы в новой матрице R найдем наибольший возможный недополученный выигрыш ("максимальное сожаление"). Это и будет являться оценкой данной альтернативы по критерию Сэвиджа S i :
S i = max (r ij ) , j=1..M
4. Оптимальной может быть признана альтернатива с минимальным (!) наибольшим недополученным выигрышем:
Х* = Х k , S k = min (S i ) , i=1..N
Пример применения критерия Сэвиджа
Применим изложенный выше алгоритм действий для принятия решения в условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2).
1. Найдем наибольшую возможную величину прибыли для каждого сценария развития региона:
y 1 = max (x 11 , x 21) = max (45, 20) = 45
y 2 = max (x 12 , x 22) = max (25, 60) = 60
y 3 = max (x 13 , x 23) = max (50, 25) = 50
2. Рассчитаем значения "сожалений" для каждого проекта при каждом сценарии (т.е. найдем недополученную прибыль по сравнению с максимально возможной при данном сценарии развития). Составим из полученных значений "матрицу сожалений" (см. табл.2.3).
для проекта Х 1 :
r 11 = y 1 - x 11 = 45 - 45 = 0
r 12 = y 2 - x 12 = 60 - 25 = 35
r 13 = y 3 - x 13 = 50 - 50 = 0
для проекта Х 2 :
r 21 = y 1 - x 21 = 45 - 20 = 25
r 22 = y 2 - x 22 = 60 - 60 = 0
r 23 = y 3 - x 23 = 50 - 25 = 25
| Альтер-нативы (X i ) | Состояния природы (j ) | Макс. "сожаление" S i | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | ||
| X 1 | 0 | 35 | 0 | 35 |
| X 2 | 20 | 0 | 25 | 25 |
| y j | 45 | 60 | 50 | |
4. В полученной матрице по каждой строке найдем наибольшую величину "сожаления" для каждого проекта (последний столбец в табл.2.3). Это значение соответствует оценке данной альтернативы по критерию Сэвиджа.
В основе данного критерия лежит предположение о том, что человек после принятия того или иного решения не любит жалеть о чем-то утраченном. Наряду с матрицей выигрышей, Сэвидж предложил использовать матрицу сожалений. Данная матрица строится по матрице выигрышей в соответствии со следующим алгоритмом:в каждом столбце матрицы выигрышей находится максимальный элемент a. = max a. - это наибольший выигрыш при условии, что в буду-
i=1,m
щем реализуется состояние окружающей среды, соответствующее данному столбцу, т. е. это то, о чем можно сожалеть при данном состоянии окружающей среды;
элементы матрицы сожалений вычисляются по формуле с. = aj - aj и показывают сожаление о том, что при состоянии окружающей среды В. было принято решение At.
Матрица сожалений для рассматриваемого демонстрационного примера имеет следующий вид. Спрос 6 7 8 9 Предложение 6 0 50 100 150 7 45 0 50 100 8 90 45 0 50 9 135 90 45 0 Дальнейший поиск решения осуществляется по следующей схеме: 1) в каждой строке матрицы сожалений находится максимальный элемент c. = max c.;
. j =1,n j
2) из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется минимальный c = min ci и принимается решение, на котором достигается
i=1,n
данный минимум (если данный минимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).
Для нашего примера максимумы, полученные в каждой отдельной строке, соответственно равны 150, 100, 90, 135, и, таким образом, по критерию Сэвиджа принимается решение выпускать 8 ящиков.
Анализируя исследуемый пример, можно сделать вывод, что различные критерии дают различные рекомендации по выбору решения: критерий максимакса - производить 9 ящиков; максиминный критерий Вальда - производить 6 ящиков; критерий пессимизма-оптимизма Гурвица - производить 9 ящиков; критерий минимальных сожалений Сэвиджа - производить 8 ящиков.
Таким образом, в условиях неопределенности, при отсутствии информации о вероятностях состояний среды, принимаемые решения в значительной мере носят субъективный характер. Это объясняется не слабостью предлагаемых методов решения, а неопределенностью, отсутствием информации в рамках самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях - попытаться получить дополнительную информацию путем проведения исследований и экспериментов.
Пример 2. Вернемся к рассмотренной в предыдущем примере ситуации с компанией Российский сыр, предположив, что после проведения определенных исследований потенциала рынка, компании стало известно, что спрос на 6, 7, 8 или 9 ящиков ожидается соответственно с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. В данных условиях в качестве показателя эффективности принимаемого решения о производстве того или иного количества ящиков продукции (6, 7, 8 или 9 ящиков) можно рассматривать среднее ожидаемое значение прибыли (математическое ожидание прибыли), а в качестве меры риска решения - среднеквадратическое отклонение для прибыли. Данные характеристики для каждого решения соответственно равны:
для 6 ящиков:
x6 = 0,1 Х 300 + 0,3 Х 300 + 0,5 Х 300 + 0,1 Х 300 = 300;
разно, поскольку средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8 ящиков (352,5), мера риска - среднеквадратическое отклонение 76 для 9 ящиков больше аналогичного показателя (63,73) для 8 ящиков. А вот целесообразно ли производить 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков больше, но одновременно и средняя ожидаемая прибыль тоже больше. В некоторых работах в такой ситуации предлагается в качестве критерия выбора использовать коэффициент вариабельности прибыли, т. е. отношение риска к среднему ожидаемому значению. Окончательное решение должен принимать генеральный директор компании Российский сыр, исходя из своего опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.
Пример 3. Рассмотрим еще один пример более сложной ситуации принятия решений в условиях риска, анализ которой также базируется на среднем ожидаемом значении прибыли. Процесс принятия решения в данном примере осуществляется в несколько этапов, когда последующие решения основываются на результатах предыдущих, поэтому для его анализа используется дерево решений.
Дерево решений - это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернативных решений и состояний среды.
Большая химическая компания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологии не-зависимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:
рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже но-вой краски по данной цене;
расходы на рекламу, если компания будет производить и продавать краску;
время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар.
Размер выигрышей, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного рынка. Номер стратегии Действия компании Выигрыш при состоянии среды благоприятном неблагоприятном 1 Строительство крупного предприятия 200000 -180000 2 Строительство малого предприятия 100000 -20000 3 Продажа патента 10000 10000
Без проведения дополнительного исследования для руководства компании вероятность и благоприятного, и неблагоприятного рынков одинакова и равна 0,5. Прежде чем принимать решение о строительстве, руководство должно предварительно решить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, если известно, что исследование обойдется компании в 10 000 долл. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно может уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Прогнозы этой фирмы сбываются не всегда: так, если фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается, а с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия. Если же фирма утверждает, что прогноз неблагоприятный, то это сбывается с вероятностью 0,73. Для решения данной задачи построим дерево решений.
Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева средних ожидаемых значений прибыли, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение средних ожидаемых значений прибыли.
Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, тогда средние ожидаемые денежные оценки:
для крупного предприятия: 0,5x200 000 - 0,5x180 000 = 10 000;
для малого предприятия: 0,5x100 000 - 0,5x20 000 = 40 000;
для патента 0,5x10 000 + 0,5x10 000 = 10 000.
Таким образом, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, то максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.
Предположим, что решили провести дополнительное обследование конъюнктуры рынка и прогноз фирмы, проводившей обследование, оказался благоприятным, тогда средние ожидаемые денежные оценки (см. рис. 1):
для крупного предприятия: 0,78x200 000 - 0,22x180 000 = 116 400;
для малого предприятия: 0,78x100 000 - 0,22x 20 000 = 73 600;
для патента: 0,5x100 000 + 0,5x10 000 = 10 000.
Данные значения показывают, что при благоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве крупного предприятия.
В случае если после дополнительного обследования конъюнктуры прогноз оказался неблагоприятным, ожидаемые средние денежные оценки:
для крупного предприятия: 0,27x200 000 - 0,73x180 000 = -7400;
для малого предприятия: 0,27x100 000 - 0,73x20 000 = 12 400;
- для патента:
0,5x10 000 + 0,5x10 000 = 10 000.
Следовательно, при неблагоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.
Расчеты проводились на основе дерева целей.
Проведенные по дереву целей расчеты позволяют выяснить, является ли дополнительное обследование выгодным для фирмы. Выгодность исследования зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за до-полнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принимаемое решение.
Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной информации и максимальной денежной оценкой при отсутствии точной информации.
В данном примере ожидаемая денежная оценка при наличии точной информации равна 0,45x116 400 + 0,55x12 400 = 59 200, а максимальная денежная оценка при отсутствии точной информации равна 40 000. Таким образом, ожидаемая ценность точной информации равна: 59 200 - 40 000 = = 19 200, поэтому исследование, которое стоит 10 000 р., выгодно для фирмы.
Пример 4. Финансовые решения в условиях риска. Опишем модель оптимального многопериодного планирования инвестиций в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспертно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска.
Акционерное общество (АО) заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 долл. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму - через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 долл., а меньшую. Сколько именно - зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в следующей таблице.? Направления ис Возможные на Длительность инве- Процент за Индекс пользования чала реализации стиционного кредит риска инвестиции инвес-тиционных проектов проекта, мес. А 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 1,5 1 В 1, 3, 5 2 3,5 4 С 1,4 3 6 9 Д 1 6 11 7 Руководство АО ставит перед собой три основные цели:
при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму, которую АО направляет на оплату оборудования по контракту;
при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска ин-вестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;
в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца.
Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбирают наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рискованности должны компенсироваться менее рискованными, а долгосрочные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель. Динамика возможных вложений и условия возврата денежных средств отражены в следующей таблице. Инвестиции Возможные вложения и возврат денежных средств на начало месяца,
долл. 1 2 3 4 5 6 7 А в месяце 1 1 ->1,015 А в месяце 2 1 ">1,015 А в месяце 3 1 ->1,015 А в месяце 4 1 > 1,015 А в месяце 5 1 > 1,015 А в месяце 6 1 ->1,015 В в месяце 1 1 ->1,035 В в месяце 3 1 ->1,035 В в месяце 5 1 ->1,035 С в месяце 1 1 -> 1,06 С в месяце 4 1 Ч>1,06 Д в месяце 1 1 Ч>1,11 ^6 =
?
Рис. 2. Дерево целей
Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятель-ность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями.
Начальная сумма инвестиций K должна быть минимальной:
K ^ min.
Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:
K - A - B - C1 - D1 = 0;
1,015 A1 - A2 = 0;
1,015A + 1,035B1 - A3 - B3 = 150 000;
1,015A3 +1,06C1 - A4 -C4 = 0;
1,015A5 - A = 0;
1,015 A6 + 1,035B5 + 1,06C4 + 1,11D1 = 600 000.
Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца):
A1 + 4 Б1 + 9Q + 7 D1
A1 + Б1 + C1 + Dl
A1 + 4Б1 + 9C1 + 7 D1 A2 + Б1 + C1 + D1
A3 + 4 Б3 + 9Q + 7 D1 A3 + Б3 + C1 + D
A4 + 4Б3 + 9C4 + 7 D1 A4 + Б3 + C4 + Di
A5 + 4 Б5 + 9C 4 + 7 D1 A5 + Б5 + C 4 + D1
A6 + 4 Б5 + 9C4 + 7 D1 A6 + Б5 + C4 + D
6 ^-5A2 - 2Б1 + 3C1 + D1 6 ^ -5A3 - 2B3 + 3C1 + D1 6 ^-5A4 - 2Б3 + 3C4 + D1 6 ^-5A5 - 2B5 + 3C4 + D1 6 ^-5A6 - 2Б5 + 3C4 + D1 4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):
A1 + 2Б + 3C1 + 6A A2 + B1 + 2C1 + 5D1 A2 + Б1 + C1 + D1
A3 + 2B3 + C + 4"h A4 + 2B3 + 3C4 + 3D1
2,5 ^ -1,5A4 - 0,5B3 + 0,5C1 + 0,5D1 2,5 ^ -1,5A5 - 0,5B5 - 0,5C4 - 0,5D1 A4 + B3 + C4 + D A5 + 2 B5 + 2C 4 + 2D1
A5 + B5 + C4 + D
^ A6 + B5 + C4 + D,
A6 + B5 + C4 + D
Оптимальное решение имеет вид: K = 683176,44; A1 = 0; A2 = 0; A3 = 2672,49;
A4 = 7667,67; A5 = 0; A6 = 0; B1 = 461836,6; B3 = 325328,4; B5 = 344497,6; C1 = 221339,8; C4 = 229665; D1 = 0. Благодаря полученному оптимальному решению, удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 долл. и вместо необходимых для конечных результатов 600 000 долл. (750 000-150 000 = 600 000) заработать K = 683176,44, часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86 %).
Пример 5. Оптимизация размещения финансовых средств банка. Оптимизационный анализ деятельности банка заключается в перерас-пределении финансовых средств на балансовых счетах с учетом риска и прибыльности. Оптимизация баланса даже для опытных и квалифи-цированных менеджеров представляет чрезвычайно сложную процедуру и является одним из основных элементов управления банковскими средствами.
Анализ начинается с выбора показателя и критерия его оптимизации, введения ограничений, т. е. допустимых значений контрольных параметров. Далее определяются счета, которые планируется учитывать в разрабатываемой модели, и диапазон изменения начисляемых на них средств, после чего выполняется поэтапный расчет оптимизируемого показателя. При построении модели среднесрочного размещения средств банком под размещением будем понимать следующие направления финансовых вложений:
кредитование предприятий и организаций;
вложение в ценные бумаги;
кредитование других банков;
покупка валюты для игры как на курсе линостранная валюта- рубль, так и на курсе линостранная валюта-иностранная валюта;
факторинговые и лизинговые операции;
фьючерсные сделки.
Допустим, что в момент времени t общий объем средств, которыми распоряжается банк, равен St. Вложения осуществляются по N направлениям и равны соответственно M1t,..., Mm. Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что все вложения имеют одну и ту же оборачиваемость, т. е. период возврата средств T - одинаковый. Например, T = 3 - это срок наиболее характерный для современного состояния дел в кредитовании предприятий и организаций банками. Будем считать, что за единицу измерения времени принимается период оборачиваемости T .
По каждому виду актива, вкладываемого в какое-либо направление, предусмотрены процентные ставки (действующие на один период), которые считаются заданными к началу каждого периода t. Уменьшив процентные ставки на величину налогов, уплачиваемых банком с полученной прибыли по соответствующему виду размещения средств, нетрудно получить матрицу процентных ставок с учетом налогообложения по каждому виду вложения ||Pit||, где i = 1,..., N; t = 1,2,3,.... Заметим, что плата по одному из основных видов налогов - на прибыль - происходит раз в квартал авансовым платежом, что делает поставленную задачу более универсальной, так как в ходе решения получается расчетная сумма доходов, исходя из которой можно спрогнозировать объем авансового платежа по налогу на прибыль. Практика многих средних банков России показывает, что авансовый платеж по налогу на прибыль не рассчитывается, а берется примерно на три месяца вперед, поэтому часто вносится большая сумма, чем надо. Тем самым средства, заплаченные сверх нужной суммы, автоматически исключаются из оборота и не приносят доход.
Средства, размещенные банком в любой момент времени t, по исте-чении одного периода T изменяются в соответствии с соотношениями:
N
ZMit+1 = St+1, Mit+1 = MitPit, i = 1,...,N. i=1
Разместить активы в виде вложения с максимальной процентной ставкой мешают ограничения, накладываемые Центральным банком РФ и налоговым законодательством. На этот процесс оказывает влияние и конкретное отношение руководства банка к риску.
В следующей таблице показано, что степень риска зависит от статей активов, которые разбиваются на шесть групп, от соответствующих коэффициентов риска ri и ставки налога. Статьи активов Коэффициент Ставка нало- риска ri га, % Группа 1 Средства на корреспондентском счете в ЦБРФ 0,00 Средства на резервном счете ЦБРФ 0,00 Касса и приравненные к ней средства 0,05 Группа 2
Ценные бумаги Правительства РФ 0,10 0,1 Ссуды, гарантированные Правительством РФ 0,15 38 Ценные бумаги местных органов власти 0,20 38 Группа 3 Кредиты другим банкам 0,25 38 Краткосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года 0,30 38 минус ссуды, гарантированные Правительством РФ) Факторинговые операции 0,5 21,5 Корреспондентские счета 0,25 38 Кредиты фирмам-нерезидентам и физическим лицам на потребительские цели 0,5 38 Группа 4 Долгосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года 0,5 38 минус ссуды, гарантированные Правительством РФ) Лизинговые операции 0,6 21,5 Группа 5 Ценные бумаги АО и предприятий, приобретенные банком 0,7 8,3 Другие права участия, приобретенные банком 0,8 38 Группа 6 Просроченная задолженность по ссудам 1,00 Опротестованные вексели 1,00 Другие виды активов (фьючерские операции, га 1,00 21,5 рантии, поручительства, траст, посреднические операции) Банк не может совсем игнорировать определенный вид вложения и в то же время не должен акцентировать все свое внимание только на самой доходной операции. Это связано не только со стремлением банка иметь в своем арсенале максимальный спектр услуг, но и с необходимостью диверсифицировать банковские операции.
Таким образом, можно сформулировать задачу максимизации дохода, получаемого в момент времени t +1 от средств, размещенных банком в период t, при заданных ограничениях:
N k=1
N
I Mlt = St, i=1
0,01St N
I rMu i=1
Решение данной задачи линейного программирования определяет оптимальный план M* = (M*t, M *t, M *t,..., M N), соответствующий наиболее рациональной структуре размещения средств, которая обеспечивает банку получение максимальной прибыли при определенных ограничениях на риск.
Отчетность
