Cтраница 2

В частности, функция f (z) p (z) допустима, и если старший коэффициент многочлена p (z) положителен, то функция p (f (z)) также допустима.  

Если f (х) и g (x) - многочлены с целыми коэффициентами, причем старший коэффициент многочлена g (x) равен 1 или - 1, то и частное q (x) и остаток г (х), получающиеся при делении f (х) на g (x), также являются многочленами с целыми коэффициентами.  

Конструкция представлений группы Кокстера W в [ YJ использует введенные там же W - графы, дуги которых определяются старшими коэффициентами многочленов Каждана-Люстига. Для гругшы Вейля W примером W - графа может служить диаграмма Дынкина соответствующей системы корней.  

Степень многочлена оА 1 1) может случайно увеличиться, есллг deg 0ft 1 4 deg T (ft и старшие коэффициенты многочленов a (fe и Д № i (fe) равны.  

Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент Xs какого бы то ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена / (х), а это вновь уменьшает число возможностей. Здесь нужно определить возможные значения g (a /), делящие те / (аг -), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы ограничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g (х) нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точках [ делителями соответствующих чисел / (о) или нет.  

Следовательно, многочлен Rn (x) меняет знак в нулях многочлена С / п (ж), а так как старшие коэффициенты многочленов Rn (x) и Un (x) одинаковые, то эти многочлены тождественны.  

Теорема 6.8. Пусть А (х) и В (х) - данные многочлены точной степени р 1 и соответственно р и пусть старшие коэффициенты многочленов А (х) и В (х) имеют один и тот же знак.  

Тем самым при вычислении остатка от деления А на В мы выходим за пределы кольца Z [ x, Xi... Этого не случится, если старший коэффициент многочлена В равен единице. Но в общем случае мы должны принять какие-то меры, если хотим оставаться в указанном кольце. Меры эти состоят в следующем: прежде чем делить А на В, мы умножаем А на старший коэффициент многочлена В в достаточно большой степени. Например, при a b требуется всего один шаг деления, и достаточно умножить А на старший коэффициент многочлена В в первой степени.  

О, Ь0 0 уже рассматривался выше, а случай а 3 / 0 0 предусмотрен в формулировке теоремы. Нам остается рассмотреть ел / чаи, когда один из старших коэффициентов многочленов (1), например а0, отличен от нуля, а Ь равно пулю.  

Говоря о модифицированном остатке, мы имеем в виду следующее. При делении уголком многочлена А на многочлен В с остатком нам неоднократно приходится делить на старший коэффициент многочлена В. Поэтому в общем случае коэффициенты частного и остатка представляют собой дроби, в знаменателях которых стоят некоторые степени старшего коэффициента многочлена В.  

Легко видеть, что, в отличие от определителя, перманент и другие коэффициенты ладейного многочлена остаются неизменными при всех перестановочных преобразованиях. В работе было показано, что над некоторыми полукольцами линейные отображения, сохраняющие перманент (старший коэффициент ладейного многочлена), оставляют неизменными все коэффициенты ладейного многочлена, и установлено, что соответствующие преобразования исчерпываются перестановочными отображениями. Предлагаемый метод позволяет ослабить условия теоремы из и получить характеризацию отображений, сохраняющих любой коэффициент ладейного многочлена.  

В целочисленном случае (Z) описанный метод можно сильно сократить. Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент Ks какого бы то ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена / (х), а это вновь уменьшает число возможностей. Здесь нужно определить возможные значения g (о), делящие те / (at), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы ограничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g (х) нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точках at делителями соответствующих чисел / (а) или нет.  

Пусть добавляется многочлен Р (Z [ a i. В силу замкнутости F старший коэффициент многочлена Р содержится в F и, имея меньшую (нулевую) степень, уже представлен в диаграмме. Этот многочлен тоже есть в F и в диаграмме, так что надо лишь продублировать соответствующую строку.  

Формула (3.8) определяет ортогональный многочлен с точностью до коэффициента сп. Так, в конце § 3 после вычисления старшего коэффициента ап многочлена Qn (x) мы, подчиняя выбор сп условию спап 1, получим формулу Родрига для ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом.  

Из определения ортогональной матрицы А следует, что если / ы (А) 0, то и 0л (1 / А) 0, поскольку 1 / А А / (АА) А, а многочлен ФА () вещественный. ФА () имеют одни и те же корни, причем с одинаковыми кратностями. Остается добавить, что фл (0) 1, так что старшие коэффициенты многочленов f (t) и ФА () могут отличаться лишь знаком.  

Или, строго, - конечная формальная сумма вида

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle \sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} , где

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m {\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}} , где

С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение » и «алгебраическая функция ».

Изучение и применение [ | ]

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе .

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии , объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения [ | ]

• Многочлен вида c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется одночленом или мономом мультииндекса I = (i 1 , … , i n) {\displaystyle I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})} .
• Одночлен, соответствующий мультииндексу I = (0 , … , 0) {\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)} называется свободным членом .
• Полной степенью (ненулевого) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется целое число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n {\displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}} .
• Множество мультииндексов I , для которых коэффициенты c I {\displaystyle c_{I}} ненулевые, называется носителем многочлена , а его выпуклая оболочка - многогранником Ньютона .
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением − ∞ {\displaystyle -\infty } .
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом ,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом .
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R {\displaystyle R} (чаще всего поля , например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R {\displaystyle R} без делителей нуля) которое обозначается R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . {\displaystyle R.}
• Для многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} одной переменной, решение уравнения p (x) = 0 {\displaystyle p(x)=0} называется его корнем .

Полиномиальные функции [ | ]

Пусть A {\displaystyle A} есть алгебра над кольцом R {\displaystyle R} . Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle p(x)\in R} определяет полиномиальную функцию

p R: A → A {\displaystyle p_{R}:A\to A} .

Чаще всего рассматривают случай A = R {\displaystyle A=R} .

В случае, если R {\displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f p: R n → R {\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R} полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p 1 (x) ≡ x {\displaystyle p_{1}(x)\equiv x} и p 2 (x) ≡ x 2 {\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}} из Z 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией .

Виды многочленов [ | ]

Свойства [ | ]

Делимость [ | ]

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел . Например, верна теорема: если произведение многочленов p q {\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на λ {\displaystyle \lambda } . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x {\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 {\displaystyle n>2} существуют многочлены от n {\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Лекция 3

Раздел 2. Многочлены.

2.1 Сложение, умножение и алгоритм деления многочленов с остатком.

Определение. Алгебраическим многочленом степени п называется функциявида

у которой
‑ переменное комплексное число, а
‑ постоянные комплексные числа, последнее из которых
.

Числа
называюткоэффициентами многочлена .

Для сокращенного обозначения многочленов обычно употребляют записи:

при этом, если хотят подчеркнуть, что многочлен
‑ степенип , то пишут
.

Для нахождения суммы многочленов
и
нужно записать подряд все члены этих двух многочленов и затем сделать приведение подобных членов.

Для нахождения произведения многочленов
и
нужно каждый одночлен многочлена
умножить на каждый одночлен многочлена
, сложить полученные произведения и привести подобные члены.

Основные законы сложения и умножения многочленов.

1. (коммутативность сложения).

2. (ассоциативность сложения).

3. (коммутативность умножения).

4. (ассоциативность умножения).

5. (дистрибутивность сложения относительно умножения).

Вычесть из
многочлен
‑ это значит найти такой многочлен
, что
. Многочлен
называетсяразностью многочленов
и
.

Два многочлена
и
считаютсятождественно равными тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степеняхz . Равенство многочленов записывается так:
.

В частности, запись
будет означать, что многочлен
тождественно равен нулю, т.е. все его коэффициенты равны нулю. Отметим, что если произведение многочленов равно нулю, то хотя бы один из этих многочленов тождественно равен нулю.

На определении равенства многочленов основан метод неопределенных коэффициентов разложения многочлена на множители. Разберем его на примере.

Пример . Разложить многочлен
на множители, среди которых один многочлен первой степени, а второй ‑ многочлен второй степени.

Решение . Так как у многочлена
коэффициент при старшей степени равен единице, то будем искать многочлены
и
так же со старшими степенями равными единице. Справедливо равенство

Перемножив многочлены в правой части равенства (*) и приведя подобные получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов, находящихся справа и слева в равенстве (**), получим:

Искомое разложение будет

Разделить нацело многочлен
на многочлен
, ‑ это значит найти многочлен
такой, что
. Если такой многочлен
существует, то говорят, что
являетсяделителем многочлена
, а многочлен
называетсячастным от деления многочлена
на многочлен
.

Не любой многочлен
делится нацело на многочлен
. Например,
не делится нацело на
.

Деление с остатком . Разделить с остатком многочлен
на
, ‑ это значит найти два многочлена
и
такие, что

причем либо степень многочлена
строго меньше степени многочлена
, либо
есть нуль.

В случае, когда выполнено равенство (2), говорят, что
делится на
с остатком
и частным
; если
, то говорят, что
делится на
с остатком нуль или делится нацело на
.

Пример . Разделить
на
, если,
.

Решение. Делим
на
уголком.

Получили: , где
и
.

Для определения коэффициентов многочленов
и
существуют и другие способов. Наиболее распространенный из них уже рассмотренный ранее метод неопределенных коэффициентов.

Пример. Разделить
на
, если
,
.

Решение. Так как, то пологая

,
,

Раскрыв скобки и приведя подобные в правой части этого равенства, имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов, находящихся справа и слева, получим:

Откуда находим
,
.

2.2 Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры.

Теорема (Безу) Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
, т.е.
.

Доказательство. Подставив в равенствовместоz значение, получим, т.е.
.

Следствие. Многочлен
делится нацело на двучлен
тогда и только тогда, когда
.

Доказательство.

Необходимость . Пусть
делится нацело на
. Это означает, что остаток
. По теореме Безу
.

Достаточность. Пусть
, тогда по теореме Безу
, следовательно,
, т.е.
делится нацело на двучлен
.

Определение. Комплексное числоназываетсякорнем алгебраического многочлена
, если
.

Утверждение 1. Если комплексное числоявляется корнем многочлена ненулевой степени
, то для
справедливо представление

в котором
‑ алгебраический многочлен степени
, причем коэффициент при
у многочлена
совпадает с коэффициентом приу многочлена
.

Доказательство . Так как‑ корень многочлена
, то
, т.е.. Вычислим разность
:

Многочлен
имеет степень
и коэффициент при
равен.

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Ответ на этот вопрос дает

основная теорема алгебры, которую примем без доказательства.

Теорема (основная теорема алгебры).

Любой многочлен
степени
над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень.

С помощью этой теоремы и утверждения 1 устанавливается следующий результат.

Утверждение 2. Любой алгебраический многочлен
степени
имеет ровноп комплексных корней
и с помощью этих корней представляется в виде

Доказательство. Так как степень многочлена
, то по основной теореме алгебры у
существует хотя бы один комплексный корень. В силу утверждения 1 справедливо представление

в котором
‑ многочлен степени
с коэффициентом при
равным.

Если (т.е.
), то по основной теореме алгебры у многочлена
существует корень. Из утверждения 1 имеем:

Повторяя указанные рассуждения, при
,
, … получим:

…………………………..

В этих представлениях
,
, …,
,
‑ многочлены степеней
,
, …, 0 соответственно, у каждого из которых коэффициент при старшей степени равен. Следовательно,
. Подставляя вместо
значениев равенство полученное для
, имеем
. Теперь, подставляя значение
в равенство полученное для
, найдем. Продолжая процесс получим.

Корни
многочлена
могут совпадать между собой. Обозначим
‑различные корни многочлена
. Тогда выражение (4) можно переписать следующим образом:

где
.

Так как
‑ различные комплексные числа, то говорят, что‑ корень
кратности,‑ корень
кратности, ….,‑ корень
кратности.

2.3 Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены от переменной, принимающей только действительные значения. Поэтому эту переменную будем обозначатьх а неz . Кроме того, все коэффициенты
будем считатьвещественными числами .

Если
‑ различные корни многочлена (они могут быть как вещественными, так и комплексными), тогда

где
.

Теорема 1. Если комплексное числоявляется корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряжённое комплексное числотакже является корнем.

Доказательство .

Где
.

Так как ‑ корень многочлена, то
, следовательно,
. Найдем аналогично значение
. Так как все коэффициенты
‑ действительные числа, то

так как
. Мы получили, что
, поэтому‑ корень многочлена
.

Отметим, что если комплексное число является корнем кратности, то сопряженное комплексное числотакже является корнем кратности.

Пусть и‑ пара комплексно сопряжённых корней многочлена
, тогда
делится на
и
, следовательно,. А это значит, что. Учитывая, что
и
‑ действительные числа, видим, что. Таким образом, если
, то многочлен
делится на многочлен второй степени с действительными коэффициентами.

Теорема 2. Каждый многочлен
с действительными коэффициентами единственным образом разлагается над полемдействительных чисел в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов:

Доказательство.

Если многочлен
имеет действительные корни
кратностей
соответственно и комплексно сопряжённые корни

и
кратности;

и
кратности;

……………………………………………….

и
кратности,

где . Тогда этот многочлен можно представить:

;

;

…………………………………………………

;
.

2.4 Разложение правильной рациональной дроби на элементарные.

Определение. Пусть
и
многочлены степенит ип .

Если
, то функциюназываютправильной рациональной дробью .

Если
, то функциюназываютнеправильной рациональной дробью .

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Кадры