Гидродинамика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.

3.1. Основные понятия о движении жидкости

Живым сечением ω (м²) называют площадь поперечного сечения потока, перпендикулярную к направлению течения. Например, живое сечение трубы - круг (рис.3.1, б); живое сечение клапана - кольцо с изменяющимся внутренним диаметром (рис.3.1, б).

Рис. 3.1. Живые сечения: а - трубы, б - клапана

Смоченный периметр χ ("хи") - часть периметра живого сечения, ограниченное твердыми стенками (рис.3.2, выделен утолщенной линией).

Рис. 3.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы

если угол в радианах, или

Расход потока Q - объем жидкости V , протекающей за единицу времени t через живое сечение ω.

Средняя скорость потока υ - скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода жидкости Q к площади живого сечения ω

Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она равна нулю.

Гидравлический радиус потока R - отношение живого сечения к смоченному периметру

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени

υ = f(x, y, z)

P = φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным

υ = f 1 (x, y, z, t)

P = φ f 1 (x, y, z, t)

Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока - трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой .

Рис. 3.3. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах без свободной поверхности. Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением). Безнапорное - течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые каналы, лотки и т.п.). В данном курсе будет рассматриваться только напорное течение.

Рис. 3.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений. Представим трубу с переменным живым сечением (рис.3.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении постоянен, т.е. Q 1 =Q 2 = const , откуда

ω 1 υ 1 = ω 2 υ 2

Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:

3.2. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P , средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β (рис.3.5).

Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2 . Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q .

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито . Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии .

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0 , называемой плоскостью сравнения , будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода .

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z1 и z2 - удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2 ;
- удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;
- удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна .

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис.3.5, можно заметить, что z1 и z2 - геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения; - пьезометрические высоты; - скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная .

3.3. Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.3.6).

Рис.3.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Из рис.3.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2 .

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α 1 и α 2 , которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости (α = 2 для ламинарного режима, α = 1 для турбулентного режима).

При изучении потоков жидкостей вводят ряд понятий, характеризующих потоки с гидравлической и геометрической точек зрения: площадь живого сечения, периметр смачивания, гидравлический радиус.

Площадью живого сечения , или живым сечением потока, называют площадь сечения потока, расположенную перпендикулярно направлению движения жидкости, т. е. скорость движения элементарных струек направлена перпендикулярно сечению потока. Площадь живого сечения обозначается через ω (в м 2).

В реальных условиях поверхности живых сечений являются криволинейными, для расчетов в целях упрощения принимают живые сечения плоскими. В практике под живым сечением понимается поперечное сечение канала, канавы, трубы. Форма живого сечения бывает в виде трапеции, треугольника, прямоугольника.

Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично, например, водопропускные трубы, боковые водоотводные канавы, нагорные канавы. Условия движения потока жидкости зависят от глубины и ширины живого сечения: если стенки ограничивают поток полностью, движение жидкости осуществляется в напорном режиме, в случае частичного ограничения режима движения режим движения безнапорный.

Смоченным периметром А . называется линия, по которой поток в поперечном сечении соприкасается с твердыми стенками русла.

Рисунок 6.5 Схема к определению периметра смачивания

Для случая напорного движения смоченный периметр в круглой трубе совпадает с его геометрическим периметром и будет равен

λ=πD . (6.4)

Так, для бетонного канала, изображенного на рис. 6.5, периметр смачивания

λ=b + 2h (6.5)

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру, т. е.

R = ω/λ (6.6)

Основные размеры поперечного сечения канав, лотков в зависимости от геометрической формы определяются по схемам, приведенным в табл. 6.1.

Таблица 6.1 Геометрическая форма поперечного сечения

Геометрическая форма поперечного сечения	Площадь живого сечения, ω	Смоченный периметр, λ	Ширина свободной поверхности, В	Заложение откоса

Расход потока и его средняя скорость в гидродинамике являются важными характеристиками.

Расходом потока называют количество жидкости, протекающей через данное сечение потока в единицу времени.

В дорожном строительстве приходится иметь дело главным образом с объемным расходом жидкости. Расход жидкости равен произведению средней скорости течения в поперечном сечении на его площадь, т. е.

Q= V ω (6.7)

Если рассматривать поток жидкости как совокупность большого числа элементарных струек, то общий расход жидкости Q для всего потока в целом можно определить как сумму элементарных расходов. Скорости движения этих элементарных струек жидкости в различных точках разные. Законы распределения скоростей будут неодинаковы, с приближением к берегам скорости уменьшаются. Поэтому делают предположение, что частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью, которая называется средней скоростью. Средняя скорость в рассматриваемом сечении условно придается всем частицам жидкости, при этом расход потока соответствует действительному расходу.

Живым сечением (ώ) называется поперечное сечение потока, расположенное нормально к направлению средней скорости течения и ограниченное снизу руслом, а сверху поверхностью воды.

Для изучения живого сечения и смоченного периметра используются створы, где определялась . На каждом из этих створов в определенных точках производят замеры глубин (таблица 11).

Таблица 11 Промеры глубин живого сечения

Расстояние между промерными точками на створе зависит от ширины потока и принимается при ширине от 1 до 5 м – через 0,5 м, а от 5 до 10м – через 0,5-1,0 м.

Для определения площади живого сечения на миллиметровой бумаге строят профили поперечного сечения каждого створа (рис.5). Для наглядности применяют вертикальный масштаб (для глубин) в 10 раз больше горизонтального. Над профилем наносят уровень воды и дату измерения.

Рисунок 5 Поперечное сечение створа

Площадь живого сечения определяют как сумму площадей геометрических фигур (трапеции и прямоугольных треугольников у берегов) по формуле:

где b – постоянное расстояние между промерными точками, м;

b n – расстояние между крайними точками, м;

Н 1 , Н 2 ….Н n – глубина на промерных точках, м.

Подсчет площади живого сечения производят для верхнего в), среднего ( с) и нижнего н) створов. Среднюю площадь живого сечения вычисляют по формуле:

Смоченный периметр (χ) – длина линии дна реки между урезами воды. Его вычисляют как сумму гипотенуз прямоугольных треугольников по формуле

+ 2 + ………

где b 2 постоянное расстояние между промерными точками, м;

b n - расстояние между крайними точками;

Н 1 , Н 2 , Н n ) – глубина промерных вертикалей, м.

Подсчет смоченного периметра ведется по верхнему в, среднему с и нижнему н створам. Средний смоченный периметр ср (м) вычисляют по формуле

Ср = 0,25( в +2 с + н).

Гидравлический радиус (R ) – это отношение к ср. Для русел, ширина которых близка у смоченному периметру, R =H ср .

Расходом Q (м 3 /сек) воды в реке называют количество воды, протекающее через поперечное сечение в одну секунду

Зная расход воды и площадь водосбора реки F , вычисляют модуль стока М (или q , л/сек с 1 км 2).

Водомерные посты

Наблюдение за высотой (Н) уровня воды (УВ) в реке производят на водомерном посту. Различают: свайные, реечные, автоматические и др. водопосты. Наблюдения на них обычно проводят два раза в сутки – 8 и 20 час.

Свайный водомерный пост состоит из свай, забитых на некотором расстоянии одна от другой в дно или берег рек и по створу (рисунок 6). Самая верхняя имеет №1, не затапливается даже при самых высоких паводках. За ней, ближе к реке, идет свая № 2 и т.д. Последняя, нижняя свая забивается в дно реки, ее головка всегда затоплена. Головки свай над поверхностью земли возвышаются не более чем на 10-15 см. Расстояние между сваями измеряют и сваи нивелируют (превышение между ними не более 40-50 см).

Рисунок 6 Свайный водомерный пост

Высоты уровня воды измеряют при помощи переносной водомерной рейки, которую ставят на головку сваи.

Реечный водомерный пост состоит из одной и более водомерных реек, прочно прикрепляемых к стенке сооружения или к специальным сваям.

Автоматический водомерный пост. На зарегулированных реках и реках с резким колебанием уровня воды дополнительно к обычным водомерным постам устанавливают самописцы, которые производят непрерывную регистрацию уровней воды. Установка самописцев «Валдай» производится чаще всего на берегу реки в небольшой будке над железобетонным или деревянным колодцем, который соединяется подводящей трубой с рекой. В колодце восстанавливается такой же уровень воды, как и в реке (рисунок 7).

Рисунок 7 Береговой тип установки самописца

В гидравлических расчётах для характеристики размеров и формы поперечного сечения потока вводят понятие о живом сечении и его элементах: смоченном периметре и гидравлическом радиусе.

Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведённая нормально к линиям тока.

Для круглого трубопровода, когда всё поперечное сечение заполнено жидкостью, живым сечение является площадь круга: (рис.3.6).

Рис. 3.6. Элементы потока

Смоченным периметром называют ту часть периметра живого сечения, по которой жидкость соприкасается со стенками трубопровода (рис.3.6). Смоченный периметр обычно обозначают греческой (хи). Для круглой трубы полностью заполненной жидкостью смоченный периметр равен длине окружности:

Гидравлическим радиусом называют отношение живого сечения к смоченному периметру, т.е. величину

Эта величина характеризует удельную, т.е. приходящуюся на единицу длины смоченного периметра, площадь живого сечения. Легко сделать вывод, что поток с наибольшим гидравлическим радиусом при прочих равных условиях имеет минимальную силу трения, приложенную к смоченной поверхности.

Для круглых труб, полностью заполненных жидкостью, гидравлический радиус равен четверти диаметра:

Введение гидравлического радиуса как характерного размера позволяет сравнивать по критерию подобия (Re) потоки с разными формами живого сечения.

Рассмотренные основные понятия позволяют решать самые различные практические задачи гидравлики.

Пример 3.1. Определить скорость потока в трубопроводе. Диаметр , расход воды (несжимаемой жидкости) -.

Решение. Искомая скорость .

Определим площадь живого сечения:

Скорость потока:

3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости

Гидравлика – это техническая механика жидкости, в которой часто используются упрощённые методы для решения инженерных задач. Во многих случаях при решении практических задач гидравлики удобно применять такие центральные понятия механики, как количество движения (уравнение импульсов) и кинетическая энергия.

В связи с этим необходимо рассмотреть возможность вычисления количества движения и кинетическую энергию потока жидкости по средней скорости, а не по действительным местным скоростям. Это позволит существенно упростить гидравлические расчёты.

Для материального тела массой , движущегося со скоростью, изменение количества движения за времявследствие действия силывыразится векторным уравнением

где - приращение количества движения, обусловленное импульсом.

Жидкость представляет собой материальную систему, поэтому основной закон механики может быть приложен к любой выделенной из неё массе.

Применим эту теорему механики к участку потока жидкости с расходом между сечениями 1-1 и 2-2 (выделенный участок заштрихован). Ограничимся рассмотрением только установившегося движения жидкости (рис. 3.7).

За время этот участок переместится в положение, определяемое сечениямии. Объёмы этих элементов, а, следовательно, и их массыодинаковы, поэтому приращение количества движения будет равно

Это приращение количества движения обусловлено импульсом всех внешних сил, действующих на объём жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. Внешними силами, приложенными к выделенному объёму, являются сила тяжести всего объёма , силы давления в первом и втором сеченияхи(нормальные к этим сечениям и направленные внутрь объёма), а также реакции стенок трубы, которая складывается из сил давления и трения, распределённых по боковой поверхности объёма.

Рис. 3.7. Применение уравнения количества движения

к потоку жидкости

Уравнение импульсов (3.7) для рассматриваемого случая можно записать в виде

После сокращения на

Составив проекции этого векторного уравнения на три координатные оси, получим три алгебраических уравнения с тремя неизвестными - .

Л. Эйлер предложил удобный графический способ нахождения силы . Перенося в формуле (3.?) все слагаемые в одну сторону, можно представить его в виде суммы векторов:

где вектор взят с обратным знаком (т.е. по направлению обратный действительному). В соответствии с этим выражением (3.10) силуможно найти, построив замкнутый многоугольник сил, как это показано на рис. 3.7,а .

Анализ показывает, что при вычислении количества движения и кинетической энергии по средней скорости допускается ошибка, которую можно учесть с помощью двух коэффициентов:

Коэффициента Буссинеска при вычислении количества движения;

Коэффициента Кориолиса в уравнении Бернулли при вычислении кинетической энергии.

Величина обоих коэффициентов зависит от характера распределения скоростей в поперечном сечении потока жидкости. На практике при турбулентном режиме движения коэффициент Кориолиса , а коэффициент Буссинеска. Поэтому обычно полагают. Однако встречаются отдельные случаи, когдадостигает больших значений, и тогда пренебрежение им может привести к значительным погрешностям.

Декларация по УСН