По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
Определите:
1) размах вариации;
2) средний размер вклада;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсию;
5) среднее квадратическое отклонение;
6) коэффициент вариации вкладов.
Решение:
Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.
Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.
1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:
Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.
2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.
Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.
Среднее значение первого интервала будет равно:
второго - 500 и т. д.
Занесём результаты вычислений в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| Итого | 400 | - | 312000 |
Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:
3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:
Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:
1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).
2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:
3. Полученные отклонения умножаются на частоты:
4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:
5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| Итого | 400 | - | - | - | 81280 |
Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.
4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.
Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:
Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:
1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).
2. Находят отклонения вариант от средней:
3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:
4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5. Суммируют полученные произведения:
6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):
Расчёты оформим в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| Итого | 400 | - | - | - | 23040000 |
Вариация -- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.
Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом -- эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом -- велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.
Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своем средней, и наоборот, -- чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в тан ком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая -- из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:
в первой бригаде -- 95, 100, 105 (= 100 шт.);
во второй бригаде -- 75, 100, 125 (= 100 шт.).
Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет= = 100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.
Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.
- Ш К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
- Ш Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:
В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде -- R1= 10 шт. (т.е. 105 -- 95); во второй бригаде -- R2= 50 шт. (т.е. 125 -- 75), что в 5 раз больше.
Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3x125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3 х 105).
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение
Ш Среднее линейное отклонение d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ().
Среднее линейное отклонение:
Для несгруппированных данных
где n - число членов ряда;
Для сгруппированных данных
где -- сумма частот вариационного ряда.
В формулах (5.18) и (5,19) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль -- алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
§ простая дисперсия для несгруппированных данных
§ взвешенная дисперсия для вариационного ряда
Формула (5.21) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).
Формулу для расчета дисперсии (5.20) можно преобразовать, учитывая, что
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.
Техника вычисления дисперсии по формулам (5.20), (5.21) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.
Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:
первое -- если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;
второе -- если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2 раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:
где -- дисперсия, исчисленная по способу моментов;
i - величина интервала;
новые (преобразованные) значения вариантов (А -- условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);
Момент второго порядка;
Квадрат момента первого порядка.
Расчет дисперсии по формуле (5.23) менее трудоемок.
Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.
- Ш Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
- § для несгруппированных данных
§ для вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение -- это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
Обозначим: 1 -- наличие интересующего нас признака; 0 -- его отсутствие; р -- доля единиц, обладающих данным признаком; q -- доля единиц, не обладающих данным признаком; p + q =1. Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию. Среднее значение альтернативного признака
вариация средний величина квадратический
так как р + q = 1.
Дисперсия альтернативного признака
Подставив в формулу дисперсии q = 1- р, получим
Таким образом, = pq -- дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.
Например, если на 10 000 человек населения района приходится 4500 мужчин и 5500 женщин, то
Дисперсия альтернативного признака = pq = 0,45*0,55 = 0,2475.
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. Оно получается при р = 0,5.
Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака
Если, например, 2% всех деталей бракованные (р = 0,02), то 98% -- годные (q = 0,98), тогда дисперсия доли брака
0,02- 0,98 = 0,0196.
Среднее квадратическое отклонение доли брака составит:
0,14, т.е. = 14%.
При вычислении средних величин и дисперсии для интервальных рядов распределения истинные значения признака заменяются центральными (серединными) значениями интервалов, которые отличаются от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к появлению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф.Шеппард установил, что погрешность в расчете дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала (т.е. i2/12) как в сторону занижения, так и в сторону завышения величины дисперсии.
Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по большому количеству исходных данных (n>500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в противоположных направлениях, нейтрализуются и компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.
Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации -- коэффициент вариации.
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.
Покажем расчет различными способами показателей вариации на примере данных о сменной выработке рабочих бригады, представленных интервальным рядом распределения (табл. 5.7).
Исчислим среднесменную выработку, шт.:
Рассчитаем дисперсию выработки по (5.21):
Найдем среднее квадратическое отклонение, шт.:
Определим коэффициент вариации, %:
Таким образом, данная бригада рабочих достаточно однородна по выработке, поскольку вариация признака составляет лишь 8%.
Теперь выполним расчет дисперсии по формуле (5.22) и по способу моментов по формуле (5.23), для расчета воспользуемся данными табл. 5.7, графы 8-11.
Расчет дисперсии по формуле (5.20):
Расчет дисперсии по способу моментов, см. формулу (5.21):
где А = 50 -- центральный вариант с наибольшей частотой;
i = 20 -- величина интервала данного ряда;
Таблица 5.7
Распределение рабочих по сменной выработке изделия А и расчетные значения для исчисления показателей вариации
|
Группы рабочих по сменной выработке изделий, шт. |
Число рабочих |
Середина интервала x |
Расчетные значения |
|||||||
Как видим, наименее трудоемким является метод исчисления дисперсии способом моментов.
Из всех показателей вариации среднеквадратическое отклонение в наибольшей степени используется для проведения других видов статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель называется он коэффициент вариации .
Формула коэффициента вариации:
Данный показатель измеряется в процентах (если умножить на 100%).
В статистике принято, что, если коэффициент вариации
меньше 10%, то степень рассеивания данных считается незначительной,
от 10% до 20% - средней,
больше 20% и меньше или равно 33% - значительной,
значение коэффициента вариации не превышает 33%, то совокупность считается однородной,
если больше 33%, то – неоднородной.
Средние, рассчитанные для однородной совокупности – значимы, т.е. действительно характеризуют эту совокупность, для неоднородной совокупности – незначимы, не характеризуют совокупность из-за значительного разброса значений признака в совокупности.
Возьмем пример с расчетом среднего линейного отклонения.
И график для напоминания
По этим данным рассчитаем: среднее значение, размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и стандартное отклонение.
Среднее значение – это обычная средняя арифметическая.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом:
Среднее линейное отклонение считается по формуле:
Дисперсия считается по формуле:
Среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии:
Расчет сведем в табличку.
Вариация показателя отражает изменчивость процесса или явления. Ее степень может измеряться с помощью нескольких показателей.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом. Отражает диапазон возможных значений.
Среднее линейное отклонение – отражает среднее из абсолютных (по модулю) отклонений всех значений анализируемой совокупности от их средней величины.
Дисперсия – средний квадрат отклонений.
Среднеквадратическое отклонение – корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
Коэффициент вариации – наиболее универсальных показатель, отражающий степень разбросанности значений независимо от их масштаба и единиц измерения. Коэффициент вариации измеряется в процентах и может быть использован для сравнения вариации различных процессов и явлений.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих однородность явлений и устойчивость процессов. Часто показатели вариации не имеют самостоятельного смысла и используются для дальнейшего анализа данных. Исключением является коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, что является ценной статистической характеристикой.
Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.
Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.
Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.
Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf ), но неизвестны веса (f ).
Средняя геометрическая применяется при расчете средних темпов роста.
Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).
Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.
Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.
Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин
| Наименование средней | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Средняя арифметическая | = (3.1) | = (3.2) |
| Средняя гармоническая | = (3.3) | = (3.4) |
| Средняя квадратическая | = (3.5) | = (3.6) |
| Средняя геометрическая | = (3.7) | = (3.8) |
| Средняя хронологическая |
|
|
| Мода |
Начало модального интервала; h- длина модального интервала; Частота модального интервала; Частота предмодального интервала; Частота послемодального интервала. |
|
| Медиана |
Начало медианного интервала; h - длина медианного интервала; n - объем совокупности; Накопленная частота интервала, предшествующего медианному; Частота медианного интервала. |
|
(3.9)
(3.10)
(3.11)Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.
Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.
Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.
Дисперсия (σ 2) представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.
Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется как корень квадратный из дисперсии.
Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации , который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.
Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации
| Наименование показателя | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Размах вариации | R=х max - х min (3.12) |
|
| Среднее линейное отклонение | L = (3.13) | L = (3.14) |
| Дисперсия | = (3.15) |  (3.16)
|
| Среднее квадратическое отклонение | 
(3.17)
|  (3.18)
|
| Коэффициент вариации | V = или V = (3.19) |
|
Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.
Методические указания:
Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.
Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
численности работников
| Организация | Среднегодовая численность работников, чел. | Отклонение от средней, чел. | Квадрат отклонения |
| х | |||
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| Итого | - |
Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.
Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
среднегодовой заработной платы
| Организация | Среднегодовая оплата труда работника, тыс. руб. | Среднегодовая численность работников, чел | Фонд заработной платы, тыс. руб. | Отклонение от средней, тыс. руб. | Отклонения | Общий размер квадрата отклонений |
| х | f | х f | f | f | ||
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| Итого | - | - |
Задача 3.3. Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.
Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции
Задача 3.4. По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.
Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы
| Группа организаций по урожайности озимой пшеницы, ц/га | Число организаций в группе () | Среднее значение интервала () | |||
| 20,01 – 26,7 | 6 | ||||
| 26,71 – 33,4 | 9 | ||||
| 33,41 – 40,1 | 11 | ||||
| 40,11 – 46,8 | 13 | ||||
| 46,81 – 53,5 | 6 | ||||
| 53,51 – 60,2 | 5 | ||||
| Итого | 50 |
Задача 3.5. По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.
Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей
Вопросы для самоподготовки
1. Что понимается под средней величиной в статистике?
2. Условия правильного применения средних величин.
3. Назовите виды и формы средних величин.
4. Что характеризует вариация признака?
5. Показатели вариации и способы их расчета.
РЯДЫ ДИНАМИКИ
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.
Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).
Введем условные обозначения:
у i – текущий (сравниваемый) уровень, i =1,2,3,…,n;
у 1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);
у п – конечный уровень.
Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).
Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
|
| базисный (с постоянной базой) | цепной (с переменной базой) | |
| Абсолютный прирост (А) | (4.1) | (4.2) |
| Коэффициент роста (К р) | (4.3) | (4.4) |
| Темп роста (Т р) |  (4.5)
|  (4.6)
|
| Темп прироста (Т пр) |  (4.7)
|  (4.8)
|
| Абсолютное значение 1 % прироста (Зн.1%) | Зн.1% = 0,01 у i-1 или Зн.1%= (4.9) |
|
Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).
Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.
Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
| Средний уровень () а) интервального ряда | (4.10) |
| б) моментного ряда с равными интервалами |  (4.11)
|
| в) моментного ряда с неравными интервалами | (4.12) |
| Средний абсолютный прирост () | или (4.13) |
| Средний коэффициент роста () | = или (4.14) |
| Средний темп роста (), % | = · 100 % (4.15) |
| Средний темп прироста (), % | = -100 % или =( -1)·100% (4.16) |
| Среднее значение 1% прироста, | (4.17) |
Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.
Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.
К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.
При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.
Смыкание может быть произведено двумя способами.
1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.
2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.
Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).
Пример 4.1 . По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.
Таблица 4.3 - Расчет показателей ряда динамики
| Цена производителей автомобильного бензина, руб./т | Абсолютный прирост, руб. | Коэффициент роста |
прироста, % | Значение 1% прироста, руб. |
||||||
| базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | |||
| А б | А ц | К р б | К р ц | Т р б | Т р ц | Т пр б | Т пр ц | Зн.1% | ||
| 2006 | 9159,0 | - | - | - | - | 100,0 | 100,0 | - | - | - |
| 2007 | 10965,0 | 1806,0 | 1806,0 | 1,197 | 1,197 | 119,7 | 119,7 | 19,7 | 19,7 | 91,59 |
| 2008 | 14268,0 | 5109,0 | 3303,0 | 1,558 | 1,301 | 155,8 | 130,1 | 55,8 | 30,1 | 109,65 |
| 2009 | 8963,0 | -196,0 | -5305,0 | 0,979 | 0,628 | 97,9 | 62,8 | -2,1 | -37,2 | 142,68 |
| 2010 | 13831,0 | 4672,0 | 4868,0 | 1,510 | 1,543 | 151,0 | 154,3 | 51,0 | 54,3 | 89,63 |
| Средние показатели | 11437,2 | 107,16 | ||||||||
Вывод: расчеты показали, что средняя цена бензина в динамике за 5 лет составила11437,2 руб. за 1 т. При этом ежегодно наблюдался рост цены в среднем на 1168,0 руб. или на 10,9%.Один процент прироста соответствовал107,16 руб.
Пример 4.2 . Методом аналитического выравнивания определить тенденцию изменения средней цены производителей лука репчатого. Сделать вывод.
Методические указания:
Метод аналитического выравнивания состоит в подборе для данного ряда динамики такой теоретической линии, которая выражает основные черты или закономерности изменения уровней явления. Чаще всего при выравнивании используют линейное уравнение:
= а + bt, (4.18)
где а – свободный член уравнения;
b – коэффициент;
t – порядковый номер года.
Параметры а и b определяют способом наименьших квадратов, решая систему двух нормальных уравнений:
(4.19)
Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t (начало координат) в середину ряда динамики. Тогда∑t = 0 и система примет вид:
Отсюда получаем:
(4.20)
Заполним вспомогательную таблицу 4.4.
По имеющимся данным найдем параметры «а» и «b» следующим образом:
а =
;b
= 
.
Уравнение прямой примет вид: = 6,53 + 0,49t.
Подставим значения t в уравнение и найдем теоретические (выравненные) уровни средней цены производителей репчатого лука (последний столбец таблицы 4.4).
Таблица 4.4 - Вспомогательная таблица
| Год | Средняя цена производителей лука репчатого, руб./кг у | Номер года t | Квадрат номера года t 2 | Произведение параметров уt | Выравненные значения =а+bt |
| 2002 | 4,40 | -4 | 16 | -17,59 | 4,57 |
| 2003 | 5,46 | -3 | 9 | -16,38 | 5,06 |
| 2004 | 5,48 | -2 | 4 | -10,96 | 5,55 |
| 2005 | 4,87 | -1 | 1 | -4,87 | 6,04 |
| 2006 | 7,56 | 0 | 0 | 0,00 | 6,53 |
| 2007 | 8,36 | 1 | 1 | 8,36 | 7,02 |
| 2008 | 6,70 | 2 | 4 | 13,40 | 7,51 |
| 2009 | 6,19 | 3 | 9 | 18,58 | 8,00 |
| 2010 | 9,72 | 4 | 16 | 38,88 | 8,49 |
| Итого | 58,73 | 0 | 60 | 29,41 | 58,73 |
Фактические и теоретические уровни цен изобразим на рисунке 4.1.
|
Рисунок 4.1-Динамика средней цены производителей
репчатого лука, руб./кг
Вывод: расчеты показали, что средняя цена лука репчатого за 2002-2010 гг. составила 6,53 руб. за 1 кг. В среднем она ежегодно повышалась на 0,49 руб. На графике наглядно видна четко выраженная тенденция к росту цены исследуемогопродукта.
Пример 4.3. В 2007 г. на предприятии была произведена смена оборудования, что привело к несопоставимости ряда динамики (таблица 4.5). Привести его к сопоставимому виду, применив смыкание динамического ряда. Сделать вывод.
Таблица 4.5 – Динамика объемов производства продукции предприятия
а) 
19,7 ∙ 1,0755 = 21,2;
б) 
.
Вывод: расчеты показали, что смена оборудования на данном предприятии привела к росту объема производства продукции. При этом в динамике за 6 лет он увеличился на 4,9 млн. руб. или на 23,1 %.
Задача 4.1. Численность работников предприятия на 1.03 составила 315 чел. 6.03 уволилось 4 чел., 12.03 принято 5 чел., 19.03 принято 3 чел., 24.03 уволилось 8 чел., 28.03 принято 2 чел. Определить среднюю численность работников за март месяц.
Задача 4.2. Поголовье коров в сельскохозяйственнойорганизации на 1.01 составляло 800 гол.,15.01 было выбраковано 30 гол., 5.02 переведено из нетелей в основное стадо 55 гол., 24.02 куплено 10 гол., 12.03 продано 15 гол., 21.03 выбраковано 25 гол. Определить среднее поголовье коров за первый квартал.
Задача 4.3. По данным приложенияВ о средней цене производителей на отдельные виды товаров за последние пять лет определить базисные и цепные показатели ряда динамики, показатели динамики в среднем за период. Расчеты представить в табличной форме. Сделать вывод.
Задача 4.4. Выявить общую тенденцию средней цены производителей на отдельные товары по данным приложенияВ, используя прием аналитического выравнивания.Фактические и выравненные (теоретические) уровни динамического ряда изобразить графически. Сделать вывод.
Задача 4.5. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.6 базисные показатели динамики по имеющимся данным об урожайности озимой пшеницы.
Таблица 4.6 –Вспомогательная таблица для определения урожайности озимой
пшеницы и недостающих базисных показателей динамики
| Урожайность озимой пшеницы, ц/га | Базисные показатели динамики | Значение 1% прироста, ц/га |
|||
| абсолютный прирост, ц | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2002 | 55,1 | - | - | - | |
| 2003 | - 2,8 | ||||
| 2004 | 110,3 | ||||
| 2005 | |||||
| 2006 | 17,1 | 0,633 | |||
| 2007 | 121,1 | ||||
| 2008 | 13,5 | ||||
| 2009 | |||||
| 2010 | 20,4 | 0,691 | |||
Задача 4.6. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.7 цепные показатели динамики среднегодового удоя молока от одной коровы в Краснодарском крае.
Таблица 4.7 - Вспомогательная таблица для определения среднегодового
удоя молока и недостающих цепных показателей динамики
| Среднегодовой удой молока от одной коровы, кг | Цепные показатели динамики | Значение 1% прироста, |
|||
| абсолютный прирост, кг | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2004 | 2784 | - | - | - | |
| 2005 | 405 | ||||
| 2006 | 110,5 | ||||
| 2007 | |||||
| 2008 | 152 | 37,65 | |||
| 2009 | 4,2 | ||||
| 2010 | -1,1 | ||||
Задача4.7. До 2007 г. в состав производственного объединения входили 20 организаций. В 2007 г. в него влились еще 4 организации, и оно стало объединять 24 организации. Провести смыкание ряда динамики, используя данные таблицы 4.8. Сделать вывод.
Таблица 4.8 –Динамика объема реализации продукции объединения, млн. руб.
Вопросы для самоподготовки
1. Ряды динамики, их элементы, правила построения.Виды рядов динамики.
2. Показатели ряда динамики и порядок их расчета.
3. Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики.
4. Что понимается под интерполяцией и экстраполяцией ряда динамики?
5. Как проводится смыкание рядов динамики?
Вариация – это изменение (колеблемость) значений признака в пределах изучаемой совокупности при переходе от одного объекта (группы объектов), или от одного случая к другому. Абсолютные и относительные показатели вариации, характеризующие колеблемость значений варьирующего признака, позволяют, в частности, измерить степень связи и взаимозависимости между признаками, определить степень однородности совокупности, типичности и устойчивости средней, определить величину погрешности выборочного наблюдения, статистически оценить закон распределения совокупности и т. п.
В этой теме необходимо уяснить сущность (смысл), назначение и способы вычисления каждого показателя вариации, рассматриваемого в курсе теории статистики: размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение, относительные коэффициенты вариации (коэффициент осцилляции, коэффициент среднего линейного отклонения, коэффициент вариации).
Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным (х max) и минимальным (х min) значениями признака в совокупности (в ряду распределения):
R = х max - х min. (5.1)
Мерой других показателей вариации является разность не между крайними значениями признака, а средняя разность между каждым значением признака и средней величиной этих признаков. Разность между отдельным значением признака и средней называют отклонением.
Среднее линейное отклонение вычисляется по следующим формулам:
по индивидуальным (несгруппированным) данным
;
(5.2)
по вариационным рядам (сгруппированным данным)
.
(5.3)
Так как алгебраическая
сумма отклонений индивидуальных значений
признака от средней (согласно нулевому
свойству) всегда равна нулю, то при
расчете среднего линейного отклонения
используется арифметическая сумма
отклонений, взятая по модулю, т.е.
.
Среднее линейное отклонение имеет ту же размерность, что и признак, для которого оно исчисляется.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Среднее линейное отклонение относительно редко применяется для оценки вариации признака. Поэтому обычно вычисляются дисперсия ( 2) и среднее квадратическое отклонение (). Эти показатели применяются не только для оценки вариации признака, но и для измерения связи между ними, для оценки величины ошибки выборочного наблюдения и других целей.
Дисперсия признака рассчитывается по формулам:
по первичным данным
; (5.4)
по вариационным рядам
. (5.5)
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:
по первичным данным
; (5.6)
по вариационным рядам
. (5.7)
Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, имеет ту же размерность, что и сам исходный признак.
Дисперсию можно
определить и как разность между средним
квадратом вариантов и квадратом их
средней величины, т. е.
.
(5.8)
В этом случае по первичным данным дисперсия равна:
(5.9)
Применительно к сгруппированным данным, расчет дисперсии этим способом в развернутом виде представим в таком виде:
. (5.10)
Для рядов распределения с равными интервалами значение дисперсии можно вычислить, применяя способ условных моментов, т. е.
, (5.11)
где
- первый условный момент; (5.12)
- второй условный момент. (5.13)
Среднее квадратическое отклонение по способу условных моментов определяется по формуле:
(5.14)
Преобразуя выражение
расчета дисперсии по способу условных
моментов, получим формулу вида:
(5.15)
На основе одних и тех же исходных данных получим одинаковое значение дисперсии.
Относительные показатели вариации вычисляются как отношение ряда абсолютных показателей вариации к их средней арифметической и выражаются в процентах:
коэффициент
осцилляции -
; (5.16)
коэффициент
относительного линейного отклонения
-
; (5.17)
коэффициент
вариации -
. (5.18)
Задача 1 . Рассмотрим способы расчета показателей вариации на основе данных табл. 5.1.
Таблица 5.1. Исходные данные для расчета показателей вариации
|
Затраты времени на производство деталей мин |
Количество деталей, шт. (f) |
Середина интервала (х) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
; к = 2
Приведенный ряд распределения ранжированный, поэтому здесь легко найти минимальное значение признака, оно равно 8 мин. (10 - 2), и максимальное, равное 18 мин. (16 + 2). Значит, размах вариации признака в этом ряду составит 10 мин., т. е.
R = x max – x min = 18 – 8 = 10 мин.
Вычислим среднее
линейное отклонение. Прежде всего
необходимо вычислить среднюю величину
.
Все вычисления будем вести в табличной
форме (табл. 5.1.), отводя для каждой
вычислительной операции графу в таблице.
Поскольку исходные данные представлены рядом распределения, то
мин.
мин.
Покажем способы расчета дисперсии:
а) обычным способом (по определению):
;
б) как разность между средним квадратом и квадратом средней величины:
Для определения величины дисперсии по этой формуле необходимо вычислить средний квадрат вариантов признака по формуле:
;
2 =178,6 – (13,2) 2 =4,36;
в) по способу условных моментов:
;
;
г) на основе преобразования формулы расчета дисперсии по способу условных моментов имеем:
Дисперсия – число отвлеченное, не имеющее единиц измерения.
Среднее квадратическое отклонение вычислим путем извлечения корня квадратного из дисперсии:
мин.
По способу условных моментов величину среднего квадратического отклонения определим так:
Вычислим относительные показатели вариации:
%;
%;
%.
Основным относительным показателем вариации является коэффициент вариации (V). Он используется для сравнительной оценки меры колеблемости признаков, выраженных в различных единицах измерения.
Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков (в частности альтернативной изменчивости качественных признаков). В этом случае каждая единица изучаемой совокупности либо обладает каким-то свойством, либо нет (например, каждый взрослый человек либо работает, либо нет). Наличие признака у единиц совокупности обозначают 1, а отсутствие –0; долю же единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком, обозначают p, а не обладающих им – q. Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
; (5.19)
p + q = 1 (5.20)
Если, например, доля поступивших в университет равна 30%, а не поступивших – 70%, то дисперсия равна 0,21(0,3 · 0,7). максимальное значение произведения pq равно 0,25 (при условии, когда одна половина единиц обладает данным признаком, а другая половина нет: (0,5 · 0,5 = 0,25).
Способ разложения общей дисперсии. Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, воспользуемся разложением общей дисперсии на составляющие: на так называемую групповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий:
, (5.21)
где
– общая дисперсия, характеризующая
вариацию признака как результат влияния
всех факторов, определяющих индивидуальные
различия единиц совокупности.
Вариацию признака,
обусловленную влиянием фактора,
положенного в основу группировки,
характеризует межгрупповая дисперсия
2 ,
которая является мерой колеблемости
частных средних по группам
вокруг общей средней и исчисляется по
формуле:
, (5.22)
где n j – число единиц совокупности в каждой группе;
j – порядковый номер группы.
Вариацию признака, обусловленную влиянием всех прочих факторов, кроме группировочного (факторного), характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия:
, (5.23)
где i – порядковый номер x и f в пределах каждой группы.
По совокупности в целом средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:
(5.24)
Отношение
межгрупповой дисперсии 2
к общей
даст коэффициент детерминации:
(5.25)
который характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака, положенного в основание группировки.
Показатель, полученный как корень квадратный из коэффициента детерминации, называется коэффициентом эмпирического корреляционного отношения, т.е.:
(5.26)
Он характеризует тесноту связи между результативным и факторным (положенным в основу группировки) признаками. Численное значение коэффициента эмпирического корреляционного отношения имеет два знака: . При решении вопроса о том, с каким знаком его следует брать, необходимо иметь ввиду: если вариация факторного и результативного признаков идет синхронно в одном и том же направлении (возрастает или убывает), то корреляционные отношение берется со знаком плюс; если же изменение этих признаков идет в противоположных направлениях, то оно берется со знаком минус.
Для вычисления групповых и межгрупповых дисперсий можно применять любой из описанных выше способов исчисления среднего квадрата отклонений.
Задача 2. Вычислим все названные дисперсии по исходным данным табл. 5.2.
Таблица 5.2. Распределение посевной площади озимой пшеницы по урожайности
|
Номер участка |
Урожайность, ц/га |
Посевная площадь, га | |||
Вычислим среднюю урожайность озимой пшеницы по всем участкам (общая средняя):
ц/га.
Общую дисперсию найдем по формуле:
В гр. 6 табл. 5.2. вычислим значения для расчета среднего квадрата вариантов признака:
.
Находим общую дисперсию:
Урожайность зависит от многих факторов (качество почвы, размер внесения органических и минеральных удобрений, качество семян, сроки сева, уход за посевами и др.) Общая дисперсия в данном случае измеряет колеблемость урожайности за счет всех факторов.
Задача 3. Разобьем совокупность участков на две группы: I группа – посевные площади, на которых не вносились органические удобрения; II – площади, на которых они вносились. К первой группе отнесем участки 1-4, а ко второй – 4-8. По данным этих групп рассчитаем остальные из необходимых нам дисперсий, используя уже произведенные в табл. 5.2. вычисления.
Таблица 5.3. Расчетные данные для вычисления межгрупповой и групповых дисперсий
|
Номер участка |
Урожайность, ц/га (х) |
Посевная площадь, га (f) |
Номер участка |
Урожайность, ц/га (х) |
Посевная площадь, га (f) | ||||||
Определяем:
|
для I группы: |
для II группы: |
|
а) групповую среднюю |
а) групповую среднюю |
|
|
|
|
б) средний квадрат вариантов признака |
|
|
|
|
|
в) групповую дисперсию |
в) групповую дисперсию |
ц/га;
ц/га;
;
;Определяем среднюю из групповых дисперсий:
.
Находим межгрупповую дисперсию:
Средняя из групповых дисперсий измеряет колеблемость признака за счет всех прочих факторов, кроме положенного в основание группировки (разграничения на группы), а межгрупповая – за счет именно этого фактора. Сумма этих дисперсий должна дать общую дисперсию, а именно:
Отношение межгрупповой дисперсии к общей в нашем примере даст следующее значение коэффициента детерминации:
,
или 71,8%,
т. е. вариация урожайности озимой пшеницы на 71,8% зависит от вариации размеров внесения органических удобрений. Остальные же 28,2% вариации урожайности зависит от влияния всех остальных факторов, кроме размеров внесения органических удобрений.
Коэффициент эмпирического корреляционного отношения составит:
.
Это говорит о том, что внесение органических удобрений оказывает весьма существенное влияние на урожайность.
Кадры
